Lista de Exercícios 2

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Cálculo Numérico 
Prof. Hassan Sherafat 
 
Lista de Exercícios 2 
 
1. Escreva um algoritmo para achar o vetor de solução a partir de um sistema linear dado 
na forma triangular superior (T.X=B de dimensão n). 
 
2. Escreva um algoritmo para a resolução de um sistema linear qualquer A.X=B, usando o 
método de eliminação de Gauss-Jordan. 
 
3. Resolva o sistema linear A.X=B, utilizando o método de eliminação de Gauss, onde: 
 
A= [
1 2
1 −2
1 −1
 2 1
2 1
4 1
−1 2
2 2
] B= [
1
2
3
4
] 
 
4. Resolva o sistema linear abaixo, utilizando o método de eliminação de Gauss, com 
pivotamento parcial. 
 
A= [
2 2
1 −1
1 1
 2 −1
3 2
4 3
−3 −2
2 1
] B= [
7
1
4
12
] 
 
5 Resolver o sistema linear A∙X=B , conforme A e B abaixo, utilizando o método de 
eliminação de Gauss. 
 
A= 
[
 
 
 
 
1 1 0
−1 −1 1
1 −1 0
1 0
0
−1
1
1
0 1 0
1 0 1
 
1 1
1 0]
 
 
 
 
 B=
[
 
 
 
 
7
5
0
11
9 ]
 
 
 
 
 
 
6. Verifique o critério de convergência para o sistema A.X = B, e resolva pelo método de 
Gauss-Seidel, se possível. Considere os seguintes valores para A e B, a tolerância de 
=0.01, e um máximo de M=5 iterações. 
 a) 
 A= [
10 1 1
1 10 1
1 1 10
] B= [
20
11
−7
] 
 b) 
 A= [
4 1
1 4
1 1
 1 1
1 1
1 1
4 1
1 4
] B= [
3
6
−3
−6
] 
7. Compare a velocidade da convergência dos dois sistemas do exercício 6. Qual é a mais 
rápida?. Justifique a razão. 
 
8. Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando o método de Gauss: 
 a) x – y = 1 
 x – 1.00001 y = 0 
 
 b) x – y = 1 
 x – 0.99999 y = 0 
 
 Comente a solução obtida para cada um dos sistemas. Que distorções podem ocorrer 
com sistemas deste tipo? 
 
9. Determine uma função polinomial em n, indicando o número total de operações 
aritméticas (+ – * /) para resolver um sistema linear de n equações, utilizando: 
 a) o método de Gauss–Jordan; 
 b) o método de Gauss; 
 Determine o método mais eficiente entre os dois acima 
 
10. Determine uma função polinomial em n, indicando o número total de operações 
aritméticas para executar k iterações do método de Gauss-Seidel. 
 Determine para que valores de k, em função de n, o método iterativo passa a ser mais 
eficiente que os métodos diretos. 
 
11. Faça uma interpretação geométrica do método de Gauss-Seidel, aplicado aos seguintes 
sistemas: 
 
 a) 3x + y = 9 
 x – 2y = – 4 
 
 a) x + y = 5 
 x – 2y = – 4 
 
12. Determine os valores positivos de k para os quais o sistema A.X = B seria convergente, 
visando métodos iterativos, onde: 
 A= [
2𝑘 0
1 3𝑘
1 −1
 4 0
1 1
1 𝑘
2𝑘 1
0 5
] 
 
13. Dado o sistema abaixo. Aplicando o método de Gauss resolver o sistema usando uma 
estrutura de ponto flutuante de mantissa de m=3 dígitos com arredondamento 
assimétrico. Calcule os erros absoluto e relativo, e o número de algarismos 
significativos para o valor de x1. 
 
97 98 100
98 99 200
 
 
  
14. Determine o valor de X, a partir do seguinte algoritmo, considerando uma estrutura de 
ponto flutuante com mantissa de 3 algarismos para todos os cálculos (Escreva a 
seqüência dos valores das variáveis, como um computador calcularia). 
Verifique os erros absoluto e relativo e o número de algarismos significativos para o 
valor de X. 
Início 
A 

48,483759 
B 

23/31 
C

A*B 
D

A+B+C 
E

15*D 
Enquanto B > 0 , faça 
 E

E + 10*B 
 E

E - 0,1 
 B

B - 0,1 
Fim-Enquanto 
X

E*E 
Fim