Fractais - Avner Proba, Bruno Guedes, Daniel Conforte, João Pedro Otoni

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Fractais
Modelagem e Prototipagem
Avner Proba | Bruno Guedes | Daniel Conforte | João Pedro Otoni
O que é um fractal?
Fractais são figuras não pertencentes a Geometria Euclidiana. a geometria 
fractal é o ramo da geometria destinado a estudar propriedades e o 
comportamento dos fractais.
Um fractal compreende um objeto geométrico que pode ser divido em partes, 
tais quais são semelhantes ao objeto original. 
Na geometria fractal cada elemento é constituído de um conjunto de 
elementos com o mesmo formato, mas em tamanho e disposição diferentes.
História
 - Já na antiguidade 
Fibonacci, mostrou que 
a matemática pode definir 
formas (fractais) aplicáveis 
em todo o nosso universo.
no entanto, o conhecimento específico neste campo da geometria somente 
pôde ser desenvolvido após a descoberta e uso do computador
Em 1975 - Benoît Mandelbrot descobriu a 
geometria fractal.
Nome criado a partir do adjetivo latino 
“fractus”, do verbo “frangere”, que significa 
quebrar.
História
Em 1985 é que um arquiteto relaciona o partido arquitetônico do projeto 
com esta geometria. Eisenman (1988) produziu para a Bienal de Vezena o 
projeto “Moving arrows, Eros and other errors” usando elementos da 
teoria dos fractais, que acabou premiado na 3ª Bienal de Veneza. 
O projeto traçava na cidade a história 
de Romeu e Julieta. Três conceitos 
dos Fractais foram aplicados: 
descontinuidade, recursividade e auto-
similaridade.
O programa procura apresentar a 
história através dos castelos e dos 
caminhos na cidade. O arquiteto usa 
os elementos urbanos e o método 
Escalante para contar a sua versão.
Fractais Basais
Os fractais estão presentes na natureza. Exemplos como: 
Formação do Romanesco Folha da Samambaia Formação da Babosa
A geometria fractal também está presente na organização das tribos 
africanas.
Organização de tribos africanas
A matemática e consequentemente a 
geometria fractal na África estão 
muito relacionadas a religião, aos 
mitos populares, e muito presentes 
nas construções, nas artes, nas 
danças, nos jogos, na astronomia e 
na matemática propriamente dita.
Desde 1980, um cientista chamado 
Ron Englash vem estudando 
as tribos africanas e suas 
organizações que parecem seguir 
uma “lógica fractal” em sua 
arquitetura.
Vila africana de Logone Birni
Vila africana de Logone Birni
A Vila de Logone Birni que como pode-se ver pela foto, consistem em 
retângulos dentro de retângulos. Englash conversando com o Chefe da 
Vila sobre fractais, recebeu a segunte resposta: "Ah, Sim! Nós conheciamos 
isso: um retângulo dentro de um retângulo, nós já sabíamos tudo sobre 
isso.”, e ele percebe que até a insígnia real tinha um retângulo dentro de 
um retângulo e o caminho interno pelo palácio é de fato como essa espiral.
Vila dos Ba-Ila
Outra tribo também estudada por Englash foi a dos Ba-Ila, que tem uma 
vila do sul da Zambia com cerca de 400 metros de diâmetro. Onde tem um 
imenso anel, e os anéis em volta representam os cercados de cada família, 
que ficam cada vez mais largos a medida que se chega na parte de trás onde 
se encontra o anel do Chefe, e nesse anel o anel da família do Chefe.
Categorias de Fractais
Os fractais podem ser agrupados em três categorias principais. Estas 
categorias são determinadas pelo modo como o fractal é formado ou 
gerado:
Sistema de funções iteradas:
- Também conhecidos como fractais geométricos.
- Subconjuntos gerados por transformações geométricas simples do 
próprio objeto nele mesmo.
- Regra fixa de substituição geométrica aplicadas a cada iteração.
Curva de Peano
Conjunto de Cantor
Sistemas de Funções Iteradas
Floco de neve de Koch
Sistemas de Funções Iteradas
Esponja de Menger
Categorias de Fractais
Fractais gerados por computadores:
- Definidos por uma relação de recorrência em cada ponto do espaço. 
- Chamados também de Fractais de fuga do tempo.
Fractal de Lyapunov
Fractais gerados por computadores
Conjunto de Mandelbrot
Categorias de Fractais
Fractais aleatórios:
- Também chamados de fractais naturais
- O todo é estatisticamente semelhante a uma ampliação de uma parte 
- São gerados por processos estocásticos ao invés de determinísticos
Fractal Vôo de Lévy
Categorias de Fractais
Ainda, também podem ser classificados de acordo com sua auto-
similaridade. Existem três tipos de auto-similaridade encontrados 
em fractais:
Auto-similaridade exata
- O fractal é idêntico em diferentes escalas.
 - Fractais gerados por sistemas de funções iterativas.
Quase auto-similaridade
- Forma mais solta de auto-similaridade.
- Fractal apresenta ser aproximadamente, mas não exatamente idêntico em escalas 
diferentes. 
- Fractais gerados por computadores são geralmente quase auto-similares.
Auto-similaridade estatística
- Forma menos evidente de auto-similaridade. 
- Medidas numéricas ou estatísticas que são preservadas em diferentes escalas. 
- Fractais aleatórios são exemplos de fractais que possuem auto-similaridade 
estatística.
Principais fractais
Dentre os fractais mais conhecidos, merecem destaque:
Conjunto de Mandelbrot: em sua representação gráfica, pode ser 
dividido em um conjunto infinito de figuras pretas, sendo a maior delas um 
cardióide ao centro. Com uma infinidade de quase-círculos que tangenciam 
o cardióide e variam com o raio tendend assintoticamente igual a zero. 
Uma característica marcante desse fractal é a propriedade da auto-
similaridade quase que exata, como demonstrado abaixo.
Principais fractais
Esponja de Menjer: a construção desse fractal se dá por um cubo (primeira 
imagem) , divida a face do cubo em 9 quadrados. Tal sub-dividir o cubo em 
27 cubos pequenos. Remova o cubo no meio de cada face,e remover o cubo 
no centro, deixando 20 cubos (segunda imagem). 
Principais fractais
Curva de Koch: pode-se imaginar sua construção através de um segmento 
de reta dividido em 3 partes iguais, ao segmento central é utilizado como 
base para se traçar um triângulo equilátero, apaga-se o segmento que 
serviu de base para o triângulo no segundo passo. Repetindo as operações, 
chega-se num limite que define a Curva de Koch que se assemelha a um 
floco de neve.
Fractais e modelagem digital
Ivan Korsário Fractais e modelagem digital abstrata
Fractais e modelagem digital
Modelagem Fractal de uma imagem TM/Landsat-5
A geometria fractal tem sido utilizada em 
estudos de sensoriamento remoto para 
a análise de padrões e rugosidades nas 
paisagens. A superfície terrestre contém 
inúmeros elementos e fatores que contribuem 
para torná-la extremamente complexa. As 
imagens dos sensores dos satélites trazem 
informações que são os valores de brilho da 
reflectância média de um local em cada pixel.
A estimação de um modelo fractal para 
uma superfície envolve a escolha de uma 
propriedade a ser modelada, das faixas de 
escalas e do método para o cálculo das 
dimensões fractais para as faixas de escala.
Os parâmetros fractais podem ordenar 
as estruturas representadas por dados 
espaciais, decompondo a variação presente e 
exibindo escalonamento fractal. 
Fractais e a computação gráfica no cinema
A computação gráfica foi 
profundamente transformada com 
o advento dos fractais.
Loren Carpenter trabalhava para 
a Pixar e estava ajudando a Boeing 
a visualizar como aviões ficam 
durante o voo usando computação 
gráfica na elaboração de paisagens 
3D. Com o conhecimento adquirido 
através do conhecimento de 
Mandelbrot ele conseguiu em 3 
dias produzir, com repetições 
infinitas, imagens muito superiores 
às que seus computadores em 1978 
conseguiam gerar. 
Com os fractais Carpenter foi 
trabalhar na Lucasfilm, onde 
criou um novo planeta para o filme 
“Jornada nas Estrelas II, a Ira de 
Khan”. Foia primeira sequência 
criada em um computador para um 
filme futurista.
Exemplos de Arquitetura Fractal
Estação de trem - Lyon, França - Calatrava
Exemplos de Arquitetura Fractal
Prédio da BMW - Munique, Alemanha - Wolf D. Prix
Exemplos de Arquitetura Fractal
Prédio da BMW - Munique, Alemanha - Wolf D. Prix
Exemplos de Arquitetura Fractal
Museu Judaico - Berlim, Alemanha - Daniel Libeskind
Exemplos de Arquitetura Fractal
Terminal do aeroporto de Mumbai
Exemplos de Arquitetura Fractal
Terminal do aeroporto de Mumbai
Exemplos de Arquitetura Fractal
Terminal do aeroporto de Mumbai
Outros usos de Fractais
Na medicina:
Os fractais na medicina foram fundamentais para diagnóstico de várias patologias. 
Um dos campos mais desenvolvidos é o de diagnostico do câncer, uma vez que 
evidencias experimentais sugerem que tumores cancerosos tem dimensão fractal 
superior aos demais.
Outros usos de Fractais
Na indústria:
As aplicações fractais na indústria foram marcantes, uma delas se deu na de 
telefonia com a invenção da antena fractal, um design inovador de antenas 
que possibilitou uma gama maior de frequências captadas em relação a outros 
desenhos de antenas.
Outros usos de Fractais
Na indústria:
Outra aplicação na indústria usando fractais foram as fibras ópticas, cujas 
extremidades das fibras (para serem empacotadas) adquirem configuração 
fractal, garantindo uma melhor transmissão de informação.
Referências
http://www2.ic.uff.br/~aconci/aula1.html
http://www.ted.com/talks/ron_eglash_on_african_fractals.html
Afroetnomatemática, África e Afrodescendência. Henrique Costa Júnior (http://webcache.
googleusercontent.com/search?q=cache:http: / /www.mocambos.org/media/upload/Henrique_
Cunha.pdf)
African Influences in Cybernetics Author: Ron Eglash, 1995
http://pt.wikipedia.org/wiki/Fractal
http://www.fecilcam.br/nupem/anais_iv_epct/PDF/ciencias_exatas/10_FUZZO_REZENDE_SANTOS.
pdf
http://www.assuntoscriativos.com.br/2012/09/modelagem-3d-abstrata.html#.Uz4c_1e-55K
http://marte.sid.inpe.br/col/dpi.inpe.br/lise/2001/09.20.17.40/doc/1265.1272.006.pdf
http://aidobonsai.com/tag/tudo-sobre-fractais/
http://www.coop-himmelblau.at/architecture/projects/bmw-welt