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NU´MEROS
Lista de Exerc´ıcios - 03
1. Quais sa˜o os elementos invers´ıveis e os divisores de zero
de Zn?
2. Encontre o inverso de:
(a) 17 mo´dulo 1333
(b) 128 mo´dulo 425
(c) 8 mo´dulo 432
3. Resolva o sistema de equac¸o˜es:
(a) 
3x ≡ 12 ( mod 17 )
2x ≡ 10 ( mod 14 )
4x ≡ 23 ( mod 25 )
4. Qual o u´ltimo algarismo de 56
7
.
5. Calcule o resto da divisa˜o de 26860 por 11.
6. Mostre que se p e q sa˜o nu´meros primos distintos, enta˜o
φ(pq) = (p − 1)(q − 1). Quanto e´ φ(pn)? ( aqui φ
representa a func¸a˜o de Euler )
7. Determine x, o menor inteiro positivo tal que: x tem
resto 5 quando dividido por 11 e 2x tem resto 6 quando
dividido por 70.
8. Encontre os dois u´ltimos algarismos de 2935.
9. Quantos elementos invert´ıveis tem Z391?
10. Quantos divisores de zero tem Z23 × Z47?
1
11. Calcule φ(4064256). Justifique a sua resposta.
12. Quanto e´ 4321385 mo´dulo 67?
13. Use o teorema de Wilson para provar que:
(a) 37 e´ primo.
(b) 17! ≡ 1(mod 19).
(c) Se p e´ primo (p− 2)! ≡ 1(mod p).
(d) 97! ≡ 17(mod 101).
(e) 437|(18! + 1).
14. Responda certo ou errado e justifique:
(a) Se p e´ um nu´mero primo, enta˜o φ(pn) = φ(p)n.
(b) O teorema chineˆs dos restos afirma que o nu´mero
de elementos invert´ıveis em Zn e´ φ(n).
(c) Seja p um nu´mero primo. A aplicac¸a˜o
ψ : Zp −→ Zp
a 7→ ap
e´ sobrejetiva.
(d) O teorema de Euler e´ consequeˆncia do teorema de
Wilson.
(e) O teorema de Fermat e´ consequeˆncia do teorema
de Euler.
(f) O nu´mero Xn−1 − 1 e´ um mu´ltiplo de X.
(g) O nu´mero Xn−1 − 1 e´ um mu´ltiplo de n.
(h) O nu´mero Xφ(n) − 1 e´ um mu´ltiplo de n.
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