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Variáveis Aleatórias e Distribuições de Probabilidade
Variável Aleatória
	Uma variável aleatória pode ser entendida como variável quantitativa, cujo resultado (valor) depende de fatores aleatórios. Por exemplo, imagine que um dado comum vai ser lançado. Tente dizer qual será o número resultante. É claro que, antes do lançamento, não podemos afirmar qual é o número que ocorrerá, pois o resultado depende do fator sorte e, por isso, é uma variável aleatória. 
Outros exemplos de variáveis aleatórias:
número de coroas obtido no lançamento de duas moedas;
número de pessoas que visitam determinado site, em certo período de tempo;
tempo de resposta de um sistema computacional;
grau de empeno em um azulejo que sai da linha de produção.
	Todos os exemplos acima têm uma característica comum: além de o resultado ser quantitativo (valor real), não podemos prevê-lo com exatidão, pois ele depende de um experimento aleatório.
	Embora no exemplo do dado os valores que a variável aleatória pode assumir coincidam com o espaço amostral do experimento, este não é um caso geral.
	
	No lançamento de duas moedas (exemplo (a)), o espaço amostral completo é: S = {(cara, cara), (cara, coroa), (coroa, cara), (coroa, coroa)}, enquanto que a variável aleatória número de coroas (X) assume valores no conjunto {0, 1, 2}.
	Mas existe uma relação (função) entre os dois conjuntos, conforme mostra o esquema a seguir:
	 
 
Variável Aleatória Discreta
	Os possíveis resultados estão contidos em um conjunto finito ou enumerável. Os exemplos (a) e (b) representam variáveis aleatórias discretas.
Outros exemplos: número de arranhões em uma superfície, número de bits transmitidos que foram recebidos com erro. 
Variável Aleatória Contínua
	Os possíveis resultados abrangem todo um intervalo de números reais (tanto finito como infinito). Os exemplos (c) e (d) representam variáveis aleatórias contínuas. 
Outros exemplos: corrente elétrica, comprimento, pressão, temperatura, tempo, voltagem, peso. 
Exercício: 
Decida se uma variável aleatória ou contínua é o melhor modelo para cada uma das variáveis a seguir:
a) O tempo que um projétil gasta para retornar à Terra.
b) O volume de gasolina que é perdido por evaporação, durante o enchimento de um tanque de gasolina.
c) O número de fraturas que excedem meia polegada em 10 milhas de uma auto-estrada interestadual.
d) O número de moléculas de uma amostra de gás.
e) A corrente em um circuito elétrico.
Variável Aleatória Discreta
	Definida a variável aleatória discreta, temos a descrição do que pode acontecer no experimento aleatório. Em alguns casos e sob certas suposições, temos duas informações:
quais resultados podem ocorrer;
qual é a probabilidade de cada resultado ocorrer.
Exemplo:
Em um processo de fabricação de um semicondutor, duas pastilhas de um lote são testadas. Cada pastilha é classificada como PASSA ou FALHA. Suponha que a probabilidade de uma pastilha passar no teste é 0,80 e que as pastilhas sejam independentes. Defina a variável X como sendo igual ao número de pastilhas que passa. O espaço amostral para o experimento, as probabilidades associadas e a variável aleatória X estão definidas abaixo:
	Espaço amostral
	Variável X 
	Probabilidade
	(passa, passa)
	2
	
	(passa, falha)
	1
	
	(falha, passa)
	1
	
	(falhas, falha)
	0
	
 
	A distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X é a descrição do conjunto de probabilidades associadas aos possíveis valores de X, conforme foi ilustrado no exemplo. 
	Como a variável aleatória X é discreta, com possíveis valores {x1, x2, ...}, então a distribuição de probabilidades de X pode ser apresentada pela chamada função de probabilidade, que associa a cada valor possível xi a sua probabilidade de ocorrência p(xi), ou seja:
	
 para 
	
Uma função de probabilidade deve satisfazer ás seguintes condições:
	
	
Média, Variância e Desvio Padrão de uma Variável Aleatória Discreta
	A média – também chamada de valor esperado ou esperança matemática – e a variância são medidas que podem ser definidas para as variáveis aleatórias com o objetivo de sintetizar características relevantes de uma distribuição de probabilidades.
Média (valor esperado)
	A média de uma variável aleatória X usa o modelo de probabilidade para ponderar os valores possíveis de X. A média ou valor esperado de X, denotados por 
 ou 
, é:
		
	 	Onde: 
Variância
	A variância de uma variável aleatória X é uma medida de dispersão ou espalhamento nos valores possíveis de X. A variância de X, denotada por 
 ou 
, é:
 
		Onde: 
E o desvio padrão de uma variável aleatória X que, como a variância é uma medida de dispersão ou espalhamento nos valores possíveis de X, denotado por 
 ou 
, é:
		
Exemplo:
Há uma chance de que um bit transmitido através de um canal de transmissão digital seja recebido com erro. Faça a variável aleatória X ser igual ao número de bits com erro nos quatro próximos bits transmitidos. 
Os valores possíveis para X são:	
Suponha que as probabilidades sejam:	 					 
Agora, calculemos a média, a variância e o desvio padrão das transmissões deste canal digital.
Exercícios de fixação:
01. Apresente a função de probabilidade para as seguintes funções aleatórias:
a) número de caras obtido com o lançamento de uma moeda honesta;
b) número de caras obtido com o lançamento de duas moedas honestas;
c) número de peças com defeito em uma amostra de duas peças, sorteadas aleatoriamente de um grande lote, em que 40% das peças são defeituosas;
d) número de peças com defeito em uma amostra de três peças, sorteadas aleatoriamente de um grande lote, em que 40% das peças são defeituosas.
02. Calcule os valores esperados (média), as variâncias e o desvio padrão das distribuições de probabilidade do exercício (1).
03. Suponha que a produção de 850 pastilhas fabricadas contenha 50 delas que não obedecem aos requerimentos do consumidor. Duas peças são selecionadas ao acaso, sem reposição, da batelada. Seja X a variável aleatória que designa o número de peças não conformes da amostra. Denotando por B as peças conformes da amostra e denotando por F as peças não conformes da amostra, determine qual é a função de distribuição de probabilidade de X. 
04. Em um processo de fabricação de semicondutores, três pastilhas de um lote são testadas. Cada pastilha é classificada como passa ou falha. Suponha que a probabilidade de uma pastilha passar no teste seja de 0,8 e que as pastilhas sejam independentes.
a) Qual é a probabilidade de que todas as três pastilhas passem no teste?
b) Determine a função de probabilidade do número de pastilhas que passam de um lote submetido ao teste.
05. Um arranjo consiste em três componentes mecânicos, Suponha que as probabilidades do primeiro, do segundo e do terceiro componentes encontrarem as especificações sejam iguais a 0,95, 0,98 e 0,99. Considere que os componentes sejam independentes. 
a) Qual é a probabilidade de que todos os componentes em um arranjo encontrem as especificações?
b) Determine a função de probabilidade do número de componentes em um arranjo que encontram as especificações.
06. Uma moeda viciada de modo que 
 e 
 é lançada três vezes. Seja X a variável aleatória que indica o número de caras obtidos nos três lançamentos. 
a) Apresente a função de probabilidade para a variável aleatória X.
b) Determine a média para a variável aleatória X. 
c) Determine o desvio padrão para a variável aleatória X.
07. Uma urna contém 4 bolas brancas e 6 bolas pretas. Três bolas são retiradas (com reposição). Seja X a variável aleatória discreta que denota o número de bolas brancas retiradas.
a) Apresente a função de probabilidade para a variável
aleatória X.
b) Determine a média para a variável aleatória X. 
c) Determine o desvio padrão para a variável aleatória X.
 
08. A Secretaria do Meio Ambiente de determinado município encomendou uma pesquisa para verificar se a população realiza o descarte adequado de pilhas e baterias. Foi verificado que somente uma pequena parcela da população realiza o descarte de forma correta. Em vista deste resultado, foi efetuada uma campanha de conscientização a fim de orientar a população sobre a utilização de postos de coleta destes materiais. Alguns meses após a campanha foi executada uma nova pesquisa verificando-se que, agora, somente 30% da população não realiza o descarte de forma adequada. 
Suponha que, de uma amostra desta população, foram selecionadas aleatoriamente três pessoas e faça a variável aleatória X denotar quantas pessoas não realizam o descarte adequado de pilhas e baterias.
a) Apresente a função de probabilidade para a variável aleatória X.
b) Determine a média para a variável aleatória X. 
c) Determine a variância para a variável aleatória X.
 
Respostas dos exercícios
Exercício 02
a)	 		b)			c)				d)
média = 0,5		média = 1		média = 0,8			média = 1,2
variância = 0,25	variância = 0,5		variância = 0,48		variância = 0,72
DP = 0,5		DP = 0,71		DP = 0,69 			DP = 0,85
Exercício 03
P(X=0) = 0,8857
P(X=1) = 0,1109
P(X=2) = 0,0034
Exercício 04					Exercício 05
a) P(X=3) = 0,512				a) (X=3) = 0,92169 = 0,9217
b) 						b) 
P(X=0) = 0,008					P(X=0) = 0,00001
P(X=1) = 0,096					P(X=1) = 0,00167
P(X=2) = 0,384					P(X=2) = 0,07663
P(X=3) = 0,512					P(X=3) = 0,92169
Exercício 06
a) 
P(X=0) = 1/27
P(X=1) = 2/9
P(X=2) = 4/9
P(X=3) = 8/27
b) 2		c) 0,82
Exercício 07
a)
P(X=0) = 0,216
P(X=1) = 0,432
P(X=2) = 0,288
P(X=3) = 0,064
b) 1,2		c) 0,72
Exercício 08
a)
P(X=0) = 0,343
P(X=1) = 0,441
P(X=2) = 0,189
P(X=3) = 0,027
b) 0,9		c) 0,63
� EMBED Equation.3 ���
_1375695288.unknown
_1375701300.unknown
_1375701567.unknown
_1375703452.unknown
_1376931516.unknown
_1376931557.unknown
_1375723501.unknown
_1375701599.unknown
_1375701553.unknown
_1375695514.unknown
_1375695670.unknown
_1375695487.unknown
_1375639562.unknown
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