2ª Lista de exercício - Profª Cleide

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Ca´lculo 4 2014.1
2aLista de Exerc´ıcios Prof. Cleide Martins
1. Resolva as seguintes EDO’s e PVI’s
a) y(4) + 3y′′ − 4y = 0
b) 2y′′′ − 3y′′ − 2y′ = 0; y(0) = 1; y′(0) = −1; y′′(0) = 3
c) 9y′′′ + 11y′′ + 4y′ − 14y = 0 sabendo que y = e−xsen x e´ soluc¸a˜o.
d) 6y(4) + 5y′′′ + 25y′′ + 20y′ + 4y = 0 sabendo que y = cos 2x e´ soluc¸a˜o.
e) y(5) + 2y′′′ + 2y′′ = 3x2 − 1 (so´ uma soluc¸a˜o particular)
f) y(4) − y = 5; y(0) = y′(0) =; y′′(0) = y′′′(0) = 0
g) x3y′′′ + 2x2y′′ − 4y = 0
h) y′′′ + 4y′ = cotg 2x
i) x3y′′′ + 5x2y′′ + 2xy′ − 2y = x4
j) 24x3y′′′ + 46x2y′′ + 7xy′ − y = 24x3 sabendo que a soluc¸a˜o geral da homogeˆnea associada e´
yh = C1x
1/2 + C2x
1/3 + C3x
1/4
1. Ache uma representac¸a˜o em se´rie de poteˆncias para cada uma das func¸o˜es e o respectivo raio de
convergeˆncia.
a) f(x) = senhx b) f(x) = sen2x2 c) f(x) = (1 + x2)−
3
2 d) f(x) = ln(1+x
2)
x
e) f(x) = x√
9+x3
2. Encontre as soluc¸o˜es gerais em poteˆncias de x para as EDOs abaixo, exibindo, em cada caso, a
relac¸a˜o de recorreˆncia para o termo geral e o intervalo de convergeˆncia.
a) (x2 + 2)y′′ + 4xy′ + 2y = 0 b) y′′ − x2y′ + 2xy = 0
c) (2− x2)y′′ − xy′ + 16y = 0 d) y′′ − x2y′ − 3xy = 0
e) (4− x2)y′′ + 2y = 0 f) (1− x)y′′ + xy′ − y = 0
3. Use se´ries de poteˆncias para resolver os problemas de valor inicial:
a) y′′ + xy′ − 2y = 0; y(0) = 1, y′(0) = 0
b) (x2 − 6x+ 10)y′′ − 4(x− 3)y′ + 6y = 0; y(3) = 2, y′(3) = 0
c) (4x2 + 16x+ 17)y′′ = 8y; y(−2) = 1, y′(−2) = 0
4. Encontre os treˆs primeiros termos na˜o nulos em cada uma das soluc¸o˜es linearmente independentes,
substituindo as func¸o˜es envolvidas por suas respectivas se´ries de Taylor, com um nu´mero suficiente de
termos para o ca´lculo dos coeficientes.
a) (cosx)y′′ + y = 0 b) y′′ + e−xy = 0 c) xy′′ + (senx)y′ + xy = 0
5. Ache duas soluc¸o˜es linearmente independentes em se´rie de Frobenius (para x > 0) para as EDO’s
a) 2xy′′ + 3y′ − y = 0
b) 2x2y′′ + xy′ − (3− 2x2)y = 0
c) 3x2y′′ + 2xy′ + x2y = 0
6. Encontre os treˆs primeiros termos na˜o nulos em cada uma das soluc¸o˜es linearmente independentes
em se´rie de Frobenius
a) 2x2y′′ + x(x+ 1)y′ − (2x+ 1)y = 0
b) 2x2y′′ + (senx)y′ − (cosx)y = 0