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Lista de Exerc´ıcios de Geometria Plana - 02
1. Prove que em R:
(a) a2 + b2 = 0 se, e so´ se, a = b = 0.
(b) |x− 1|+ |x− 2| ≥ 1.
(c) |a− b| < � =⇒ |a| < |b|+ �.
2. Sejam A ⊂ B ⊂ R na˜o vazios e limitados. Mostre que
Inf B ≤ Inf A ≤ SupA ≤ SupB.
3. Sejam A e B subconjuntos de R na˜o vazios e limitados.
Mostre que A + B e´ limitado e que Sup (A + B) =
SupA + SupB.
4. Prove que todo subconjunto finito dos nu´meros reais
tem supremo e ı´nfimo.
5. Seja X ⊂ R, X 6= ∅. Enta˜o X e´ um intervalo se, e so´
se, ∀a, b ∈ X e x ∈ R tal que a ≤ x ≤ b, enta˜o x ∈ X.
6. Achar, caso existam, o supremo e o ı´nfimo dos seguin-
tes subconjuntos de R :
(a) {
1
n
; n ∈ N}
(b) {
1
n
; n ∈ Z, n 6= 0}
(c) {
1
n
+ (−1)n; n ∈ N}
(d) {x ∈ R; x2 + x+ 1 < 0}
7. Seja A 6= ∅ limitado inferiormente e seja B o conjunto
de todas as cotas inferiores de A. Mostre que B 6= ∅,
que B e´ limitado superiormente e que SupB = InfA.