LabII Relatório de vibrações mecânicas

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Relatório de vibrações mecânicas
Aluno: Lucas Fonseca Alexandre de Oliveira – G5
DRE: 112044841
Revisão de conceitos:
Sistemas mecânicos pode sofrer três tipos principais de vibrações. São elas:
Vibrações livres sem amortecimento:
 É quando sistemas não amortecidos vibram apos uma perturbação inicial. Suas equações são:
Vibrações livres amortecidas:
É quando o sistema amortecido vibra após uma perturbação inicial. Suas equações são:
Vibrações forcadas amortecidas:
É quando o sistema vibra devido a ação de um força externa F(t), muitas vezes uma força repetitiva. As equações são:
Experimentos
Durante a aula de laboratório alguns equipamentos apresentaram problemas e por isso nem todos os experimentos puderam ser executados. O experimento do martelo e o das vigas acoplados não puderam ser executados. À seguir são apresentados os experimentos que foram realizados, com uma breve explicação do que foi feito, dos dados coletados e um comentário sobre os resultados.
	Experimento 1: Observação e análise de sinais 
	
Aqui foram apresentados diferentes tipos de sinais periódicos: Harmônico (seno),triangular, quadrada, dente de serra e pulso. Também foram apresentados o ruído branco e o ruído rosa. Por fim, seriam apresentados sinais impulsivos, mas devido a falhas técnicas estes não foram possíveis. 
O sinais que foram apresentados sao comentados a seguir.
Sinal Harmônico:
	É o tipo de onda mais simples que se pode ser estudada, quando somente um sinal senoidal é gerado. No seu espectro de frequência é formado apenas um pico, o que corresponde com o fato de a onda só possuir uma frequência.
Sinal triangular:
	 Apresenta crescimento e decaimento linear, oscilando entre um máximo e mínimo. Sua análise no espectrômetro possui um decaimento exponencial.
Sinal dente-de-serra:
	Semelhante às ondas triangulares difere-se apenas pela presença de uma subida ou descida da amplitude com tempo igual a zero. 
 
Onda quadrada:
	Caracterizada por possuir o valor máximo da amplitude durante metade do período e o valor mínimo na outra metade do período. No experimento ela não é perfeitamente quadrada, pois apresenta o fenômeno de gibbs, o fato da onda não conseguir sair rapidamente de um estado pro outro instantaneamente devido a inércia do sistema . Seus espectro de freqüências possui picos de 2 em 2.
Pulso:
	Similar à onda quadrada, difere-se apenas pela possibilidade de controlar a porcentagem que se fica em on(máxima amplitude). Conhecido como duty cycle, essa característica permite explorar a versatilidade dessa função e igualá-la à onda quadrada quando esse valor é 50%.
Ruído Branco:
É um tipo de ruído que apresenta a mesma amplitude em todo o espectro de frequência. 
Ruído Rosa:
É o tipo de ruído onda a amplitude decai exponencialmente com o aumento da frequência.
Experimento 2: Sistema com um grau de liberdade
 
Uma massa conectada a uma mola estava pendurada verticalmente. A massa foi excitada por um aluno. Durante o movimento oscilatório do sistema massa mola o tempo foi medido para 20 ciclos por um cronometro.
Parte 1: Cálculo da rigidez da mola e da frequência natural do sistema.
Dados: massa de 1.875 kg e deflexão estática de 0.04 m.
Fórmulas:
Valores calculados:
	Rigidez da mola em N/m
	Frequência Natural em Hz
	459,375 
	15,652
Parte 2: Medição da frequência natural 
 
Foram efetuadas três medições de tempo para 20 ciclos, com esses dados calculou-se o período e a frequência do sistema. Os dados são mostrados a seguir.
	Tempo em s
	N° de ciclos
	Período em s
	Frequência em Hz
	7,67
	20
	0.383
	2.607
	8,06
	20
	0.403
	2.481
	7,63
	20
	0.381
	2.621
A seguir o sistema foi medido com um osciloscópio, os dados obtidos foram:
	Período em s
	Frequência em Hz
	0.4135
	2.45 
Nota-se que os valores calculados através da medição do tempo para 20 ciclos apresentaram erro de até 6.4 %, um bom valor visto que a contagem dos ciclos e a inicialização e interrupção do cronometro foram feitos via humana, o que gera erros devido ao tempo de reação do ser humano. Ou seja, os valores se aproximam bem dos valores obtidos pelo osciloscópio.
Experimento 3: Amortecimento em sistema com um grau de liberdade
Neste experimento uma viga com uma massa concentrada em sua extremidade foi excitada, com o objetivo de se analisar a oscilação de uma viga. A excitação foi executada por um aluno, que segurou o sistema pela sua extremidade, o forcou para baixo e depois o soltou. É importante salientar que a forma na qual o estudante soltou o sistema poderia agir como amortecimento e alterar os resultados obtidos.
Os dados geométricos são:
	Base da secção da viga - b
	0.03 m
	Altura da secção da viga - h
	0.0025
	Módulo elástico do material da viga - E
	
	Comprimento da viga – l
	0.275 m
	Massa concentrada - 
	0.593 kg
	Massa da viga –
	0.204 kg
Com esses dados e as seguintes fórmulas:
Calculou-se:
	Inércia da viga em 
	
	Constante elástica da viga em N/m
	1126.900
	Massa total em kg
	0.797
	Frequência Natural em Hz
	6.679
	Em seguida foi medido o intervalo entre dois picos da curva gerada pelo sistema de medição. O intervalo entre dois picos corresponde ao período e com ele pudemos calcular a frequência:
	Intervalo entre dois picos – Período em s
	0.147
	Frequência em Hz
	6.802
Em seguida tinha-se como objetivo o calculo do amortecimento, em duas configurações, uma sem amortecedor e outra com amortecedor. Para isso duas análises seriam feitas, uma no domínio do tempo, usando o decremento logarítmico , e a outra no domínio da frequência, usando o conceito do fator de qualidade Q / Banda de passagem. Infelizmente as medidas para o caso com amortecimento usando o método de banda de passagem não puderam ser realizados. Os demais resultados serão aqui apresentados. 
	O método no domínio do tempo, observa que o decaimento da amplitude de vibração é exponencial. Portanto, o período entre dois picos é:
Através de cálculos o decaimento logarítmico pode ser calculado por:
No experimento aqui rodado, foram tomadas as medidas de dois picos com uma distância de 10 (dez) intervalos entre eles.
Os resultados obtidos foram:
	Decremento logarítmico
	
	Sem amortecedor
	Com amortecedor
	
	1.7
	1.6
	
	1.4
	0.2
	n
	10
	10
	
	0.194
	2.079
	
	0.019
	0.208
	
	
	
Nota-se que no caso amortecido o pico após dez intervalos é claramente menor que no caso sem amortecimento. Observa-se também os valores de , que no caso amortecido é quase 10 vezes maior que o do caso sem amortecedor.
O método da banda de passagem usa a transformada de Fourier da resposta impulsiva, ou seja, é uma Função Resposta em frequência . A amplitude da resposta tem um pico na frequência próxima à frequência natural. “A Banda de passagem do sistema é a faixa de frequências delimitada pelos pontos da meia potencia (), onde a amplitude ao quadrado cai à metade do valor máximo, 
A medição desse tipo de resposta é feita na escala logarítmica de decibel dB. Com essa escala pode-se analisar espectros com grande e pequena amplitude na mesma tela. 
O fator de qualidade Q mede o quão estreita a banda passante é:
Durante o experimento foi coletado os dados para o caso em amortecimento. Os resultados são apresentados abaixo.
	Bande de passagem
	
	Sem amortecedor 
	
	6.801 Hz
	
	6.806 Hz
	
	6.921 Hz
	
	56.715
	
	
Se compararmos os valores de entre os dois métodos vamos encontrar uma diferença de , uma valor considerável para a bancada experimental. Disto conclui-se que alguma medida estava errada. O erro pode ter diferentes fontes: erro de leitura, erro humano, calibração etc. (lembrando aqui que a interferência humana era bem presente.)
O caso amortecido não foi executado por falhas técnicas.
Experimento 4: Sistemas com dois grausde liberdade
O experimento 4 não foi executado devido a problemas apresentados no sistema.
Experimento 5: Sistema com seis graus de liberdade excitado por desbalanceamento.
Neste experimento o nosso modelo possuía seis graus de liberdade, três deslocamentos lineares e três rotações. A origem do sistema adotada era no centro geométrico da placa retangular.
A modelo experimental, a “mesa”, era excitada com um impacto provocado por um aluno através de um martelo. O impacto era provocado em diferentes direções. Através de medições obtínhamos um diagrama com as frequências que haviam sido excitadas com o impacto. A frequência que apresentava a maior amplitude era então uma das frequências naturais.
Depois que todas as direções foram analisadas, a “mesa” foi estimulada através de um osciloscópio até que estados de ressonância fossem observados. Quando o estado de ressonância fosse atingido media-se a frequência. Apenas quatro estados de ressonância foram medidos.
Os resultados são apresentados na tabela abaixo:
	Modos nas ressonâncias
	Fn experimental usando martelo
(Hz)
	Fn observada na ressonância 
(Hz)
	Rotação da ressonância 
(rpm)
	
	6,2
	6,066
	364
	
	14,5
	14,430
	866
	
	8,7
	8,339
	500,38
	
	12,7
	17,583
	755
	
	5,3
	
	
	
	7,3
	
	
Para as quatro ressonâncias observados, tirando a direção , todos as outras direções apresentam uma diferença menor que 5%. Na direção , foi-se encontrado um erro de 27,7%. Essa diferença vem provavelmente da medição, uma vez que o sistema não sofreu mudança durante as medições, e aliado ao fato que as outras medições apresentaram resultados coerentes era de se esperar um resultado coerente também na direção em questão. É válido lembrar que no entorno de uma frequência de ressonância o sistema vibra com amplitudes muito altas, é possível então que tome-se um frequência errada como de ressonância pelo fato dela estar no entorno da mesma. 
Experimento 6: Sistema Contínuo (Corda Vibrante)
 
O experimento da corda vibrante consistiu em estimular uma corda de aço de tal forma à encontrar seus modos de vibração. Os modos estacionários de vibração para uma corda de comprimento L são definidos pela seguinte fórmula:
Onde é a velocidade de propagação da onda na corda, e é dada por:
Portanto, quando o gerador de sinais excitar a corda com uma frequência que coincida com uma frequência natural da corda ocorrerá o aparecimento de uma onda estacionária. Combinando as duas fórmulas acima apresentar, poderemos comparar os valores das frequências estacionários medidas com um valor teórico. 
Os resultados são abaixo apresentados:
	Comprimento da corda – L em metros
	Tensão teórica em N
T=m*g
	Frequência de ressonância calculada
(
	Frequência de ressonância experimental em Hz
	0.900
	22.275
	
	
Podemos ver que as frequências medidas e as teóricas são bem próximas uma da outra, apresentando diferença apenas nas casas após a virgula, tirando o caso da quinta frequência. Vale lembrar que o leitor de frequência experimental só apresentava resultados inteiros. Portanto podemos considerar os resultados correspondentes com os da versão teórica.
Conclusões e comentários: 
Ao longo de todos os experimentos que aqui foram executados consolidou-se melhor os conhecimentos da área de vibrações. A compressão dos diferentes tipos de sinais e a clareza da importância da frequência e do espectro de frequência foram consolidados principalmente ao longo do experimento 5 onde analisou-se o espectro de frequência para achar as frequências naturais de cada direção. A visualização das frequências de ressonâncias no mesmo experimento, mostrou o quão importante é o estudo das mesmas, como por exemplo, o efeito que as mesma teria num carro. Se considerarmos que por um acaso o motor gera-se uma frequência que fosse a de ressonância da carroceria é agora fácil imaginar o impacto que isso teria sobre o passageiro.
Os modos nodais de uma corda também mostraram o efeito desse tipo de frequência. 
De maneira geral os experimentos esclareceram os conceitos de vibrações e mostraram sua importância. 
Transformada de Fourier:
No estudo de sinais, dois domínios são utilizados: o domínio da frequência e o domínio do tempo. Muitas vezes é interessante migrar do domínio do tempo para o domínio da frequência. A operação matemática que possibilita essa conversão é genericamente chamada de transformada integral, com a transformada de Fourier. A transformada de Fourier decompõe uma função e uma soma de um número de componentes senoidais, produzindo assim um espectro e frequências. A transformada de Fourier é expressa pela seguinte integral: