MECÂNICA_DOS_FLUIDOS_-_Capitulo_04_-_1a_Parte I

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12/10/2012
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CAPÍTULO 04 - CINEMÁTICA DOS 
FLUIDOS – 1ª PARTE
UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS
ENGENHARIA CIVIL E DE MINAS
Profa. Eliane Justino
INTRODUÇÃO
CinemáticaCinemáticaCinemáticaCinemática – parte da mecânica que estuda os movimentos semsemsemsem sesesese
referirreferirreferirreferir àsàsàsàs forçasforçasforçasforças quequequeque osososos produzemproduzemproduzemproduzem, ou seja, estudo das massas dos
corpos em movimento.
DinâmicaDinâmicaDinâmicaDinâmica – parte da mecânica que estuda o movimento dos corpos,
relacionandorelacionandorelacionandorelacionando----osososos àsàsàsàs forçasforçasforçasforças quequequeque oooo produzemproduzemproduzemproduzem.
Vamos analisar vários aspectos do movimento dos fluidos sem
considerarmos as forças necessárias para produzir o escoamento.
Serão analisadas a velocidade, a aceleração, a descrição e a
visualização do movimento.
AAAA cinemáticacinemáticacinemáticacinemática dodododo escoamentoescoamentoescoamentoescoamento éééé umumumum passopassopassopasso essencialessencialessencialessencial paraparaparapara oooo entendimentoentendimentoentendimentoentendimento
completocompletocompletocompleto dadadada dinâmicadinâmicadinâmicadinâmica dosdosdosdos fluidosfluidosfluidosfluidos....
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4.1 O CAMPO DE VELOCIDADE
AsAsAsAs moléculasmoléculasmoléculasmoléculas dos fluidos sempre estão se movimentando de um ponto
para outro ponto, porém pela grandegrandegrandegrande quantidadequantidadequantidadequantidade dededede moléculasmoléculasmoléculasmoléculas quequequeque
contémcontémcontémcontém umumumum fluidofluidofluidofluido fica inviávelinviávelinviávelinviável descreverdescreverdescreverdescrever oooo movimentomovimentomovimentomovimento de todas as
moléculasmoléculasmoléculasmoléculas individualmenteindividualmenteindividualmenteindividualmente.
Por isso é formulado aaaa hipótesehipótesehipótesehipótese dodododo meiomeiomeiomeio contínuocontínuocontínuocontínuo e é considerado o
fluido como compostocompostocompostocomposto porporporpor partículaspartículaspartículaspartículas fluidasfluidasfluidasfluidas que interagem entre si e
com o meio. Cada partícula contém muitas moléculas.
Assim oooo escoamentoescoamentoescoamentoescoamento éééé descritodescritodescritodescrito pelopelopelopelo movimentomovimentomovimentomovimento dasdasdasdas partículaspartículaspartículaspartículas fluidasfluidasfluidasfluidas
(velocidade e aceleração) em vez do movimento das moléculas.
As partículas infinitesimais de fluido são compactas (éééé umaumaumauma decorrênciadecorrênciadecorrênciadecorrência
dadadada hipótesehipótesehipótesehipótese dededede meiomeiomeiomeio contínuocontínuocontínuocontínuo). Assim, num dado instante, a descrição
de qualquer propriedade do fluido (isto é, massa específica, pressão,
velocidade e aceleração) pode ser formulada em função da posição da
partícula.
4.1 O CAMPO DE VELOCIDADE
CampoCampoCampoCampo dededede EscoamentoEscoamentoEscoamentoEscoamento – Apresentação dos parâmetros do fluido em
função das coordenadas espaciais, este pode ser diferente a cada
instante e, deste modo, éééé precisoprecisoprecisopreciso determinardeterminardeterminardeterminar osososos váriosváriosváriosvários parâmetrosparâmetrosparâmetrosparâmetros emememem
funçãofunçãofunçãofunção dasdasdasdas coordenadascoordenadascoordenadascoordenadas espaciaisespaciaisespaciaisespaciais eeee dodododo tempotempotempotempo paraparaparapara descreverdescreverdescreverdescrever
totalmentetotalmentetotalmentetotalmente oooo escoamentoescoamentoescoamentoescoamento.
AssimAssimAssimAssim paraparaparapara oooo campocampocampocampo dededede velocidadevelocidadevelocidadevelocidade::::
Onde: u,u,u,u, v,v,v,v, wwww são componentes do vetor velocidade nas direções x,x,x,x, y,y,y,y, zzzz.
Como velocidade da partícula é igual a taxa de variação temporal do
vetor posição da partícula.
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4.1 O CAMPO DE VELOCIDADE
A posição da partícula AAAA, em relação ao sistema de coordenadas, é dada
pela seu vetor posição, rrrrAAAA , e que este vetor é uma função do tempo se a
partícula está se movimentando, ou seja:
4.1 O CAMPO DE VELOCIDADE
Pode-se descrever o campo vetorial de velocidade especificando a
velocidade de todas as partículas fluidas, ou seja:
O módulo de VVVV é representado por:
AAAA mudançamudançamudançamudança dededede velocidadevelocidadevelocidadevelocidade provocaprovocaprovocaprovoca umaumaumauma aceleração,aceleração,aceleração,aceleração, quequequeque podepodepodepode serserserser devidadevidadevidadevida
aaaa umaumaumauma mudançamudançamudançamudança dededede velocidadevelocidadevelocidadevelocidade e/oue/oue/oue/ou direçãodireçãodireçãodireção....
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EXEMPLO 4.1 – pág. 146
O campo de velocidade de um escoamento é dado por
onde VoVoVoVo e llll são constantes. Determine o local no campo de escoamento
onde a velocidade é igual a VoVoVoVo e construa um esboço do campo de
velocidade no primeiro quadrante (xxxx >>>> 0000,,,, yyyy >>>> 0000).
SoluçãoSoluçãoSoluçãoSolução:::: Os componentes do vetor velocidade nas direções, x,x,x,x, yyyy e zzzz são
Assim, o módulo do vetor velocidade é
(4.1)(4.1)(4.1)(4.1)
Note que o local onde a velocidade é igual a VoVoVoVo é o círculo com raio llll e com
centro na origem do sistema de coordenadas (veja Figura a). A direção do
vetor velocidade em relação ao eixo xxxx é fornecida pelo ângulo θθθθ, definido
por θθθθ ==== arctanarctanarctanarctan (v/u)(v/u)(v/u)(v/u). Para este escoamento (veja figura b)
EXEMPLO 4.1 - pág. 146
Figura 4.1Figura 4.1Figura 4.1Figura 4.1
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Ao longo do eixo xxxx (y(y(y(y ==== 0000)))) nós temos que tantantantanθθθθ ==== 0000 de modo que θθθθ ==== 0000°°°° ou
θθθθ ==== 180180180180 °°°°. De modo análogo, ao longo do eixo yyyy (x(x(x(x ==== 0000)))) nós temos
tantantantanθθθθ ==== ±±±±∞∞∞∞ de modo que θθθθ ==== 90909090 °°°° ou θθθθ ==== 270270270270 °°°°.
Note, também, que para yyyy ==== 0000 nós encontramos
Enquanto para xxxx ==== 0000 nós encontramos
EXEMPLO 4.1 - pág. 146
Isto indica (se VoVoVoVo >>>> 0000) que o escoamento é
dirigido para a origem no eixo y e para fora
da origem ao longo do eixo x (figura a)
A determinação de VVVV e θθθθ em outros pontos do plano x – y nos permite
esboçar o campo de velocidade (veja figura a). Por exemplo, a velocidade
está inclinada de –––– 45454545°°°° em relação ao eixo x na reta yyyy ==== xxxx (tantantantanθθθθ ==== v/uv/uv/uv/u ====
==== ---- y/xy/xy/xy/x ==== ---- 1111).
Nós também encontramos que VVVV ==== 0000 na origem (xxxx ==== yyyy ==== 0000) e, por este
motivo, a origem éééé umumumum pontopontopontoponto dededede estagnaçãoestagnaçãoestagnaçãoestagnação. A EqEqEqEq.... 4444....1111 mostra que quanto
mais distante da origem estiver o ponto que está sendo analisado maior é
a velocidade do escoamento. É sempre possível obter informações sobre o
escoamento analisando cuidadosamente o campo de velocidade.
EXEMPLO 4.1 - pág. 146
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4.1.1 DESCRIÇÃO EULERIANA E LAGRANGEANA
DOS ESCOAMENTOS
Modo de analisar problemas na mecânica dos fluidos:
EulerianaEulerianaEulerianaEuleriana –––– utiliza conceitos de campos de velocidade, o movimento do
fluido é descrito pela especificação completa dos parâmetros necessários
(por exemplo, pressão, massa específica e velocidade) emememem funçãofunçãofunçãofunção dasdasdasdas
coordenadascoordenadascoordenadascoordenadas espaciaisespaciaisespaciaisespaciais eeee dodododo tempotempotempotempo. ObtêmObtêmObtêmObtêm----sesesese informaçõesinformaçõesinformaçõesinformações emememem funçãofunçãofunçãofunção dodododo
quequequeque aconteceaconteceaconteceacontece emememem pontospontospontospontos fixosfixosfixosfixos dodododo escoamentoescoamentoescoamentoescoamento enquantoenquantoenquantoenquanto oooo fluidofluidofluidofluido escoaescoaescoaescoa porporporpor
estesestesestesestes pontospontospontospontos....LagrangeanaLagrangeanaLagrangeanaLagrangeana –––– envolveenvolveenvolveenvolve seguirseguirseguirseguir asasasas partículaspartículaspartículaspartículas fluidasfluidasfluidasfluidas e determinar como as
propriedades da partículas sãosãosãosão “rotuladas”“rotuladas”“rotuladas”“rotuladas” (identificadas(identificadas(identificadas(identificadas) e suas
propriedadespropriedadespropriedadespropriedades sãosãosãosão determinadasdeterminadasdeterminadasdeterminadas durantedurantedurantedurante oooo movimentomovimentomovimentomovimento....
4.1.1 DESCRIÇÃO EULERIANA E LAGRANGEANA
DOS ESCOAMENTOS
ExemploExemploExemploExemplo:::: Análise do escoamento da fumaça descarregada de uma
chaminé:
EulerianaEulerianaEulerianaEuleriana:::: Instala-se um dispositivo para medir a temperatura no topo da
chaminé (ponto O) e registrar a temperatura neste ponto em função do
tempo. O termômetro indicará a temperatura de partículas diversas em
instantes diferentes.
Em função do tempoEm função do tempoEm função do tempoEm função do tempo
A utilização de vários termômetros
fixos em diversos pontos nos fornecerá o
campo de temperatura do escoamento,
TTTT (x,(x,(x,(x, y,y,y,y, z,z,z,z, t)t)t)t).
A temperatura da partícula em função
do tempo não pode ser determinada a
menos que conheçamos a posição da
partícula em função do tempo.
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4.1.1 DESCRIÇÃO EULERIANA E LAGRANGEANA
DOS ESCOAMENTOS
ExemploExemploExemploExemplo:::: Análise do escoamento da fumaça descarregada de uma
chaminé.
LagrangeanaLagrangeanaLagrangeanaLagrangeana:::: Instala-se um dispositivo para medir a temperatura numa
partícula fluida (partícula A) e registra-se a sua temperatura durante o
movimento. Assim obtém a história da temperatura da partícula.
A utilização de um conjunto de dispositivos para medir a temperatura em
várias partículas fornece a história das temperaturas destas partículas.
Se dispusermos das informações suficientes para a descrição EulerianaEulerianaEulerianaEuleriana
é possível determinar todas as informações LagrangeanaLagrangeanaLagrangeanaLagrangeana do escoamento
em questão e vice versa.
Usualmente usa-se o método EulerianoEulerianoEulerianoEuleriano para descrever o escoamento
tanto em investigações experimentais quanto nas analíticas.
4.1.1 DESCRIÇÃO EULERIANA E LAGRANGEANA
DOS ESCOAMENTOS
Método Numérico, usa-se o método LagrangeanoLagrangeanoLagrangeanoLagrangeano, pois a resolução dos
escoamentos sãosãosãosão baseadosbaseadosbaseadosbaseados nananana análiseanáliseanáliseanálise dededede partículaspartículaspartículaspartículas individuaisindividuaisindividuaisindividuais eeee nasnasnasnas
interaçõesinteraçõesinteraçõesinterações destasdestasdestasdestas partículaspartículaspartículaspartículas fluidasfluidasfluidasfluidas e, assim, descrevem o escoamento a
partir de termos LagrangeanosLagrangeanosLagrangeanosLagrangeanos....
ExemploExemploExemploExemplo:::: LagrangeanaLagrangeanaLagrangeanaLagrangeana
A utilização de traçador opacos de Raios X torna possível seguir o
escoamento de sangue nas artérias e obter descrição LagrangeanaLagrangeanaLagrangeanaLagrangeana do
escoamento.
Também pode ser útil para analisar o escoamento em máquina
hidráulicas (como bombas e turbinas) aonde as partículas fluidas ganham
ou perdem energia ao longo de suas trajetórias.
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4.1.2 ESCOAMENTOS UNIDIMENSIONAIS, 
BIDIMENSIONAIS E TRIDIMENSIONAIS
Geralmente os escoamentos são tridimensionais, transitórios e complexos
Mas pode-se utilizar hipóteses simplificadora, desde que não sacrifique a
precisão como unidimensional ou bidimensional.
ComponentesComponentesComponentesComponentes dadadada VelocidadeVelocidadeVelocidadeVelocidade –––– u,u,u,u, vvvv ,,,, wwww....
ExemploExemploExemploExemplo dededede EscoamentoEscoamentoEscoamentoEscoamento TridimensionalTridimensionalTridimensionalTridimensional
Escoamento de ar em torno de uma asa de avião é Tridimensional e
Complexo.
SóSóSóSó éééé possívelpossívelpossívelpossível modelarmodelarmodelarmodelar oooo escoamentoescoamentoescoamentoescoamento bibibibi ouououou unidimensionalunidimensionalunidimensionalunidimensional sesesese osososos resultadosresultadosresultadosresultados
numéricosnuméricosnuméricosnuméricos sesesese aproximaremaproximaremaproximaremaproximarem dosdosdosdos resultadosresultadosresultadosresultados experimentaisexperimentaisexperimentaisexperimentais....
4.1.3 ESCOAMENTOS EM REGIME PERMANENTE 
E TRANSITÓRIOS
RegimeRegimeRegimeRegime PermanentePermanentePermanentePermanente � A velocidade numnumnumnum dadodadodadodado pontopontopontoponto não varia com o
tempo.
TransitórioTransitórioTransitórioTransitório � A velocidade varia com o tempo
EscoamentoEscoamentoEscoamentoEscoamento TransitórioTransitórioTransitórioTransitório – Escoamento não periódicos, transitório
periódicos e os escoamentos verdadeiramente aleatórios.
• EscoamentoEscoamentoEscoamentoEscoamento nãonãonãonão periódicoperiódicoperiódicoperiódico - Fechamento de uma válvula que pode
levar ao golpe de aríete (variações de pressão decorrentes de
variações da vazão, causadas por alguma perturbação, voluntária
ou involuntária, que se imponha ao fluxo de líquidos em condutos)
• EfeitosEfeitosEfeitosEfeitos transitóriostransitóriostransitóriostransitórios periódicosperiódicosperiódicosperiódicos - Injeção periódica de mistura ar-
gasolina nos cilindros de um motor automático.
• EfeitosEfeitosEfeitosEfeitos transitóriostransitóriostransitóriostransitórios aleatóriosaleatóriosaleatóriosaleatórios - Escoamento turbulentos, pode ser
observado nas torneiras, rajadas irregulares de vento.
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4.1.3 ESCOAMENTOS EM REGIME PERMANENTE 
E TRANSITÓRIOS
ÉÉÉÉ importanteimportanteimportanteimportante entenderentenderentenderentender quequequeque aaaa definiçãodefiniçãodefiniçãodefinição dededede escoamentoescoamentoescoamentoescoamento emememem regimeregimeregimeregime
permanentepermanentepermanentepermanente éééé aplicávelaplicávelaplicávelaplicável aaaa pontospontospontospontos fixosfixosfixosfixos....
TodosTodosTodosTodos osososos parâmetrosparâmetrosparâmetrosparâmetros dodododo escoamentoescoamentoescoamentoescoamento (velocidade,(velocidade,(velocidade,(velocidade, temperatura,temperatura,temperatura,temperatura, eeee massamassamassamassa
específica)específica)específica)específica) sãosãosãosão independentesindependentesindependentesindependentes dodododo tempotempotempotempo emememem qualquerqualquerqualquerqualquer pontopontopontoponto....
Entretanto,Entretanto,Entretanto,Entretanto, oooo valorvalorvalorvalor dodododo parâmetroparâmetroparâmetroparâmetro paraparaparapara umaumaumauma partículapartículapartículapartícula fluidafluidafluidafluida podepodepodepode variarvariarvariarvariar comcomcomcom
oooo tempotempotempotempo enquantoenquantoenquantoenquanto elaelaelaela escoaescoaescoaescoa dededede umumumum pontopontopontoponto paraparaparapara outrooutrooutrooutro mesmomesmomesmomesmo quequequeque oooo regimeregimeregimeregime
sejasejasejaseja permanentepermanentepermanentepermanente....
ExExExEx.:.:.:.: O campo de temperatura gerado pelo escoamento de gás em
combustão de um automóvel pode permanecer inalterado durante horas,
mas a temperatura de uma partícula fluida descarregada há 5 minutos é
mais baixa que àquela da partícula que está na eminência de ser
descarregada pelo cano do escapamento.
4.1.4 LINHAS DE CORRENTE, LINHAS DE 
EMISSÃO E TRAJETÓRIA
Conceito utilizados para ajudar a visualização e análise dos campos de
escoamentos.
LinhaLinhaLinhaLinha dededede CorrenteCorrenteCorrenteCorrente –––– Trabalho Analítico
LinhasLinhasLinhasLinhas dededede EmissãoEmissãoEmissãoEmissão eeee TrajetóriaTrajetóriaTrajetóriaTrajetória –––– Utilizadas em trabalhos experimentais
LinhasLinhasLinhasLinhas dededede CorrenteCorrenteCorrenteCorrente:::: Linha Contínua que é sempre tangente ao campo de
velocidade, se o regimeé permanente, nada muda com o tempo num
ponto fixo (inclusive a direção do vetor velocidade). As linhas de corrente
são linhas fixas no espaço.
As linhas de corrente são obtidas, analiticamente, integrando as equações
que definem as linhas tangentes ao campo velocidade.
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Para os escoamentos bidimensionais, a inclinação da linha de corrente,
dy/dxdy/dxdy/dxdy/dx, precisa ser igual a tangente do ângulo que o vetor velocidade faz
com o eixo x, ou seja.
Esta equação pode ser integrada para fornecer as equações das linhas
de corrente se o campo de velocidade for dado como uma função de x e y
(e tttt se o escoamento for transitório).
4.1.4 LINHAS DE CORRENTE, LINHAS DE 
EMISSÃO E TRAJETÓRIA
(4.2)(4.2)(4.2)(4.2)
ExemploExemploExemploExemplo 4444....2222 –––– págpágpágpág.... 150150150150
Determine as linhas de corrente para o escoamento bidimensional em
regime permanente apresentado no Exemplo 4.1,
SoluçãoSoluçãoSoluçãoSolução:::: Como uuuu ==== (Vo/l)(Vo/l)(Vo/l)(Vo/l) xxxx e vvvv ==== ---- (Vo/l)(Vo/l)(Vo/l)(Vo/l) yyyy, temos que as linhas de
corrente são dadas pela solução da equação:
Note que as variáveis podem ser separadas e a equação resultante
integrada, ou seja,
4.1.4 LINHAS DE CORRENTE, LINHAS DE 
EMISSÃO E TRAJETÓRIA
ouououou
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Assim, nós encontramos que ao longo de uma linha de corrente
Nós podemos construir várias linhas de corrente no plano x – y utilizando
valores diferentes de CCCC.
A notação usual para a linhas de corrente é ψψψψ ==== constanteconstanteconstanteconstante nananana linhalinhalinhalinha dededede
correntecorrentecorrentecorrente....
Assim, a equação para as linhas de corrente deste escoamento é:
Como será discutido mais cuidadosamente no Cap. 6, a função ψψψψ ==== ψψψψ (x,(x,(x,(x, y)y)y)y)
é denominada funçãofunçãofunçãofunção correntecorrentecorrentecorrente.
4.1.4 LINHAS DE CORRENTE, LINHAS DE 
EMISSÃO E TRAJETÓRIA
onde CCCC é uma constante
A Figura 4.2 abaixo mostra as linhas de corrente do primeiro quadrante.
Uma comparação desta figura com a Figura 4.1 mostra que as linhas sãosãosãosão
tangentestangentestangentestangentes ao campo de velocidade.
4.1.4 LINHAS DE CORRENTE, LINHAS DE 
EMISSÃO E TRAJETÓRIA
Figura 4.2Figura 4.2Figura 4.2Figura 4.2
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LinhasLinhasLinhasLinhas dededede EmissãoEmissãoEmissãoEmissão:::: consiste emememem todastodastodastodas asasasas partículaspartículaspartículaspartículas dodododo escoamentoescoamentoescoamentoescoamento quequequeque
passarampassarampassarampassaram porporporpor umumumum determinadodeterminadodeterminadodeterminado pontopontopontoponto. São mais utilizadas em trabalhos
experimentais do que teóricos.
ExExExEx.: Fotografias instantâneas de partículas marcadas que passam por um
determinado ponto.
Tal linha pode ser produzida pela injeção contínua de um traçador fluido
numa dada posição (fumaça em ar, ou tintas com água – o traçador deve
apresentar massa específica próxima da do fluido que escoa para que os
efeitos de empuxo não sejam importantes).
TrajetóriaTrajetóriaTrajetóriaTrajetória:::: é umaumaumauma linhalinhalinhalinha traçadatraçadatraçadatraçada porporporpor umaumaumauma dadadadadadadada partículapartículapartículapartícula quequequeque escoaescoaescoaescoa dededede umumumum
pontopontopontoponto paraparaparapara outrooutrooutrooutro, é um conceito LagrangeanoLagrangeanoLagrangeanoLagrangeano e que pode ser produzido no
laboratório marcando-se uma partícula fluida (“pintado um pequeno
elemento fluido”) e tirando uma fotografia de longa exposição do
movimento.
4.1.4 LINHAS DE CORRENTE, LINHAS DE 
EMISSÃO E TRAJETÓRIA
4.1.4 LINHAS DE CORRENTE, LINHAS DE 
EMISSÃO E TRAJETÓRIA
ExemploExemploExemploExemplo 4444....3333 –––– págpágpágpág.... 151151151151
Água escoa no nebulizador oscilante mostrado na Figura E4.3a e produz
um campo de velocidade dado por:
Onde uuuuoooo,,,, vvvvoooo eeee ωωωω (freqüência)(freqüência)(freqüência)(freqüência) são constantes. Note que o componente yyyy do
vetor velocidade permanece constante (vvvv ==== vvvvoooo) e que o componente xxxx em
yyyy ==== 0000 coincide com a velocidade de nebulizador oscilante (uuuu ==== uuuuoooo sensensensen((((ωωωωt)t)t)t)
em yyyy ==== 0000).
(a) Determine a linha de corrente que
passa pela origem em tttt ==== 0000 e em
tttt ==== π/2ω
(b) Determine a trajetória da partícula
que estava na origem em tttt ==== 0000 e
em tttt ==== π/2ω
(c) Discuta o formato das linhas de
emissão que passam pela origem.
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4.1.4 LINHAS DE CORRENTE, LINHAS DE 
EMISSÃO E TRAJETÓRIA
SoluçãoSoluçãoSoluçãoSolução:::: (a) Como uuuu ==== uuuuoooo sen[sen[sen[sen[ωωωω(t(t(t(t –––– y/vy/vy/vy/voooo)))) ]]]] e vvvv ==== vvvvoooo segue que as linhas de
corrente são dadas pela solução de (veja a Eq. 4.2)
Note que as variáveis podem ser separadas e a equação resultante
integrada (em qualquer instante do tempo), ou seja,
Onde CCCC é uma constante. O Valor de CCCC para a linha de corrente que passa
através da origem (xxxx ==== yyyy ==== 0000) em tttt ==== 0000 é uuuuoooo vvvvoooo////ωωωω.
(1)(1)(1)(1)
ou
4.1.4 LINHAS DE CORRENTE, LINHAS DE 
EMISSÃO E TRAJETÓRIA
Assim, a equação desta linha de corrente e:
De modo análogo, a Eq. 1 mostra que CCCC ==== 0000 para linha de corrente que
passa pela origem no instante tttt ==== π/2ω. Assim, a equação desta linha de
corrente é:
(3)(3)(3)(3)
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A figura E4.3b mostra estas duas linhas de corrente. As duas linhas não
são coincidentes porque o escoamento é transitório. Por exemplo, na
origem (xxxx ==== yyyy ==== 0000) a velocidade é em tttt ==== 0000 e
em tttt ==== π/2ω .
Assim, o ângulo da linha de corrente que passa pela origem varia ao longo
do tempo. De modo análogo, as formas das linhas de corrente são função
do tempo.
4.1.4 LINHAS DE CORRENTE, LINHAS DE 
EMISSÃO E TRAJETÓRIA
4.1.4 LINHAS DE CORRENTE, LINHAS DE 
EMISSÃO E TRAJETÓRIA
ExemploExemploExemploExemplo 4444....3333 –––– págpágpágpág.... 151151151151
(b) A trajetória da partícula (os locais ocupados pela partícula em função
do tempo) pode ser obtida a partir da velocidade e da definição de
velocidade. Como uuuu ==== dx/dtdx/dtdx/dtdx/dt e vvvv ==== dy/dtdy/dtdy/dtdy/dt,
A segunda equação pode ser integrada (porque vovovovo é constante) e fornece
a coordenada yyyy da trajetória, ou seja,
Onde CCCC1111 é uma constante.
(4)(4)(4)(4)
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4.1.4 LINHAS DE CORRENTE, LINHAS DE 
EMISSÃO E TRAJETÓRIA
ExemploExemploExemploExemplo 4444....3333
Utilizando esta relação entre yyyy e tttt nós podemos reescrever a equação de
dxdxdxdx////dtdtdtdt do seguinte modo
Esta equação pode ser integrada e fornecer o componente xxxx da trajetória,
ou seja,
Onde CCCC2222 é uma constante. Para cada partícula que estava na origem (xxxx ====
yyyy ==== 0000) no instante tttt ==== 0000, as Eq. 4 e 5 fornecem CCCC1111 ==== CCCC2222 ==== 0000. Assim, as
trajetórias são definidas por:
(5)(5)(5)(5)
(6)(6)(6)(6)
4.1.4 LINHAS DE CORRENTE, LINHAS DE 
EMISSÃO E TRAJETÓRIA
ExemploExemploExemploExemplo 4444....3333 ---- págpágpágpág.... 151151151151
De modo análogo, para a partícula que estava na origem em tttt ==== π/2ω,
as Eqs. 4 e 5 fornecem CCCC1111 ==== ----πvo/2ω e CCCC2222 ==== ----πuo/2ω . Assim, a trajetória
para esta partícula é:
As trajetórias podem ser construídas a partir de x(t),x(t),x(t),x(t), y(t)y(t)y(t)y(t) para tttt >>>> 0000 ou
pela eliminação do tempo Eq. 7. Procedendo deste modo,
Observe que as trajetórias e as linhas de corrente não são coincidentes
porque o regime do escoamento é o transitório.
(7)(7)(7)(7)
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4.1.4 LINHAS DE CORRENTE, LINHAS DE 
EMISSÃO E TRAJETÓRIA
ExemploExemploExemploExemplo 4444....3333 ---- págpágpágpág.... 151151151151
(c) A linha de emissão que passa pela origem em tttt ==== 0000 é o lugargeométrico em tttt ==== 0000 das partículas que passaram previamente pela
origem (tttt <<<< 0000) . A forma geral das linhas de emissão podem ser
determinadas do seguinte modo.
Cada partícula que escoou pela origem se desloca numa linha reta (as
trajetórias são radiais a partir da origem) e a inclinação de cada uma
destas retas está contida no intervalo ±±±± vvvvoooo////uuuuoooo (veja figura E4.3d).
As partículas que passam pela origem
em instantes diferentes estão
localizadas em raios diferentes da
origem.
Se injetássemos continuamente um
filete de tinta no nebulizador nós
obteríamos uma linha de emissão com
formato igual a linha mostrada na figura.
4.1.4 LINHAS DE CORRENTE, LINHAS DE 
EMISSÃO E TRAJETÓRIA
ExemploExemploExemploExemplo 4444....3333 ---- págpágpágpág.... 151151151151
Como o escoamento é transitório, as linhas de emissão variarão com o
tempo, mas sempre apresentarão o caráter oscilante e sinuoso mostrado
na figura.
AsAsAsAs linhaslinhaslinhaslinhas dededede corrente,corrente,corrente,corrente, asasasas trajetóriastrajetóriastrajetóriastrajetórias eeee asasasas
linhaslinhaslinhaslinhas dededede emissãoemissãoemissãoemissão nãonãonãonão sãosãosãosão coincidentescoincidentescoincidentescoincidentes
nestenestenesteneste exemplo,exemplo,exemplo,exemplo, masmasmasmas todastodastodastodas estasestasestasestas linhaslinhaslinhaslinhas
seriamseriamseriamseriam idênticasidênticasidênticasidênticas sesesese oooo escoamentoescoamentoescoamentoescoamento
ocorresseocorresseocorresseocorresse emememem regimeregimeregimeregime permanentepermanentepermanentepermanente.
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4.2 O CAMPO DE ACELERAÇÃO
Para aplicar a Segunda Lei de Newton (FFFF ==== mmmm....aaaa), tanto a abordagem Lagrangeana
quanto na Euleriana, é necessário especificar apropriadamente a aceleração da
partícula.
Para o método de Lagrange (cuja a utilização não é freqüente) é especificada a
aceleração do fluido do mesmo modo utilizado na mecânica dos corpos rígidos.
Na DescriçãoDescriçãoDescriçãoDescrição EulerianaEulerianaEulerianaEuleriana – especifica o campo de aceleração (função da posição e
do tempo) e não é analisado o movimento da partícula isolada, isto é análogo a
descrever o escoamento com o campo de velocidade VVVV (x,(x,(x,(x, y,y,y,y, z,z,z,z, t)t)t)t) e não com o
conjunto de velocidade das partículas.
A aceleração de uma partícula é a taxa de variação de sua velocidade, em
escoamento em regime transitório, a velocidade numa dada posição (ocupada
por diferentes partículas) pode variar com o tempo e, deste modo, proporcionar
uma aceleração, mas uma partícula fluida também pode ser acelerada enquanto
escoa de um ponto para outro devido a variação de sua velocidade.
4.2.1 DERIVADA MATERIAL
Considerando a partícula fluida que se move ao longo de uma trajetória.
DerivadaDerivadaDerivadaDerivada MaterialMaterialMaterialMaterial – é uma derivada tomada ao longo de um caminho
movendo-se com velocidade vvvv, descrita como a taxa de variação em relação
ao tempo de alguma quantidade (calor, temperatura, velocidade) que está
sendo transportada por corrente fluida.
Velocidade e Posição 
de uma partícula AAAA no 
instante tttt
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4.2.1 DERIVADA MATERIAL
A velocidade da partícula A,A,A,A, VVVVAAAA ,,,, é uma função de sua posição e do tempo, ou
seja.
Onde: xxxxAAAA ==== xxxxAAAA (t),(t),(t),(t), yyyyAAAA ==== yyyyAAAA (t),(t),(t),(t), zzzzAAAA ==== zzzzAAAA (t),(t),(t),(t), definem a posição da partícula fluida.
A aceleração da partícula é igual a taxa de variação de sua velocidade:
Como a velocidade pode ser uma função da posição e do tempo, seu valor
pode ser alterado em função da variação do tempo, bem como, devido a
mudança de posição.
4.2.1 DERIVADA MATERIAL
Utilizando-se a regra da cadeia da diferenciação para obter a aceleração da
partícula AAAA, tem-se:
Lembrando que uuuuAAAA ==== dxdxdxdxAAAA/dt,/dt,/dt,/dt, vvvvAAAA ==== dydydydyAAAA/dt/dt/dt/dt e wwwwAAAA ==== dzdzdzdzAAAA/dt/dt/dt/dt, pode-se reescrever a
equação anterior do seguinte modo:
Generalizando: V(u,V(u,V(u,V(u, v,v,v,v, w)w)w)w)
(4.2)(4.2)(4.2)(4.2)
(4.3)(4.3)(4.3)(4.3)
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4.2.1 DERIVADA MATERIAL
Os componentes escalares desta equação vetorial são:
Onde: axaxaxax, ayayayay e azazazaz são os componentes do vetor aceleração nas direções x,x,x,x, yyyy e
zzzz.
O resultado anterior muitas vezes é escrito como:
(4.4)(4.4)(4.4)(4.4)
4.2.1 DERIVADA MATERIAL
Onde o operador
é denominado derivadaderivadaderivadaderivada materialmaterialmaterialmaterial ou derivadaderivadaderivadaderivada substantivasubstantivasubstantivasubstantiva.
Uma outra notação é:
(V(V(V(V....∇∇∇∇)))) (((( )))) – é o produto escalar da velocidade, VVVV, com o operador gradiente,
(4.5)(4.5)(4.5)(4.5)
(4.6)(4.6)(4.6)(4.6)
éééé umumumum operadoroperadoroperadoroperador vetorial,vetorial,vetorial,vetorial, fornecefornecefornecefornece umaumaumauma
notaçãonotaçãonotaçãonotação convenienteconvenienteconvenienteconveniente paraparaparapara asasasas
derivadasderivadasderivadasderivadas espaciaisespaciaisespaciaisespaciais quequequeque aparecemaparecemaparecemaparecem
nananana representaçãorepresentaçãorepresentaçãorepresentação cartesianacartesianacartesianacartesiana dadadada
derivadaderivadaderivadaderivada materialmaterialmaterialmaterial....
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4.2.1 DERIVADA MATERIAL
Observe que a notação representa o operador:
OOOO conceitoconceitoconceitoconceito dededede DerivadaDerivadaDerivadaDerivada MaterialMaterialMaterialMaterial éééé muitomuitomuitomuito útilútilútilútil nananana análiseanáliseanáliseanálise dededede váriosváriosváriosvários parâmetrosparâmetrosparâmetrosparâmetros
dodododo escoamentoescoamentoescoamentoescoamento eeee nãonãonãonão apenasapenasapenasapenas nananana análiseanáliseanáliseanálise dadadada aceleraçãoaceleraçãoaceleraçãoaceleração.... AAAA DerivadaDerivadaDerivadaDerivada MaterialMaterialMaterialMaterial
dededede qualquerqualquerqualquerqualquer variávelvariávelvariávelvariável éééé igualigualigualigual aaaa taxataxataxataxa comcomcomcom quequequeque aaaa variávelvariávelvariávelvariável mudamudamudamuda comcomcomcom oooo tempotempotempotempo
paraparaparapara umaumaumauma dadadadadadadada partículapartículapartículapartícula (como(como(como(como umumumum observadorobservadorobservadorobservador quequequeque sesesese movemovemovemove solidáriosolidáriosolidáriosolidário aoaoaoao
escoamentoescoamentoescoamentoescoamento ---- DescriçãoDescriçãoDescriçãoDescrição LagrangeanaLagrangeanaLagrangeanaLagrangeana))))....
EXEMPLO 4.4
A Fig. E 4.4a mostra o escoamento incompressível, invíscido e em regime
permanente de um fluido ao redor de uma esfera de raio aaaa. De acordo com
uma análise mais avançada deste escoamento, a velocidade do fluido ao
longo da linha de corrente AAAA –––– BBBB é dada por:
Onde VoVoVoVo é a velocidade ao longe da esfera. Determine a aceleração imposta
numa partícula fluida enquanto ela escoa ao longo desta linha de corrente.
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EXEMPLO 4.4
SoluçãoSoluçãoSoluçãoSolução:::: Ao longo da linha de corrente A – B só existe um componente do
vetor velocidade, pois vvvv ==== wwww ==== 0000. Assim, a Eq. 4.3 fica resumida a:
Como o regime do escoamento é o permanente, a velocidade num dado
ponto não varia ao longo do tempo e, deste modo, ∂u/ ∂t = 0. Utilizando a
distribuição de velocidade fornecida,
ou
EXEMPLO 4.4
Note que, ao longo da linha de corrente A – B (---- ∞∞∞∞ <<<< xxxx <<<< ----aaaa eeee yyyy ==== 0000), o vetor
aceleração apresenta apenas o componente xxxx e que o valor deste
componente é negativo.
Assim, o fluido desacelera da velocidade ao longe, em xxxx ==== ---- ∞∞∞∞, até a
velocidade nula, VVVV ==== 0000 em xxxx ==== ----aaaa (ponto de estagnação).
O comportamento de axaxaxax ao longo da linha de corrente A – B está mostrado
na Figura. E4.4b.12/10/2012
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EXEMPLO 4.4
Este resultado é igual aquele obtido no Exemplo 3.1 e que foi calculado a
partir da aceleração na direção da linha de corrente axaxaxax ==== VVVV....∂V/∂V/∂V/∂V/ ∂s∂s∂s∂s.
A desaceleração máxima ocorre em xxxx ==== ---- 1111,,,,205205205205aaaa e, neste local, a aceleração
apresenta módulo igual a –––– 0000,,,,61616161VoVoVoVo2222 /a/a/a/a.
É importante ressaltar que, de modo geral, as partículas que escoam em
outras linhas de corrente apresentam os três componentes do vetor
aceleração (ax,ax,ax,ax, ayayayay e azazazaz) não nulos.
Nós podemos encontrar aceleração (ou desaceleração) bastante intensas
nos escoamentos.
EXEMPLO 4.4
Considere o escoamento de ar em torno de uma bola de “baseball” que
apresenta raio aaaa ==== 43434343mmmmmmmm e que se desloca com velocidade de 44444444,,,,8888m/sm/sm/sm/s. De
acordo com o resultado do Exemplo 4.4 a máxima desaceleração encontrada
na linha de corrente frontal a bola é dado por:
NoteNoteNoteNote quequequeque estáestáestáestá aceleraçãoaceleraçãoaceleraçãoaceleração é,é,é,é, aproximadamente,aproximadamente,aproximadamente,aproximadamente, 3000300030003000 vezesvezesvezesvezes maiormaiormaiormaior dodododo quequequeque aaaa
dadadada gravidadegravidadegravidadegravidade.... AAAA aceleração,aceleração,aceleração,aceleração, ouououou desaceleração,desaceleração,desaceleração,desaceleração, dasdasdasdas partículaspartículaspartículaspartículas fluidasfluidasfluidasfluidas podempodempodempodem
serserserser bastantebastantebastantebastante grandesgrandesgrandesgrandes emememem muitosmuitosmuitosmuitos escoamentosescoamentosescoamentosescoamentos....