prova p3 gab geom 2015 1 mat

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
INSTITUTO DE MATEMA´TICA
Departamento de Me´todos Matema´ticos
3a Prova de Geometria I - Matema´tica - Monica
24/06/2015
1a Questa˜o: (4 pontos) (soluc¸a˜o na folha 1)
1. Na figura acima a esquerda, as retas t e s sa˜o tangente e secante ao c´ırculo, respec-
tivamente. Mostre que o aˆngulo CAˆB =
AOˆB
2
.
Soluc¸a˜o A reta determinada por A e O intersecta o c´ırculo no ponto D. Como AD
e´ diaˆmetro , o triaˆngulo ADB e´ retaˆngulo em B e OAˆB + ADˆB = 90◦.
Como t e´ tangente ao c´ırculo em A, OAˆC = 90◦. Logo
CAˆB = OAˆC −OAˆB = 90◦ −OAˆB = ADˆB = AOˆB
2
.
2. Na figura do meio, sabendo que o arco DE mede 100◦, DEˆF = 75◦ e t e´ tangente ao
c´ırculo no ponto F , calcule o aˆngulo α.
Soluc¸a˜o
O aˆngulo α, pelo item anterior mede metade do arco EF , que e´ igual a EDˆF , que e´
aˆngulo interno do triaˆngulo DEF .
Como o arco DE mede 100◦ enta˜o DFˆE = 50◦.
Portanto,
α = 180− 75− 50 = 55◦.
3. Na figura acima a direita, sabendo que o arco QT mede 50◦, PUˆR = 40◦, calcule o
aˆngulo β.
Soluc¸a˜o Seja O o centro do c´ırculo.
Como PR e RU sa˜o tangentes ao c´ırculo, sabemos que QRˆT = 180− 50 = 130◦.
Logo, analisando os aˆngulos internos do triaˆngulo PUR,
β = 180− 130− 40 = 10◦.
2a Questa˜o: (3 pontos) (soluc¸a˜o na folha 2)
Na figura MPRT e´ um paralelogramo e TS = SR = RQ. Calcule as seguintes razo˜es:
Soluc¸a˜o
Repare que, como MPRT e´ um paralelogramo, MP = TR = 2a. Como TS = SR = RQ,
temos TS = SR = RQ = a.
1.
area(PRS)
area(PRQ)
= 1, pois os dois triaˆngulos tem bases RS e RQ congruentes e mesma
altura, com relac¸a˜o a estas bases.
2.
area(PMQ)
area(PQS)
= 1, pois os dois triaˆngulos tem bases MP e QS congruentes (e parale-
las) e alturas, com relac¸a˜o a estas bases, de mesmo comprimento.
3.
area(PMQ)
area(MPRT )
=
1
2
, pois tem mesma base MP e alturas de mesmo comprimento h,
area(PMQ) = 2a · h/2 e area(MPRT ) = 2a · h.
4.
area(PQR)
area(MPST )
=
1
3
, pois o triaˆngulo e o trape´zio tem bases QR e TS congruentes
com comprimento a e alturas de mesmo comprimento h, area(PQR) = a · h/2 e
area(MPST ) = (a+ 2a)h/2.
3a Questa˜o: (5 pontos) (soluc¸a˜o na folha 3)
Sejam r, s e t retas reversas duas a duas. Vamos construir, quando poss´ıvel, uma reta
2
paralela a t e secante a r e s simultaneamente, provando neste caso que esta reta e´ u´nica.
prova. Sejam α e β planos paralelos contendo r e s, respectivamente. Temos duas possi-
bilidades: t intersecta ou na˜o o plano α.
1. Se t e´ paralela a α, o problema na˜o tem soluc¸a˜o. Porque?
Soluc¸a˜o
Se m ‖ t e m⋂ r = {P}, r ⊂ α enta˜o o plano δ determinado por t e P intersecta α
numa reta paralela a t passando por P . Pela unicidade, esta reta e´ m. Logo m ⊂ α,
m na˜o intersecta s ⊂ β e o problema na˜o tem soluc¸a˜o.
2. E se t intersecta α? Existe um plano γ paralelo a t contendo r. Porque?
Soluc¸a˜o
Por um ponto qualquer de r, seja n a reta paralela a t. Seja γ o plano determinado
por r e n. Como γ conte´m uma reta paralela a t, o plano γ que conte´m r e´ paralelo
a t.
OU:
Como r e t sa˜o reversas, existem planos γ ‖ λ, r ⊂ γ, t ⊂ λ. Como t ⊂ λ e γ ‖ λ, t
na˜o intersecta γ e e´ paralelo a γ, que conte´m a reta r.
OU:
Sejam P1, P2 ∈ r e t1, t2 ‖ t, passando por P1, P2, respectivamente. Por transitividade,
t1 ‖ t2 e determinam um plano γ, que e´ parlalelo a t (pois conte´m uma reta paralela
a t) e conte´m r (pois conte´m dois pontos de r).
3. O plano γ e´ secante a α e β. Porque?
Soluc¸a˜o
O plano γ e´ secante a α pois conte´m r. Como β ‖ α, γ tambe´m e´ secante a β.
4. Temos r = α ∩ γ e seja b = β ∩ γ. Enta˜o r ‖ b. Porque?
Soluc¸a˜o
Como r ⊂ α e b ⊂ β, α ‖ β, r e b na˜o se intersectam. Ale´m disso sa˜o coplanares,
pois esta˜o contidas no plano γ.
5. A reta s intersecta γ. Porque?
Soluc¸a˜o
Se s na˜o intersecta γ e s ⊂ β, s ‖ b. Mas r ‖ b. Portanto s ‖ r. Absurdo, pois sa˜o
retas reversas, por hipo´tese.
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6. Seja A ∈ s ∩ γ. Seja t′ ‖ t passando por A. Enta˜o t′ ⊂ γ. Porque?
Soluc¸a˜o
Pois por t e A passa um plano que intersecta γ em uma reta paralela a t, que pela
unicidade e´ a reta t′.
7. Encontramos o desejado pois a reta t′ intersecta a reta r. Porque?
Soluc¸a˜o
Se t′ intersecta o plano β, tambe´m intersecta o plano paralelo α. E como α
⋂
γ = r,
t′ intersecta r.
8. Supomos que existe t′′ ‖ t e secante a r. Enta˜o t′′ ⊂ γ. Porque?
Soluc¸a˜o
Por transitividade, como t′′ ‖ t e t ‖ t′ enta˜o t′′ ‖ t′. O plano determinado por t′ e t′′
conte´m r, logo coincide com γ e t′′ ⊂ γ.
9. Como t′′ tambe´m e´ secante a s, A ∈ t′′. Porque?
Soluc¸a˜o
Pois t′′ ⊂ γ e γ⋂ s = {A}.
10. Logo t′′ = t′. Porque?
Soluc¸a˜o
Pois pelo ponto A passa uma u´nica paralela a t.
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