AP1 MB 2017.1 Gabarito

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AP1 – Matemática Básica – 2017/1 
 
1) (1,0) Escreva o conjunto (1, 5] como a interseção de dois conjuntos. 
Solução: O conjunto (1, 5] é definido por 
{x  ℝ : 1 < x  5} = {x  ℝ : 1 < x e x  5}. 
Agora a passagem para a escrita de interseção é quase automática, temos duas condições 
simultâneas, 1 < x e x  5. Assim, 
(1, 5] = {x  ℝ : 1 < x}  {x  ℝ : x  5} = (1, +)  (−, 5]. 
A resposta pode ser com notação de intervalo ou definida por propriedade. 
 
2) (2,0) A variável x representa um número real. Quais são os valores que x pode 
assumir para que as expressões √3𝑥 + 𝜋 e 
3𝑥−√5
2𝑥 − √8
 estejam bem definidas, 
simultaneamente? Apresente sua resposta em termos de intervalos e represente-a na reta 
numérica. 
Solução: Para que a expressão √3𝑥 + 𝜋 esteja bem definida devemos ter 3x +   0, ou 
seja, x  −/3. Para que a expressão 
3𝑥−√5
2𝑥 − √8
 esteja bem definida devemos ter 2x − √8  
0, ou seja, x  √8/2 = √2. 
 Portanto, x deve atender às duas condições simultâneas, x  −/3 e x  √2. 
 A representação dessas condições na reta numérica fica assim: 
 
 A partir desta representação fica mais simples apresentar a resposta em termos 
de intervalo, S = [−/3, √2)  (√2, +). 
 
3) (2,0) Resolva o sistema {
√3𝑥 – 𝑦 = 1
2𝑥 + 
3
4
𝑦 = 1
. 
Solução: Da primeira equação temos y = √3x – 1. Substituindo o valor de y na segunda 
equação temos 2x + 
3
4
(√3x – 1) = 1, donde (2 + 
3√3
4
)x = 1 + 
3
4
 = 
7
4
, donde 
x = 
7
8+3√3
 . 
Voltando para a expressão de y temos y = √3.
7
8+3√3
− 1 =
−8+4√3
8+3√3
 . 
Resposta: x = = 
7
8+3√3
 e y = 
−8+4√3
8+3√3
 . 
 
4) (1,5) Efetue a expressão e apresente a resposta na forma de fração irredutível. 
−2. (−2). 5 + 6.
√2
√8
1
5%
+ 20%.
1
1 +
1
3
. √24 + 1. 5−2 
Solução: Vamos por etapas. 
−2. (−2). 5 + 6.
√2
√8
= 20 + 6.
√2
2√2
= 20 + 3 = 23 
1
5%
=
1
5
100
=
100
5
= 20 
Daí, o primeiro termo da expressão é 
23
20
. 
Para o segundo termo, temos: 
20%.
1
1 +
1
3
. √24 + 1. 5−2 =
2
10
.
3
4
. 5.
1
25
=
3
100
 
Somando as duas parcelas, temos: 
−2. (−2). 5 + 6.
√2
√8
1
5%
+ 20%.
1
1 +
1
3
. √24 + 1. 5−2 =
23
20
+
3
100
=
115 + 3
100
=
118
100
=
59
50
 
Resposta: 
59
50
. 
 
5) (1,5) Encontre a solução da equação −
𝜋
𝑥2
− 1 =
√7
3
−𝑥
𝑥
, onde x  ℝ e x  0. 
Solução: −
𝜋
𝑥2
− 1 =
√7
3
−𝑥
𝑥
  
−𝜋−𝑥2
𝑥2
=
√7
3
𝑥−𝑥2
𝑥2
  − = √7
3
x  x = −
𝜋
√7
3 . 
Resposta: x = −
𝜋
√7
3 . 
 
6) (1,0) Apresente dois números irracionais e encontre um número racional, com 
notação de fração, entre os dois irracionais que você escolheu. 
Solução: As possibilidades aqui são infinitas. Podemos tentar escolher números que nos 
ajudem. Por exemplo, √2 e  são dois números irracionais. O √2 é aproximo de 1,41 e 
 é próximo 3,14. Assim, podemos escolher 2 como um número racional entre os dois 
irracionais escolhidos. 
Resposta: Irracionais escolhidos, √2 e . Racional escolhido, 
2
1
. Vale que √2 < 
2
1
 < . 
 
7) (1,0) Apresente uma inequação com módulo cuja solução é representada na reta 
numérica conforme a seguinte figura. 
 
Solução: Estamos falando de inequações de um dos dois tipos, |x – a|  r ou |x – a|  r. 
Como a solução dada envolve dois intervalos infinitos, a inequação só pode ser do 
segundo tipo. 
 Temos que 2r = 3 – (−2) = 5, donde r = 2,5. E a = (3 + (−2))/2 = ½ = 0,5. 
Resposta: |x – 0,5|  1,5.