Sistema Lineares

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SISTEMAS E MATRIZES 
Um sistema de equações lineares com m
equações e n incógnitas é um
conjunto de equações do tipo:
amn = Matriz dos coeficientes
xn = Matriz das incógnitas
bm = Matriz dos termos independentes 
P R O F E S S O R M S . H Á L L Y S S O N D U A R T E
PARA RECORDAR
• (5, 1) é solução do sistema 
𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟏𝟑
𝟑𝒙 − 𝟓𝒚 = 𝟏𝟎
?
• (1, 3, -2) é solução do sistema 
𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟏
𝟒𝒙 − 𝒚 − 𝒛 = 𝟑
𝒙 + 𝒚 − 𝒛 = 𝟔
. Verifique.
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FORMA ESCADA
Definição: Uma matriz m x n é linha reduzida à forma escada se
a) O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1.
b) Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha tem todos os
seus elementos iguais a zero.
c) Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas (isso é, daquelas que
possuem pelo menos um elemento não nulo).
Teorema: Toda matriz Amxn é equivalente a uma única matriz-linha reduzida a forma escada.
Definição: Dada uma matriz Amxn, seja Bmxn, a matriz linha reduzida à forma escada linha
equivalente a A. O posto de A, denotado por p, é o número de linhas não nulas de B. A
nulidade de A é o número n - p. Onde n é o número de colunas.
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Exemplo 1: Desejamos encontrar o posto e a nulidade de A, onde A = 
𝟏 𝟐 𝟏 𝟎
−𝟏 𝟎 𝟑 𝟓
𝟏 −𝟐 𝟏 𝟏
Assim temos como resultado a matriz linha reduzida à forma escada é linha equivalente à 
matriz A.
𝒙𝟏 =
−𝟕
𝟖
𝒙𝟐 =
−𝟏
𝟒
𝒙𝟑 =
𝟏𝟏
𝟖
O posto de A é 3 e a nulidade é 4 – 3 = 1
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Exemplo 2: Desejamos encontrar o posto e a nulidade de B, onde B = 
𝟐 −𝟏 𝟑
𝟏 𝟒 𝟐
𝟏 −𝟓 𝟏
𝟒 𝟏𝟔 𝟖
Assim temos como resultado a matriz linha reduzida a forma escada
𝟏 𝟎
𝟏𝟒
𝟗
𝟎 𝟏
𝟏
𝟗
𝟎 𝟎 𝟎
𝟎 𝟎 𝟎
O posto de B é 2, e a nulidade é 1
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SOLUÇÕES DE UM SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES
Se tivermos um sistema de uma equação e uma incógnita ax = b existirão três
possibilidades:
i) a ≠ 0. Neste caso a equação tem uma única solução x =
𝒃
𝒂
ii) a = 0 e b = 0. Então temos 0x = 0 e qualquer número real será solução da equação.
iii) a = 0 e b ≠ 0. Temos 0x = b. Não existe solução para a equação.
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Exemplo 1: Resolva o sistema e analise graficamente 
𝟐𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = 𝟓
𝒙𝟏 − 𝟑𝒙𝟐 = 𝟔
Deste modo (3, -1) é a única solução . Assim a matriz ampliada do sistema é
𝟐 𝟏 𝟓
𝟏 −𝟑 𝟔
.
Transformando–a em matriz linha reduzida à forma escada, obtemos
𝟏 𝟎 𝟑
𝟎 𝟏 −𝟏
que
é a matriz ampliada do sistema. 
𝒙𝟏 = 𝟑
𝒙𝟐 = −𝟏
O posto da matriz dos coeficientes
1 0
0 1
e o da matriz ampliada
𝟏 𝟎 𝟑
𝟎 𝟏 −𝟏
é 2.
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Exemplo 2: Resolva o sistema e analise graficamente 
𝟐𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = 𝟓
𝟔𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 = 𝟏𝟓
Neste caso, a matriz ampliada do sistema e a matriz reduzida por linhas à forma escada são:
𝟐 𝟏 𝟓
𝟔 𝟑 𝟏𝟓
=
𝟏
𝟏
𝟐
𝟓
𝟐
𝟎 𝟎 𝟎
Portanto, o sistema acima é equivalente ao sistema onde a segunda pode ser simplesmente
ignorada.
 𝒙𝟏 +
𝟏
𝟐
𝒙𝟐 =
𝟓
𝟐
Chamamos 𝒙𝟐 = λ daí temos: 𝒙𝟏 =
𝟓
𝟐
-
𝟏
𝟐
λ
A nulidade da matriz dos coeficientes é 2 - 1 = 1 que é também chamada o grau de liberdade
do sistema. Isso quer dizer que o nosso sistema apresenta uma variável livre.
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Exemplo 3: Resolva o sistema e analise graficamente 
𝟐𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = 𝟓
𝟔𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 = 𝟏𝟎
A matriz ampliada deste sistema 
𝟐 𝟏 𝟓
𝟏 𝟑 𝟏𝟎
é equivalente à matriz-linha reduzida a 
forma escada 
𝟏
𝟏
𝟐
𝟎
𝟎 𝟎 𝟏
.
Observe que o posto da matriz dos coeficientes do sistema inicial é 1 e o posto de
sua matriz ampliada é 2.
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CASO GERAL
Consideremos um sistema m equações lineares com n incógnitas 𝒙𝟏, . . ., 𝒙𝒏, poderá ter:
i) Um única solução ( O sistema é possível e determinado )
ii) Infinitas soluções ( O sistema é possível e indeterminado)
iii) Nenhuma solução ( O sistema é impossível)
Teorema:
i) Um sistema de m equações e n incógnitas admite solução se, e somente se o posto da
matriz ampliada é igual ao posto da matriz dos coeficientes.
ii) Se duas matrizes tem o mesmo posto p e p = n, a solução será única.
iii) Se as duas matrizes têm o mesmo posto p e p < n, podemos escolher n – p incógnitas , e as
outras p incógnitas serão dadas em função destas.
Assim usamos a notação
𝒑𝒄 = posto da matriz dos coeficientes
𝒑𝒂 = posto da matriz ampliada. Se 𝒑𝒄 = 𝒑𝒂 denotamos simplesmente por p .
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Exemplo 1:
𝟏 𝟎 𝟎 𝟑
𝟎 𝟏 𝟎 −𝟐
𝟎 𝟎 𝟏 𝟐
𝒑𝒄 = 𝒑𝒂 = 3
m = 3, n = 3 e p = 3. Então, a solução é única e 𝒙𝟏 = 3, 𝒙𝟐 = -2 e 𝒙𝟑 = 2
Exemplo 2:
𝟏 𝟎 𝟕 −𝟏𝟎
𝟎 𝟏 𝟓 −𝟔
𝒑𝒄 = 𝒑𝒂 = 2
m = 2 , n = 3 e p = 2. Temos um grau de liberdade: 𝒙𝟏 = -10 - 7𝒙𝟑 e 𝒙𝟐 = - 6 - 5𝒙𝟑.
Exemplo 3:
𝟏 𝟎 𝟎 −𝟏𝟎
𝟎 𝟏 𝟓 −𝟔
𝟎 𝟎 𝟎 𝟐
m = 3, n = 3, 𝒑𝒄 = 2 e 𝒑𝒂 = 3. O sistema é impossível
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