MECÂNICA_DOS_FLUIDOS_-_Capitulo_03-_3a_Parte I

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13/05/2012
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CAPÍTULO 3 – DINÂMICA DOS 
FLUIDOS ELEMENTAR – EQUAÇÃO 
DE BERNOULLI – 3ª PARTE
UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS
ENGENHARIA CIVIL E DE MINAS
Prof. Eliane Justino
3.7 – A LINHA DE ENERGIA (OU DE CARGA TOTAL) E A 
LINHA PIEZOMÉTRICA
� A equação de Bernoulli é a Equação de Conservação da Energia
Mecânica.
� Também mostra qual é a partição desta energia nos escoamentos
invíscidos , incompressíveis e em regime permanente e estabelece que
a soma das várias energias do fluido permanece constante no
escoamento de uma seção para outra.
� Uma interpretação útil da Equação de Bernoulli pode ser obtido através
da utilização dos conceitos da Linha Piezométrica e da Linha de
Energia.
� Estes conceitos nos permitem realizar uma interpretação
geométrica do escoamento e podem ser utilizados para propiciar
um melhor entendimento dos escoamentos.
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3.7 – A LINHA DE ENERGIA (OU DE CARGA TOTAL) E A 
LINHA PIEZOMÉTRICA
� A energia total permanece constante ao longo da linha de corrente nos
escoamento incompressíveis, invíscidos e que ocorre em regime
permanente.
� O conceito de carga foi introduzido dividindo os termos da Equação de
Bernoulli pelo peso específico do fluido, γ = ρ.g, ou seja:
� H – é uma constante denominada Carga Total.
� A linha de energia representa a carga total disponível no fluido, como
mostra a Figura a seguir
3.7 – A LINHA DE ENERGIA (OU DE CARGA TOTALA) E 
A LINHA PIEZOMÉTRICA
� Representação da Linha de Energia e da Linha Piezométrica.
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3.7 – A LINHA DE ENERGIA (OU DE CARGA TOTALA) E 
A LINHA PIEZOMÉTRICA
� Como mostra na Figura anterior, a elevação da Linha de energia pode
ser obtida a partir da pressão de estagnação medida com um tubo de
Pitot, pois esta fornece uma medida da carga (ou energia) total do
escoamento.
� A pressão estática, medida pelos tubos piezométricos, por outro lado,
mede a soma das carga de pressão e de elevação, p/γ + z, e esta soma
é denominada Carga Piezométrica.
� O lugar geométrico das elevações obtidas com um tubo de Pitot num
escoamento é denominado Linha de Energia.
� A linha formada pela série de medições piezométricas num escoamento
é denominada Linha Piezométrica.
3.7 – A LINHA DE ENERGIA (OU DE CARGA TOTALA) E 
A LINHA PIEZOMÉTRICA
� Note que, a linha de energia será horizontal se o escoamento não
violar as hipóteses utilizadas na obtenção da Equação de Bernoulli.
� Se a velocidade do fluido aumenta ao longo da Linha de Corrente a
Linha Piezométrica não será horizontal.
� Se os efeitos viscosos forem importantes (como nos escoamentos em
tubos) a carga total não permanece constante devido as perdas de
energia mecânica ao longo da Linha de Corrente, o que significa que a
Linha de Energia não é mais horizontal.
� A Figura a seguir mostra a Linha de Energia e Piezométrica relativa ao
escoamento de um grande tanque.
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3.7 – A LINHA DE ENERGIA (OU DE CARGA TOTALA) E 
A LINHA PIEZOMÉTRICA
� As Linhas de Energia e piezométrica no Escoamento Efluente de um
Grande Tanque:
3.7 – A LINHA DE ENERGIA (OU DE CARGA TOTALA) E 
A LINHA PIEZOMÉTRICA
� A Linha de energia é horizontal e passa pela superfície livre do líquido
do tanque, porque a velocidade e a pressão relativa na superfície livre
do tanque são nulas.
� A linha Piezométrica dista V2 / 2g da Linha de Energia, assim uma
mudança na velocidade do fluido provocada por uma variação no
diâmetro da tubulação, resulta numa mudança da altura da Linha
Piezométrica.
� A Carga de pressão é nula na seção de descarga da tubulação e, deste
modo, a altura da tubulação coincide com a linha piezométrica.
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3.7 – A LINHA DE ENERGIA (OU DE CARGA TOTALA) E 
A LINHA PIEZOMÉTRICA
� A Figura abaixo mostra que a distância entre a tubulação e a Linha
Piezométrica indica qual é a pressão no escoamento.
3.7 – A LINHA DE ENERGIA (OU DE CARGA TOTALA) E 
A LINHA PIEZOMÉTRICA
� Se o trecho de tubulação se encontra abaixo da linha piezométrica a
pressão no escoamento é positiva (acima da atmosférica).
� Se o trecho de tubulação está acima da linha piezométrica a pressão
negativa (abaixo da atmosférica)
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EXEMPLO 3.14 – pág. 122
� A Figura abaixo mostra água sendo retirado de um tanque através de
uma mangueira que apresenta diâmetro constante. Um pequeno furo é
encontrado no ponto (1) da mangueira. Nós identificaremos um
vazamento de água ou sucção de ar para mangueira no furo?
EXEMPLO 3.14 – pág. 122
� SOLUÇÃO:
� Se a pressão no ponto (1) for menor do que a atmosférica nós
detectaremos sucção de ar para o escoamento de água e se a pressão
em (1) for maior do que a atmosférica nós identificaremos um
vazamento de água da mangueira.
� Nós podemos determinar o valor da pressão neste ponto se utilizarmos
as linhas de energia e piezométrica.
� Primeiramente nós vamos admitir que o escoamento ocorre em regime
permanente, é incompressível e invíscido. Nestas condições a carga
total é constante, ou seja, a linha de energia é horizontal.
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EXEMPLO 3.14 – pág. 122
� A Equação da continuidade (A.V = constante) estabelece que a
velocidade do escoamento na mangueira é constante porque o diâmetro
da mangueira não varia.
� Assim, a linha piezométrica está localizada a V2/2g abaixo da linha de
energia (veja a Figura do Exercício).
� Como a pressão na seção de descarga da mangueira é igual a
atmosférica, segue que a linha piezométrica apresenta a mesma altura
da seção de carga da mangueira.
� O Fluido contido na mangueira está acima da linha piezométrica e,
assim, a pressão em toda a mangueira é menor do que a pressão
atmosférica.
� Isto mostra que terá sucção de ar para escoamento de água através do
furo localizado no ponto (1).
EXEMPLO 3.14 – pág. 122
� Note que efeitos viscosos podem tornar esta análise mais complexa, já
que adotar a linha de energia como horizontal incorreto.
� Entretanto, se a velocidade do escoamento não for alta, se o diâmetro
da mangueira não for muito pequeno e seu comprimento não for longo,
o escoamento pode ser modelado como não viscoso e os resultados
desta análise são muito próximo dos experimentais.
� Será necessário realizar uma análise mais detalhada deste escoamento
se qualquer uma das hipóteses utilizadas for relaxada.
� Se a válvula localizada na seção de descarga da mangueira for
fechada, de modo que a vazão em volume se torna nula, a linha
piezométrica coincidirá com a linha de energia (V2/2g = 0 ) em toda a
mangueira) e a pressão no ponto (1) será maior que a atmosférica.
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EXEMPLO 3.14 – pág. 122
� Neste caso, nós identificaremos um vazamento de água pelo furo
localizado no ponto (1).
� A discussão anterior sobre a linha de energia e piezométrica é
restrita a escoamento invíscidos, incompressível e que ocorrem
em regime permanente e outra restrição é que não existem
“fontes” ou “sorvedouros” de energia no escoamento, ou seja, o
escoamento não é afetado por bombas ou turbinas.
3.8 3.8 3.8 3.8 –––– RESTRIÇÕES PARA A UTILIZAÇÃO DA RESTRIÇÕES PARA A UTILIZAÇÃO DA RESTRIÇÕES PARA A UTILIZAÇÃO DA RESTRIÇÕES PARA A UTILIZAÇÃO DA 
EQUAÇÃO DE EQUAÇÃO DE EQUAÇÃO DE EQUAÇÃO DE BERNOULLIBERNOULLIBERNOULLIBERNOULLI
� Vamos considerar as conseqüências da utilização incorreta da Equação
de Bernoulli.
3.8.1 – EFEITOS DA COMPRESSIBILIDADE
� A utilização da Equação de Bernoulli pra análise de escoamento de
gases, pode levar a sérios erros.
� Se a massa específica permanecer constante tem se que a diferença
entre pressão de estagnação e a pressão estática é igual a ρV2/2.
� Se a pressão dinâmica não é alta, quando comparada com a pressão
estática, a variação da massa específica entre dois pontos do
escoamento não é muito grande e o fluido pode ser considerado
incompressível.
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3.8.1 – EFEITOSDA COMPRESSIBILIDADE
� Entretanto, como a pressão dinâmica varia com V2, o erro associado
com a hipótese de incompressibilidade do fluido aumenta com o
quadrado da velocidade do escoamento.
� Tendo:
� Integrando adequadamente: e levando em consideração a variação
da massa específica do fluido.
� Tomando um escoamento isotérmico de um gás perfeito:
3.8.1 – EFEITOS DA COMPRESSIBILIDADE
� Assim, se o escoamento ocorre em regime permanente, é isotérmico e
invíscido, a Equação se torna:
� Onde se tem ρ = p/RT. O termo de pressão é facilmente integrável e a
constante de integração avaliada se z1, p1 e V1 são conhecidos em
algum ponto da linha de corrente. Assim:
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3.8.1 – EFEITOS DA COMPRESSIBILIDADE
� Na situação limite em que p1/p2 = 1 + ((p1 – p2)/p2) = 1 + ε com ε << 1,
a Equação se reduz a Equação de Bernoulli Padrão.
� Isto pode ser mostrado utilizando a aproximação ln(1 + ε ) = ε , quando
ε é pequeno.
� A utilização da Equação é muito restrita porque os efeitos viscosos são
importante na maioria dos escoamentos.
� O escoamento compressível mais usual é o isoentrópico (entropia
constante) de um gás perfeito, estes escoamentos são adiabáticos
reversíveis, sem a presença de atrito e transferência de calor e são
boas aproximações em muitas situações.
3.8.1 – EFEITOS DA COMPRESSIBILIDADE
� Como já vimos no Capítulo 01, a massa específica e a pressão estão
relacionados por:
� Onde ´k é a relação entre os calores específico e C é constante nos
escoamentos isoentrópicos de Gases Perfeitos.
� Assim, pode ser avaliado do seguinte modo;
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3.8.1 – EFEITOS DA COMPRESSIBILIDADE
� O termo de pressão pode ser integrado entre os pontos (1) e (2) da
linha de corrente e a constante C avaliada em um dos pontos C+1/k =
p11/k/ρ1 ou C+1/k = p21/k/ρ2 para fornecer:
� Assim tem-se:
3.8.1 – EFEITOS DA COMPRESSIBILIDADE
� A Equação pra fluidos compressíveis isoentrópicos e a Equação de
Bernoulli fornecem os mesmos resultados quando aplicada a
escoamentos com velocidade baixa.
� A Equação para fluido compressível isoentrópico pode ser escrita de
forma adimensional:
� Onde (1) denota as condições a montante e (2) as condições de
estagnação. Foi admitido que z1 = z2 e Ma = V1/C1 é o número de Mach
a montante, sendo a velocidade do som, C1 = (kRT1)1/2.
COMPRESSÍVELCOMPRESSÍVELCOMPRESSÍVELCOMPRESSÍVEL
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3.8.1 – EFEITOS DA COMPRESSIBILIDADE
� A comparação entre estes resultados compressível e incompressível é
mais facilmente visualizada se escrever o resultado incompressível em
função da relação entre as pressões e o número de Mach.
� Dividindo todos os termos da Equação de Bernoulli:
� Por p1 e utilizando a Equação dos gases perfeitos, p1 = ρRT1, para
obter:
3.8.1 – EFEITOS DA COMPRESSIBILIDADE
� Como , pode-se reescrever:
� A Figura a seguir mostra a relação de pressão em função do número de
Mach para escoamentos isoentrópicos compressível e incompressível:
INCOMPRESSÍVELINCOMPRESSÍVELINCOMPRESSÍVELINCOMPRESSÍVEL
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3.8.1 – EFEITOS DA COMPRESSIBILIDADE
� Observe que no limite onde as velocidades são baixas, Ma → 0, os
resultados obtidos com as duas Equações são iguais.
3.8.1 – EFEITOS DA COMPRESSIBILIDADE
� Isto pode ser visto escrevendo:
� E utilizando a expressão binomial:
� Onde n = k/(k-1), para reescrever a equação do fluido compressível:
COMPRESSÍVELCOMPRESSÍVELCOMPRESSÍVELCOMPRESSÍVEL
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3.8.1 – EFEITOS DA COMPRESSIBILIDADE
� Se o número de Mach é muito menor do que 1, os resultados obtidos
nesta última equação (compressível) são equivalente ao obtido na
Equação Incompressível. A diferença máxima entre os resultados
compressível e incompressível é menor do que aproximadamente 2%
para o número de Mach menores do que 0,3.
� Assim, um escoamento de gás perfeito pode ser considerado
incompressível desde que o número de Mach seja menor do que 0,3.
� Para T1 = 15º C, C1 = (kRT)1/2 = 332 m/s, V1 = C1 . Ma = 0,3 x 332 =
99,5 m/s ainda pode ser considerado incompressível.
EXEMPLO 3.15 – pág. 125
� Um Boeing 777 voa, com Ma = 0,82, numa altitude de 10000 m.
Admitindo que a atmosfera se comporta como a padrão, determine a
pressão de estagnação no bordo de ataque de suas asas modelando o
escoamento como incompressível e, também como compressível.
� SOLUÇÃO;
� Nós podemos encontrar as propriedades da atmosfera padrão na Tab.
C.1. Assim, p1 = 26,5 kPa (abs), T1 = - 49,9ºC = 223,3 K, ρ = 0,414
kg/m3 e k = 1,4. Se nós modelarmos ρ escoamento como
incompressível. A Eq. para fluidos incompressíveis, fornece:
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EXEMPLO 3.15 – pág. 125
� De outro modo se admitirmos o escoamento isoentrópcio e
compressível, tem-se:
� Note que os efeitos de compressibilidade são importantes quando o
número de Mach é igual a 0,82.
� A pressão (e como uma primeira aproximação a sustentação e o arrasto
no avião é aproximadamente 14,7/12/5 = 1,18 vezes maior no caso
compressível do que no incompressível. Isto pode ser muito
significativo.
� Para número de Mach maiores do que 1 (escoamento supersônico), as
diferenças entre os resultados compressíveis e incompressíveis não
são apenas quantitativas mas também qualitativas.
3.8.2 – EFEITOS TRANSITÓRIOS
� Numa das hipóteses adotada para a derivação da Equação de Bernoulli
é de que o escoamento ocorre em regime permanente.
� Portanto a velocidade em uma linha de corrente V = V(s), porém em
regime transitório V = V(s,t), portanto é necessário levar em
consideração, a derivada temporal da velocidade, para obter a
aceleração ao longo da linha de corrente.
� Assim, tem-se:
� Em vez de;
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3.8.2 – EFEITOS TRANSITÓRIOS
� A inclinação do temo transitório na Equação do Movimento não permite
que esta possa ser integrada facilmente e por isso é necessário
induzirmos outras hipóteses adicionais.
� Se integrarmos a Equação do Movimento incluindo o termo transitório
tem-se:
� Esta Equação pode ser facilmente integrada entre os pontos (1) e (2) do
escoamento se o mesmo for incompressível:
3.8.2 – EFEITOS TRANSITÓRIOS
� Esta equação é a Equação de Bernoulli pra Escoamento Invíscidos,
Incompressíveis e em Regime Transitório.
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EXEMPLO 3.16 – pág. 126
� Um escoamento simples aonde os efeitos transitórios são dominante é
aquele da oscilação de uma coluna de líquido no tudo em U (veja a
figura abaixo). Quando a coluna é liberada de uma posição de não
equilíbrio, ela oscilará numa freqüência definida. Determine esta
freqüência admitindo que os efeitos viscosos não são importantes.
EXEMPLO 3.16 – pág. 126
� SOLUÇÃO:
� A freqüência da oscilação pode ser calculada pela equação:
� (1)
� Admita que os pontos (1) e (2) estão localizados nas interfaces ar-água
das duas colunas do tubo e que z = 0 corresponde a posição de
equilíbrio das interfaces.
� Assim, p1 = p2 = 0 e se z1 = z temos que z2 = - z. Note que z é uma
função do tempo, z = z(t).
� Para um tubo em U com diâmetro constante, a velocidade do fluido no
tubo é constante V1 = V2 = V em qualquer instante e a integral que
representa o efeito transitório da Equação anterior pode ser escrita
como:
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EXEMPLO 3.16 – pág. 126
� Onde l é o comprimento total da coluna e líquido (veja a figura deste
exemplo). Assim, a Equação (1) pode ser transformada em:
� Como V = dz/dt e γ = ρ.g, esta equação pode ser escrita como uma
equação diferencial de segunda ordem ( igual àquela que descreve os
movimentos harmônicos simples da mecânica), ou seja:
(2)
EXEMPLO 3.16 – pág. 126
� Cuja solução é z(t) = C1 sen ((2g / l)1/2 t) + C2 cos ((2g / l)1/2 t).
� Os valores das constantes C1 e C2 dependem do estado inicial(velocidade e posição) do líquido no instante t = 0. Assim, o líquido
oscila no tubo com uma freqüência ω =(2 g / l)1/2.
� Observe que esta freqüência é função do comprimento da coluna e da
aceleração da gravidade (de modo similar as oscilações em um
pêndulo).
� O período desta oscilação ( o tempo necessário para completar uma
oscilação é) t0 = 2pi (l / 2g)1/2.
� Nós podemos retirar o caráter transitório de alguns escoamentos com a
adoção de um sistema de coordenada adequado. Como será mostrado
no exemplo a seguir.
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EXEMPLO 3.17 – pág. 127
� A Figura abaixo mostra um submarino navegando numa profundidade
de 50 m e com velocidade, V0 igual a 5,0 m/s. considerando que a
densidade (SG) da água do mar é 1,03, determine a pressão de
estagnação no ponto (2).
EXEMPLO 3.17 – pág. 127
� SOLUÇÃO:
� O escoamento em torno do submarino é transitório para um sistema de
coordenada solidário ao fundo do oceano. Por exemplo, a velocidade no
ponto (1) é nula se o submarino está em sua posição inicial mas no
instante em que o nariz do submarino, no ponto (2), alcança o ponto (1)
a velocidade se torna igual a V1 = - V0 i. Assim, ∂V1 / ∂ t ≠ 0 e o
escoamento é transitório.
� Se aplicarmos a Equação de Bernoulli para escoamento em regime
permanente entre os pontos (1) e (2) nós obteríamos “p1 = p2 + ρV2/ 2”.
� Este resultado está errado porque a pressão estática é sempre menor
do que a pressão de estagnação. Note que este resultado absurdo é
uma decorrência da aplicação inadequada da Equação de Bernoulli.
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EXEMPLO 3.17 – pág. 127
� Nós podemos analisar o escoamento em regime transitório (o que está
fora do escopo deste texto) ou redefinir o sistema de coordenadas para
que o escoamento perca seu caráter transitório.
� Se tomarmos um sistema de coordenada solidário ao submarino, o
escoamento em torno do submarino ocorre em regime permanente.
Aplicando a Equação de Bernoulli, temos:
� Note que este resultado é similar aquele do Exemplo 3.2.
� Se o submarino estivesse acelerado, ∂V0 / ∂t ≠ 0, o escoamento seria
transitório nos dois sistemas de coordenadas apresentados e nós
seríamos obrigados a utilizar a forma da equação de Bernoulli
adequada a escoamento transitórios.
EXEMPLO 3.17 – pág. 127
� Alguns escoamentos transitórios podem ser modelados como “quase
permanentes” e resolvidos utilizando a equação de Bernoulli referente a
escoamentos em regime permanente.
� Nestes casos, os efeitos transitórios “não são muito grandes” e os
resultados para regime permanente podem ser aplicados em cada
instante do tempo como se o regime do escoamento fosse permanente.
� O esvaziamento de um tanque que contém um líquido é um exemplo
deste tipo de escoamento.
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3.8.5 – EFEITOS ROTACIONAIS
� Outra restrição da utilização da Equação de Bernoulli é que esta só
pode ser aplicada ao longo de uma linha de corrente.
� A aplicação da Equação de Bernoulli entre linhas de correntes pode
levar a erros consideráveis, dependendo das condições do escoamento
que está sendo analisada.
� Porque a constante de Bernoulli varia de uma linha de corrente para
outra.
� Entretanto sob certas restrições, estas constantes são iguais em todo o
escoamento.
� O Exemplo a seguir ilustra este fato.
EXEMPLO 3.18 – pág. 128
� Considere o escoamento uniforme no canal mostrado na Figura abaixo.
Discuta a utilização da Equação de Bernoulli entre os pontos (1) e (2),
(3) e (4) e os pontos (4) e (5). Admita que o líquido contido no tubo
piezométrico está imóvel.
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EXEMPLO 3.18 – pág. 128
� SOLUÇÃO:
� Se o escoamento é invíscido, incompressível e ocorre em regime
permanente, a aplicação da Equação de Bernoulli entre os pontos (1) e
(2), fornece:
� Como V1 = V2 = V0 e z1 = z2 = 0 segue que p1 = p2 = p0 e a constante da
Equação de Bernoulli para esta linha de corrente, C12 é dado por:
EXEMPLO 3.18 – pág. 128
� Analisando a linha de corrente que passa por (3) e (4) nós notamos que
V3 = V4 = V0 e z3 = z4 = h.
� Como foi mostrado no Exemplo 3.5, a aplicação de F = m.a na direção
normal à linha de corrente, fornece que p3 = p1 - γh porque as linhas de
corrente são retilíneas e horizontais.
� Estes fatos combinados com a Equação de Bernoulli aplicada entre os
pontos (3) e (4) mostram que p3 = p4 e que a constante de Bernoulli ao
longo desta linha de corrente é igual àquela da linha de corrente entre
os pontos (1) e (2). Ou seja, C34 = C12, ou:
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EXEMPLO 3.18 – pág. 128
� Argumentos similares podem ser utilizadas para mostrar que a
constante de Bernoulli é a mesma para qualquer linha de corrente do
escoamento mostrado na Figura deste Exemplo. Assim:
� No Exemplo 3.5 nós mostramos que p4 = p5 + γH = γH . Se nós
aplicarmos a Equação de Bernoulli entre os pontos (4) e (5) nós
obteríamos o resultado “H = p4 / γH + V42 / 2g” que é incorreto pois o
resultado correto é H = p4 / γ.
� A solução deste exemplo mostra que nós podemos aplicar a Equação
de Bernoulli na direção normal a linhas de correntes (1) – (2) e (3) – (4)
(i.e. C12 = C34) mas não entre as linhas de correntes (por exemplo, entre
os pontos (4) para (5)).
EXEMPLO 3.18 – pág. 128
� A razão para isto é que o escoamento é rotacional. Como o perfil de
velocidade do escoamento no canal é uniforme as partículas de fluido
não giram ou “rodam” quando elas se movem e por isso o escoamento
é denominado irrotacional.
� Entretanto como podemos ver na Figura abaixo;
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EXEMPLO 3.18 – pág. 128
� Existe uma região muito fina entre os pontos (4) e (5) em que as
partículas de fluido interagem e isto as faz girar. Isto produz o
escoamento rotacional. Uma análise mais complexa mostra que a
Equação de Bernoulli não pode ser aplicada entre as linhas de corrente
se o escoamento é rotacional.
� Foi mostrado neste exemplo que é válido aplicar a Equação de
Bernoulli entre linhas de corrente se o escoamento for irrotacional
(i.e. as partículas de fluido não giram durante seu movimento) e
que a aplicação desta Equação está restrita a linha de corrente se
o escoamento não for rotacional.
� A distinção entre escoamento irrotacionais e rotacionais as vezes é sutil
e estes tópicos serão analisados novamente no Cap. 6.
3.8.4 – OUTRAS RESTRIÇÕES
� Para aplicar a Equação de Bernoulli, o escoamento deve ser invíscido.
� Porque na ausência de efeitos viscosos, o sistema fluido considerado
conservativo (a energia mecânica total do sistema permanece
constante. Se isso não ocorre o sistema não é conservativo e ocorre
perda de energia mecânica.
� Outras restrição é que entre dois pontos da mesma linha de corrente
não pode existir dispositivos mecânicos, tipo bombas ou turbinas.
� Bombas – Fontes de Energia.
� Turbinas – Sumidouros de Energia.
� Portanto, quando há presença de um destes dispositivos a Equação de
Bernoulli deve ser alterada.