Resumo artigo grandezas incomensuráveis

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O artigo lido foi “Grandezas incomensuráveis e números irracionais” escrito por Geraldo Ávila e se 
encontra na Revista do Professor de Matemática 05. O texto tem como objetivo principal tratar da 
reta na sua representação numérica em termos das abscissas de seus pontos para mostrar que esses 
conceitos de reta e de número não tem uma simplicidade tão inocente.
O autor começa falando de uma certa crise que ocorreu no desenvolvimento da matemática no final 
do século 5º a.C. Nessa época os gregos costumavam comparar grandezas de mesma espécie, como 
os segmentos retilíneos. Criaram então a noção de comensurabilidade entre dois segmentos de reta. 
Diz-se que dois segmentos AB e CD são comensuráveis se existem um segmento EF e números 
inteiros positivos m e n tais que AB = m*EF e CD = n*EF (diz-se que EF é submúltiplo comum de 
AB e CD). Então pesava-se que os números racionais seriam suficientes para comparar dois 
segmentos de reta, pois pode-se pegar um segmento EF tão pequeno quanto se queira. Porém, 
alguns anos mais tarde os pitagóricos descobriram a existência de segmentos incomensuráveis, ou 
seja, segmentos que não possuem um submúltiplo comum. O autor então apresenta a demonstração 
geométrica feita pelos pitagóricos na época, descobrindo a existência de segmentos 
incomensuráveis (na demonstração conclui-se que o lado e a diagonal de um quadrado são 
segmentos incomensuráveis).
Em seguida, Geraldo Ávila fala um pouco sobre Zeno (ou Zenão). Este foi responsável por alguns 
pensamentos que causaram uma outra crise no desenvolvimento da matemática. Hoje esses 
pensamentos são conhecidos como Paradoxos de Zeno. O mais conhecido desses paradoxos é a 
história da corrida entre Aquiles e a tartaruga. Geraldo ainda destaca que essa crise só foi totalmente
resolvida quando Dedekind criou a teoria dos números reais.
Como dito anteriormente, a descoberta de grandezas incomensuráveis causou um pouco de 
estranheza na época e teve algumas consequências. Geraldo destaca que uma dessas consequências 
é a existência de números sem abscissas racionais (são os chamados números irracionais). Em 
seguida, o autor faz uma demonstração um pouco rebuscada e que utiliza um pouco de análise 
moderna. O autor então volta ao caso do número raíz de 2, que é o tamanho da diagonal do 
quadrado de lado unitário. Sabendo agora da existência de números sem abscissas racionais, o autor
faz uma clássica demonstração de que o número raíz de 2 não possui uma abscissa racional.
Por fim, Geraldo comenta que isso tudo causou outra crise no desenvolvimento da matemática: 
como falar em razão entre duas grandezas quando essas não fossem comensuráveis? Como a 
criação dos números irracionais ocorreu somente nos tempos modernos, o autor destaca o trabalho 
de Eudoxo, que criou uma teoria das proporções utilizando apenas os números inteiros positivos.