EAD350 II 2017 Aula1

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EAD 350 
 Pesquisa Operacional 
Aula 01 
Prof. Hiroo Takaoka 
 
 
takaoka@usp.br 
FEA/USP 
2 
Hiroo Takaoka 
• Doutor e Mestre em Administração de Empresas (FEA/USP) 
• Engenheiro (POLI/USP) 
• Administrador de Empresas (FEA/USP) 
• Professor do Departamento de Administração da FEA/USP (área 
Métodos Quantitativos e Informática - MQI) 
 Graduação 
 Pós-Graduação 
• Professor visitante na Universidade de Kobe - Japão 
• Experiência profissional como consultor da área de TI em órgãos 
públicos e privados 
• E-mail: takaoka@usp.br 
Modelagem Quantitativa em 
Administração 
• Na administração, a matemática e a estatística 
contribuem para a criação de modelos para auxílio na 
tomada de decisão. 
• Na atualidade, com a evolução da capacidade de 
processamento e armazenamento de dados e da 
consequente disponibilidade de novos e mais sofisticados 
softwares e recursos acessíveis pela Internet, as 
modelagens matemáticas e estatísticas têm se 
expandido cada vez mais a situações e problemas práticos. 
• Termos atuais para a aplicação de modelos matemáticos e 
estatísticos baseados em software aos negócios são: 
“Business Intelligence”, “Data Mining”, “Business 
Analytics” e “Big Data”. 
 
 
Competing On Analytics 
(Thomas Davenport, HBR, Jan 2006) 
Disciplinas da área de Métodos 
Quantitativos e Informática (EAD/FEA) 
 Básicas 
o MAT 103 – Complementos de Matemática 
o MAE 116 – Noções de Estatística 
o MAC 113 – Introdução à Computação 
 Métodos Quantitativos Aplicados 
o EAD 350 – Pesquisa Operacional 
o EAD 659 – Análise da Decisão 
o EAD 652 – Simulação 
o EAD 655 – Métodos Estatísticos de Projeção 
o EAD 351 – Técnicas Estatísticas de Agrupamento 
o EAD0752 - Técnicas Estatísticas de Discriminação 
 Tecnologia da Informação 
o EAD 657 – Tecnologia de Informação 
o EAD 658 – Desenvolvimento de Sistemas de Informação 
o EAD 753 - Sistemas de Informações Empresariais e Negócios Digitais 
o EAD 750 – Tópicos Especiais de MQI 
 
Disciplinas da área de Métodos 
Quantitativos e Informática (EAD/FEA) 
 Básicas 
o MAT 103 – Complementos de Matemática 
o MAE 116 – Noções de Estatística 
o MAC 113 – Introdução à Computação 
 Métodos Quantitativos Aplicados 
o EAD 350 – Pesquisa Operacional 
o EAD 659 – Análise da Decisão 
o EAD 652 – Simulação 
o EAD 655 – Métodos Estatísticos de Projeção 
o EAD 351 – Técnicas Estatísticas de Agrupamento 
o EAD0752 - Técnicas Estatísticas de Discriminação 
 Tecnologia da Informação 
o EAD 657 – Tecnologia de Informação 
o EAD 658 – Desenvolvimento de Sistemas de Informação 
o EAD 753 - Sistemas de Informações Empresariais e Negócios Digitais 
o EAD 750 – Tópicos Especiais de MQI 
 
Pesquisa Operacional 
(Operations Research ou Management 
Science) 
• É o uso de métodos científicos para prover as áreas de 
elementos quantitativos que dêem subsídios à tomada de 
decisões a respeito de operações sob seu controle. 
 • Exemplos de Aplicação 
– “Mix” ideal de produtos 
– Alocação de recursos entre centros produtivos e 
sequenciamento de produção 
– Planejamento agregado da produção 
– Logística 
– Análise de redes e gestão de projetos 
– “Mix” ideal de investimentos de capital 
– Entre outras.... 
 
 
Métodos da Pesquisa Operacional 
• Principais Métodos 
 Programação Linear 
 Programação Linear Inteira 
 Programação Linear Binária 
 Programação Não Linear 
 Programação Dinâmica 
 Redes 
 Cadeias de Markov 
 Análise de Decisão 
 Simulação 
 Teoria de Jogos 
 etc. 
Métodos da Pesquisa Operacional 
• Principais Métodos 
 Programação Linear (EAD350) 
 Programação Linear Inteira (EAD350) 
 Programação Linear Binária (EAD350) 
 Programação Não Linear 
 Programação Dinâmica 
 Redes (EAD350) 
 Cadeias de Markov (EAD350) 
 Análise da Decisão (EAD659) 
 Simulação (EAD652) 
 Teoria de Jogos 
 etc. 
Programa – EAD350 
• Prof. Hiroo Takaoka 
– Introdução à Pesquisa Operacional 
– Programação Linear 
– Programação Inteira / Binária 
• Prof. Nicolau Reinhard 
– Métricas em Redes 
– Redes Sociais 
– Cadeias de Markov 
– Redes de Petri 
– Mapas Conceituais 
Avaliação 
• Parte 1 (Prof. Hiroo) – 50% da nota final 
• Parte 2 (Prof. Nicolau) – 50% da nota final 
• Aplicação de provas: 
 Prova P1 (Prof. Hiroo) e Prova Unificada (Prof. Nicolau) 
 Prova P1: matéria referente ao primeiro bimestre 
 Prova Unificada: matéria referente ao segundo bimestre 
 Não haverá prova substitutiva 
• Parte 1 (Prof. Hiroo) 
 Prova 70%, Exercícios 30% 
 Exercícios: em sala e extra sala 
• Prova de Reavaliação 
 Matéria referente a todo o semestre 
Cronograma Previsto de Aulas 
Bibliografia 
• Hillier e Liberman, Introdução à Pesquisa Operacional, 8ª Edição, 
Bookman, 2010 
• Taha, A. H, Pesquisa Operacional, Pearson, 8ª Edição, Pearson, 
2008 
• Lachtermacher, Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões 4ª 
Edição, Campus, 2009 
• Vidal, Apostila de Modelos de Redes 
• Hannemann, Social Networks (site) 
• Waner, Finite Mathematics (site) 
• Slides de aula e artigos disponibilizados no Erudito 
• Moore, Jeffrey H. & Weatherford, Larry R., Tomada de Decisão 
em Administração com Planilhas Eletrônicas, Bookman, 2005 
Tipos de Modelos 
Modelo Características Exemplos 
Modelo 
Físico 
Modelo 
Analógico 
Modelo 
Simbólico 
Tangível 
Compreensão: Fácil 
Duplicação: Difícil 
Modificação e manipulação: Difícil 
Abrangência de uso: Pequena 
Intangível 
Compreensão: Difícil 
Duplicação: Fácil 
Modificação e manipulação: Fácil 
Abrangência de uso: Grande 
Intangível 
Compreensão: Muito difícil 
Duplicação: Muito fácil 
Modificação e manipulação: Muito fácil 
Abrangência de uso: Muito grande 
Automóvel 
Avião 
Casa 
Mapa 
Gráfico de torta 
Velocímetro 
 
Modelo de Simulação 
Modelos Quantitativos 
Planilha 
Modelos em Administração 
• Um modelo é uma representação simplificada da 
realidade, com a finalidade de estudá-la, melhor 
compreendê-la e auxiliar a tomada de decisão. 
• Princípio de Occam: um modelo deve ser o mais 
simples possível dentro de seus objetivos e parâmetros 
de aceitabilidade, mas, não mais simples do que isso. 
(Occam (1285 – 1347): Franciscano inglês) 
• Modelos Quantitativos 
relacionam os diversos 
componentes/elementos do 
modelo a variáveis e 
quantidades numéricas. 
Processo de Modelagem 
Modelo 
Situação 
Resultados 
Decisões 
Julgamento 
Mundo 
Simbólico 
Mundo 
Real 
Análise 
Intuição 
A
b
s
tr
a
ç
ã
o
 
In
te
rp
re
ta
ç
ã
o
 
Princípio 
de Occam 
Formulação Matemática do Modelo de PL 
Relação Matemática 
• Função Objetivo 
 Max, Min Z = f(x1, x2, ...xn) 
• Restrições 
 
 gi(x1, x2, ...xn) bi 
 
Parâmetros 
(c1, c2, ..., cn) 
(ai1, ai2, ..., ain) 
(b1, b2, ..., bn) 
 
Variáveis de decisão 
x1, x2, .... , xn 
< 
= 
> 
Programação Linear 
• A Programação Linear é um dos mais utilizados 
instrumentos no campo da Pesquisa Operacional. 
• Na Programação Linear, todas as funções 
matemáticas envolvidas são necessariamente lineares. 
• Exemplo: Min Z = 120xA1 + 130xA2 + 41xA3 + 62xA4 
 + 61xB1 + 40xB2 + 100xB3 + 110xB4 
 + 102,5xC1 + 90xC2 + 122xC3 + 42xC4 
 Sujeito a 
 xA1 + xA2 + xA3 + xA4 < 500 
 xB1 + xB2 + xB3 + xB4 < 700 
 xC1 + xC2 + xC3 + xC4 < 800 
 xA1 + xB1 + xC1 > 400 
 xA2 + xB2 + xC2 > 900 
 xA3 + xB3 + xC3 > 200 
 xA4 + xB4 +xC4 > 500 
 xij > 0 
PROGRAMAÇÃO NÂO LINEAR 
2
2
2
1212121 222010),( xxxxxxxxf 
0,
010),(
08),(
07),(
21
21213
2212
1211




xx
xxxxg
xxxg
xxxg
Sujeito a 
Max 
Programação Linear 
• Diversos tipos de problemas em Administração, 
Economia, Contabilidade, Finanças e Logística podem 
ser modelados para resolução com aplicação de 
Programação Linear, tais como: mix de produção, 
decisões de investimento, fluxos de caixa, orçamentos 
de capital, organização de transportes, políticas de 
estoque, etc. 
Estrutura de um Modelo de Programação 
Linear (PL) 
Z = c1x1+...+cjxj+...+cnxn 
bi 
xj  0 
Max 
ou 
Min 
Função 
Objetivo 
Restrições 
 
= 
 
ai1x1+ ai2x2+...+ainxn 
onde xj são variáveis de decisão 
 cj, aij e bi são parâmetros 
 com j=1, ... , n e i=1, ... , m 
Elaboração de Modelos de PL 
• Definição do Problema e Objetivos da Solução de PL 
• Formulação Matemática do Modelo 
– Variáveis de Decisão (x1, x2, .... , xn) 
– Parâmetros (c1, c2, ..., cn) ; (ai1, ai2, ..., ain); (b1, b2, ..., bn) 
– Função Objetivo Z = f(x1, x2, ...xn) => Máx, Min 
• Por exemplo: Máx Z = c1 x1+ c2 x2, ..., + cnxn 
– Restrições gi(x1, x2, ...xn) < ou = ou > bi 
• Por exemplo: ai1 x1+ ai2 x2, ..., + ainxn < bi 
• Desenvolvimento do Procedimento Computacional 
(programa/planilha) 
• Teste do Modelo / Análise de Sensibilidade 
• Uso do modelo para a tomada de decisão 
Hipóteses do Modelo PL 
• Proporcionalidade: a contribuição de cada atividade (xj) 
ao valor da função objetivo Z e para o consumo de recursos 
bi é proporcional ao seu valor (parâmetros cj e aij). 
Máx Z = c1 x1+ c2 x2, ..., + cnxn 
ai1 x1+ ai2 x2, ..., + ainxn < bi 
• Aditividade: toda função em um modelo PL é a soma das 
contribuições individuais das diversas atividades. 
• Divisibilidade: as variáveis de decisão (xj) em um modelo 
de PL podem assumir quaisquer valores, inclusive valores 
não inteiros. 
• Certeza: o valor atribuído a cada parâmetro (cj, aij, bi) são 
assumidos constantes e certos (é um modelo 
determinístico). 
Variáveis de Decisão 
 Informações esperadas como resultado de um 
determinado modelo. 
Exemplo: 
 Mix de Produção (quantidade a ser produzida de 
cada produto) 
 Carteira de investimentos (valor investido em cada 
uma de diversas opções de investimento) 
 Organização de transportes (quantidade a ser 
transportada) 
 Designação de recursos (sim ou não) 
Parâmetros dos Modelos 
Todos os dados conhecidos do processo utilizados 
como valores de entrada do modelo. 
Exemplo: 
• Custo de produção por unidade fabricada 
• Lucro ou Receita por unidade vendida 
• Custo estimado de cada estratégia de marketing 
• Taxa de retorno e Taxa de risco de cada 
investimento 
• Tempo médio de processamento de cada tarefa em 
cada máquina 
 
Função Objetivo 
Uma medida de desempenho global do problema que 
traduza os diversos objetivos propostos em uma só 
expressão matemática. 
Exemplo: 
• Tempo total de produção (minimizar); 
• Receita total (maximizar); 
• Impacto nas vendas (maximizar); 
• Custo total (minimizar); 
• Lucro total (maximizar) 
Restrições 
Estabelecem condicionantes entre as variáveis de 
decisão e a dinâmica do sistema, indicando as 
limitações físicas e operacionais do processo analisado. 
Exemplo: 
• Capacidade de produção das máquinas 
• Estoque e mão de obra disponíveis 
• Demanda prevista ou demanda máxima 
• Limite de crédito dos clientes 
• Taxa de retorno exigida 
• Taxa de risco aceitável 
Problema... 
• Vocês foram contratados pela Wyndor Glass 
Company para auxiliá-los em um problema de 
tomada de decisão. 
• A empresa produz diversos produtos que 
utilizam armações de metal e madeira e vidro. 
• A empresa pretende lançar dois novos 
produtos e assim ocupar sua capacidade de 
produção ociosa. 
(Hillier e Lieberman, 2010) 
Exemplo 1 - Wyndor Glass Co. 
• A Wyndor Glass Co. fabrica portas e janelas de 
vidro. 
• A empresa irá produzir dois novos produtos: 
– Produto 1: Porta de Vidro com esquadrias de alumínio 
– Produto 2: Janela de Vidro com esquadrias de madeira 
Produto 2 Produto 1 
(Hillier e Lieberman, 2010) 
Exemplo 1 - Wyndor Glass Co. 
• A empresa quer decidir sobre o mix de 
produção dos novos produtos: 
– Quantidade a ser fabricada do Produto 1: 
Porta de Vidro com esquadrias de alumínio 
 
 
– Quantidade a ser Fabricada do Produto 2: 
Janela de Vidro com esquadrias de madeira 
(Hillier e Lieberman, 2010) 
Exemplo 1 - Wyndor Glass Co. 
• O objetivo a ser adotado é identificar o mix 
que traga o maior lucro possível 
considerando as restrições impostas. 
(Hillier e Lieberman, 2010) 
Exemplo 1 - Wyndor Glass Co. 
• A Wyndor Glass Co. possui três fábricas. A 
gerência de produção informou que as 
esquadrias de alumínio são feitas na fábrica 1, 
as esquadrias de madeira na fábrica 2 e na 
fábrica 3 é fabricado o vidro e feita a 
montagem. 
 
 
 
(Hillier e Lieberman, 2010) 
Exemplo 1 - Wyndor Glass Co. 
• A empresa ainda levantou as seguintes 
informações, necessárias para compor o 
modelo. 
 Quantidade de horas consumida por lote de 
produto em cada fábrica (lotes de 20 
unidades) 
 Horas de produção disponíveis em cada 
fábrica para esses novos produtos 
 Lucro por lote produzido de cada produto. 
 
 
 
(Hillier e Lieberman, 2010) 
Exemplo 1 - Wyndor Glass Co. 
• A divisão de marketing concluiu que a empresa 
poderia vender tanto quanto fosse possível 
produzir desses produtos. 
 
 
(Hillier e Lieberman, 2010) 
• A equipe de Pesquisa Operacional organizou as 
informações levantadas na seguinte tabela: 
Exemplo 1 - Wyndor Glass Co. 
(Hillier e Lieberman, 2010) 
Fábrica 
Tempo de Produção por 
 Lote de 20 Unidades (horas) 
Tempo de 
Produção 
Disponível por 
Semana (horas) Produto 1 Produto 2 
1 1 0 4 
2 0 2 12 
3 3 2 18 
Lucro por 
Lote 
(US$1.000) 
3 5 
(Hillier e Lieberman, 2010) 
Modelo Matemático 
 
Função Objetivo 
 
Max Z (lucro)= 3X1 + 5X2 
 
 
Sujeito a (restrições): 
 
1X1 + 0X2 < 04 (Fab. 1) 
0X1 + 2X2 < 12 (Fab. 2) 
3X1 + 2X2 < 18 (Fab. 3) 
X1, X2 > 0 
 
Fábrica 
Tempo de Produção por Lote 
de 20 Unidades (horas) 
Tempo de 
Produção 
Disponível por 
Semana Produto 1 Produto 2 
1 1 0 4 
2 0 2 12 
3 3 2 18 
Lucro por 
Lote 
(US$1.000) 
3 5 
Variáveis de Decisão 
X1- Quantidade de Produto 1 
X2- Quantidade de Produto 2 
Exemplo 1 - Wyndor Glass Co. 
         










 
 
X2 
Exemplo 1 - Wyndor Glass Co. 
X1 
Representação gráfica da inequação X1 < 4 
• Construir a reta correspondente à 
equação: X1 = 4 
Como o valor de X1 é sempre 4 para 
qualquer valor de X2, a reta vai ser 
paralela ao eixo X2. 
41 X
(Fabrica 1) 
• Testar a inequação: X1 < 4 
Tomar um ponto qualquer de uma das 
regiões limitadas pela reta, por 
exemplo o ponto (X1= 2, X2 = 2) 
Como 2 < 4, a região das soluções da 
inequação é aquela que contém o 
ponto testado. (2; 2) 
41 X
Exemplo 1 - Wyndor Glass Co. – Solução Gráfica 
Representação gráfica da inequação 2X2 < 12 
X2 
X1 
          
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
122 2 X
(Fábrica 2) 
• Construir a reta correspondente à 
equação: 2X2 = 12 X2 = 6 
Como o valor de X2 é sempre 6 para 
qualquer valor de X1, a reta vai ser 
paralela aoeixo X1. 
• Testar a inequação: 2X2 < 12 
Tomar um ponto qualquer de uma das 
regiões limitadas pela reta, por 
exemplo o ponto (X1= 2, X2 = 2) 
Como 2(2) < 12 ou 4 < 12, a região 
das soluções da inequação é aquela 
que contém o ponto testado. (2; 2) 
122 2 X
         










 
 
X2 
Exemplo 1 - Wyndor Glass Co. – Solução Gráfica 
X1 
• Construir a reta correspondente à equação: 
 3X1 + 2X2 = 18 
Precisamos de dois pontos: 
fazendo X1 = 0 teremos: 2X2 = 18 X2 = 9 
fazendo X2 = 0 teremos: 3X1 = 18 X1 = 6 
 
 
 
 
Representação gráfica das inequação 3X1 + 2X2 < 18 
X1 X2 
0 9 
6 0 
• Testar a inequação: 3X1 + 2X2 < 18 
Tomar um ponto qualquer de uma das regiões 
limitadas pela reta, por exemplo o ponto: 
 (X1= 2, X2 = 2) 
Como 3(2) + 2(2) < 18 ou 10 < 18, a região das 
soluções da inequação é aquela que contém o 
ponto testado. 
(2; 2) 
1823 21  XX
1823 21  XX
(Fabrica 3) 
(6; 0) 
(0; 9) 
         










 
 
41 X
X2 
Exemplo 1 - Wyndor Glass Co. – Solução Gráfica 
X1 
1823 21  XX
A 
B C 
D 
E 
(Fábrica 1) 
122 2 X
(Fábrica 2) 
(Fábrica 3) 
Conjunto de 
soluções viáveis: 
Polígono 
ABCDE 
A solução ótima do problema está 
em um dos pontos extremos do 
conjunto de soluções viáveis. 
Conjunto de soluções viáveis 
• Ponto A (0; 0) 
• Ponto B (0; 6) 
• Ponto C (2; 6) 
Resolução de equações: 
2X2 = 12 
3X1 + 2X2 = 18 
3X1 + 2(12/2) = 18 
3X1 = 18 – 12 
X1 = 2 
 
• Ponto D (4; 3) 
Resolução de equações: 
X1 = 4 
3X1 + 2X2 = 18 
3(4) + 2X2 + 18 
2X2 = 18 – 12 
X2 = 3 
• Ponto E (4; 0) 
Determinação dos valores de X1 e X2 dos pontos ABCDE 
Ponto X1 X2 
A 0 0 
B 0 6 
C 2 6 
D 4 3 
E 4 0 
Exemplo 1 - Wyndor Glass Co. – Solução Gráfica 
         










 
 
41 X
122 2 X
X2 
Exemplo 1 - Wyndor Glass Co. – Solução Gráfica 
X1 
1823 21  XX
A 
B C 
D 
E 
(Fábrica 1) 
(Fábrica 2) 
(Fábrica 3) 
Ponto X1 X2 Z 
A 0 0 0 
B 0 6 30 
C 2 6 36 
D 4 3 27 
E 4 0 12 
Conjunto de 
soluções viáveis: 
Polígono 
ABCDE 
Solução Ótima 
Função Objetivo: Max Z = 3X1 + 5X2 
Calcular os 
valores de Z e 
pegar o maior 
valor de Z 
(lembre-se que 
estamos 
maximizando Z) 
Representação Gráfica da Função Objetiva 
X2 
X1 
 
 
Z/C2 
-C1/C2 
1ZZ 
A equação Z = C1X1 + C2X2 pode ser 
reescrita como Função de 1° grau: 
 X2 = -C1/C2X1 + Z/C2 
A constante Z/C2 é chamada de coeficiente 
linear e representa, no gráfico a ordenada 
do ponto de intersecção da reta no eixo X2. 
A constante –C1/C2 é chamada de 
coeficiente angular da reta. 
Função Objetivo: Max Z = C1X1 + C2X2 
3ZZ 
2ZZ 
-C1/C2 
Note que como o coeficiente angular 
independe de Z, à medida que atribuímos 
valores a Z (por exemplo,Z1; Z2; Z3), 
obtemos retas paralelas. 
À medida que o valor de Z aumenta, a reta 
se afasta da origem do sistema de eixos. 
Conjunto de 
soluções viáveis: 
Polígono 
ABCDE 
         










 
 
41 X
122 2 X
X2 
Exemplo 1 - Wyndor Glass Co. – Solução Gráfica 
X1 
1823 21  XX
A 
B C 
D 
E 
(Fábrica 1) 
(Fábrica 2) 
(Fábrica 3) 
Identificação gráfica do ponto ótimo. 
A determinação da solução ótima requer 
identificar a direção na qual a função objetivo 
Z = 3X1 + 5X2 aumenta (lembre-se que 
estamos maximizando Z). Vimos que o valor 
de Z aumenta à medida que a reta se afasta 
da origem de eixos. Assim, vamos designar 
um valor arbitrário a Z para traçar uma das 
retas paralelas e identificar a reta paralela 
que é mais afastada da origem de eixos que 
ainda contem o ponto do conjunto de 
soluções. 
Função Objetivo: Max Z = 3X1 + 5X2 
Conjunto de 
soluções viáveis: 
Polígono 
ABCDE 
         










 
 
41 X
122 2 X
X2 
Exemplo 1 - Wyndor Glass Co. – Solução Gráfica 
X1 
1823 21  XX
A 
B C 
D 
E 
(Fábrica 1) 
(Fábrica 2) 
(Fábrica 3) 
Identificação gráfica do ponto ótimo. 
Função Objetivo: Max Z = 3X1 + 5X2 
Vamos atribuir um valor a Z (Por exemplo, 
valor 15 que é MMC de seus coeficientes 
(3; 5)) e traçar a reta. 15Z
21 5315 XX 
(5; 0) 
(0; 3) 
X1 X2 
0 3 
5 0 
15 = 3X1 + 5X2 
Conjunto de 
soluções viáveis: 
Polígono 
ABCDE 
         










 
 
41 X
122 2 X
X2 
Exemplo 1 - Wyndor Glass Co. – Solução Gráfica 
X1 
1823 21  XX
A 
B C 
D 
E 
(Fábrica 1) 
(Fábrica 2) 
(Fábrica 3) 
15Z
21 5315 XX 
Identificação gráfica do ponto ótimo. 
Função Objetivo: Max Z = 3X1 + 5X2 
Note que a solução ótima ocorre em 
C, que é o ponto no conjunto de 
soluções além do qual qualquer 
aumento adicional levará Z para fora 
de contornos de ABCDE. 
Z fora do 
Contorno 
ABCDE 
Vamos traçar visualmente as retas 
paralelas cujo valor de Z é 
crescente. 
(0; 3) 
(5; 0) 
Conjunto de 
soluções viáveis: 
Polígono 
ABCDE 
         










 
 
41 X
122 2 X
X2 
Exemplo 1 - Wyndor Glass Co. – Solução Gráfica 
X1 
1823 21  XX
A 
B C 
D 
E 
(Fábrica 1) 
(Fábrica 2) 
(Fábrica 3) 
36Z
21 5336 XX 
Identificação gráfica do ponto ótimo. 
Os valores de X1 e X2 
relacionados com o ponto ótimo C 
podem ser obtidos a partir da 
solução do par de equações das 
retas limites das restrições de 
Fábrica 2 e Fábrica 3. 
 2X2 = 12 
 3X1 + 2X2 = 18 
 Z = 3(2) + 5(6) = 36 
C(2; 6) 
Função Objetivo: Max Z = 3X1 + 5X2 
 A Cia de Seguros Primo está introduzindo duas novas linhas de produtos: 
seguros de risco especial e hipotecas. O lucro esperado é de US$ 5,0 por 
unidade em seguro de risco especial e US$ 2 por unidade nas hipotecas. A 
direção quer estabelecer as cotas de vendas para as novas linhas de produtos 
de modo a maximizar o lucro total esperado. As exigências, em termos de 
trabalho são as seguintes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A) Formule o modelo matemático de PL para esse problema 
 B) Resolva o problema pelo método gráfico. 
Exercício em Sala – Cia de Seguros Primo 
(Hillier e Lieberman, 2010) 
Departamento 
Horas Trabalhadas 
 por Unidade 
Horas de Trabalho 
Disponíveis por Mês Seguro 
Risco 
Especial 
Seguro 
Hipoteca 
Subscrição 3 2 2400 
Administração 0 1 800 
Pedido de 
Indenização 
2 0 1200 
Exercício em Sala – Cia Seguros Primo 
X2 
X1 200 400 600 800 1000 1200 
200 
400 
600 
800 
1000 
1200 
2X1 < 1200 (Pedido Indenização) 
X2 < 800 (Administração) 
3X1 + 2X2 < 2400 (Subscrição) 
Conjunto de 
soluções viáveis: 
Polígono ABCDE 
A 
B 
0 
C 
D 
E 
Ponto X1 X2 Z 
A 0 0 0 
B 0 800 1600 
C 266 800 2930 
D 600 300 3600 
E 600 0 3000 
Max Z (Lucro) = 5X1 + 2X2 
Sujeito a 
2X1 < 1200 
X2 < 800 
3X1 + 2X2 < 2400 
X1, X2 > 0 
Solução Ótima 
Exercício em Sala – Cia Seguros Primo 
X2 
X1 200 400 600 800 1000 1200 
200 
400 
600 
800 
1000 
1200 
2X1 < 1200 (Pedido Indenização) 
X2 < 800 (Administração) 
3X1 + 2X2 < 2400 (Subscrição) 
Conjunto desoluções viáveis: 
Polígono ABCDE 
A 
B 
0 
C 
D 
E 
Max Z (Lucro) = 5X1 + 2X2 
Sujeito a 
2X1 < 1200 
X2 < 800 
3X1 + 2X2 < 2400 
X1, X2 > 0 
Identificação gráfica do ponto ótimo. 
Os valores de X1 e X2 
relacionados com o ponto 
ótimo D podem ser obtidos a 
partir da solução do par de 
equações das retas limites 
das restrições de Subscrição 
e Pedido de Indenização. 
2X1 = 1200 
3X1 + 2X2 = 2400 
Z = 5(600) + 2(300) = 3600 
D(600; 300)