funções fuchsianas

Prévia do material em texto

FUNÇÕES FUCHSIANAS
A teoria de funções automórficas (ou funções Fuchsianas, como Poincaré chamou) é resultado do 
uso da teoria de funções complexas na análise de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO's).
Lazarus Fuchs considerou a EDO linear de segunda ordem da seguinte forma:
onde A e B são funções holomorfas de variável complexa z em uma região S. Existem duas 
soluções independentes, y1(z) e y2(z) e considera-se a função F = y1 / y2. Fuchs estava interessado 
no comportamento das soluções próximo a pontos singulares das funções A e B. Ele realizou 
continuação analítica de y1(z) e y2(z) ao longo de uma curva fechada em torno de tal singularidade 
e inversão da função F(z).
Esse processo levou ele a considerar uma certa transformação linear de F, e mais geral olhar para 
funções que são invariantes sob a substituição da forma:
z → (az + b) / (cz + d)
com coeficientes complexos a,b,c,d. Então temos:
f((az + b) / (cz + d)) = f(z).
Essas funções formam um grupo descontínuo.
Poincaré tomou por base esse trabalho e descobriu algumas funções que satisfazem essas 
propriedades e a elas chamou de Funções Fuchsianas. O nome não permaneceu e hoje são chamadas
de Funções Automorfas. O desenvolvimento dos conceitos dessas funções fez parte da tese de 
doutorado de Poincaré. De acordo com sua definição, uma forma automórfica é aquela que é 
analítica em seu domínio e é invariante sob um inumerável grupo infinito de transformações 
lineares fracionais. Ele explica como como descobriu tais funções:
"Por quinze dias eu me esforcei para provar que não podiam existir quaisquer funções como as que
tenho chamado de funções Fuchsianas. Eu era então muito ignorante; todos os dias eu sentava 
sozinho em minha mesa de trabalho, permanecendo uma hora ou duas, tentando um grande 
número de combinações e não obtendo qualquer resultado. Uma noite, contrário aos meus hábitos, 
eu bebia café e não conseguia dormir. Ideias brotaram em multidões; as senti até olidindo em pares
interligados, por assim dizer, produzindo uma combinação estável. Pela manhã seguinte eu tinha 
estabelecido a existência de uma classe de funções Fuchsianas, estas advindo das séries 
hipergeométricas; Eu apenas tinha que escrever os resultados, os quais tomaram apenas uma 
poucas horas." 
REFERÊNCIAS:
• https://en.wikipedia.org/wiki/Automorphic_form#Poincar.C3.A9_on_discovery_and_his_w
ork_on_automorphic_functions
• Verhulst, Ferdinand. Henri Poincaré: Impatient Genius