ALGA_Lista_X

Prévia do material em texto

Universidade Federal de Pelotas - UFPEL
ALGA - LISTA X
1. Sejam u = (x1, y1) e v = (x2, y2). Mostrar que cada operação a seguir define um produto
interno no R2:
a) u.v = x1x2 + y1y2
b) u.v = 2x1x2 + 5y1y2
c) u.v = x1x2 + x1y2 + x2y1 + 2y1y2
2. Calcular o produto interno dos vetores u = (1, 1) e v = (−3, 2) segundo cada produto do
exercício anterior.
R.: a) −1 b) 4 c) 0
3. Sejam os vetores v1 = (x1, y1) e v2 = (x2, y2) de V = R2. Verificar quais das funções
f : V × V → R, definidas abaixo, são produtos internos em V :
a) f(v1, v2) = 2x1x2 + 3y1y2. R.: É
b) f(v1, v2) = x1x2 − y1y2. R.: Não é
c) f(v1, v2) = x21x2 + y1y22. R.: Não é
d) f(v1, v2) = 4x1x2. R.: Não é
e) f(v1, v2) = x1x2 + y1y2 + 1. R.: Não é
f) f(v1, v2) = 3x1x2 − x1y2 − x2y1 + 3y1y2. R.: É
g) f(v1, v2) = 4x1x2 + x1y2 + x2y1 + y1y2. R.: É
h) f(v1, v2) = x1y2 + x2y1. R.: Não é
4. Sejam V = R3 e os vetores u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2). Verificar quais das seguintes
funções são produtos internos sobre o R3. Para aquelas que não são produtos internos,
citar os axiomas que não se verificam.
a) u.v = x1x2 + 3y1y2. R.: Não é produto interno. Falha o axioma IV
b) u.v = 3x1x2 + 5y1y2 + 2z1z2. R.: É produto interno
c) u.v = 2x21y21 + 3x22y22 + z21z2. R.: Não é produto interno. Falha o axioma II e III
d) u.v = x1x2 + y1y2 − z1z2. R.: Não é produto interno. Falha o axioma IV
e) u.v = x1x2 + y1y2 + z1z2 − x2y1 − x1y2. R.: É produto interno
5. Provar que se u e v são vetores de um espaço vetorial euclidiano, então (u + v)⊥(u − v)
implica |u| = |v|.
1
6. Consideremos, no R3, o produto interno usual. Para que valores de m os vetores u e v são
ortogonais?
a) u = (3m, 2,−m) e v = (−4, 1, 5). R.: 2
17
b) u = (0,m− 1, 4) e v = (5,m− 1,−1). R.: 3 ou −1
7. Consideremos, no R3, o seguinte produto interno:
(x1, y1, z1).(x2, y2, z2) = 2x1x2 + y1y2 + 4z1z2
Determinar, em relação a esse produto interno, um vetor unitário simultaneamente orto-
gonal aos vetores u = (1,−1, 2) e v = (2, 1, 0). R.: (2
9
,−8
9
,−1
6
)
8. Seja V = R3 com o produto interno usual. Determinar um vetor u ∈ R3 ortogonal aos
vetores v1 = (1, 1, 2), v2 = (5, 1, 3) e v3 = (2,−2,−3). R.: u = a(1, 7,−4), a ∈ R
9. Determinar os vetores (a, b, c) para que o conjunto B = {(1,−3, 2), (2, 2, 2), (a, b, c)} seja
uma base ortogonal do R3 em relação ao produto interno usual. Construir a partir de B
uma base ortonormal.
R.: t(−5, 1, 4), t 6= 0;
{(
1√
14
,− 3√
14
, 2√
14
)
,
(
1√
3
, 1√
3
, 1√
3
)
,
(
− 5√
42
, 1√
42
, 4√
42
)}
10. Sejam V = R3 munido do produto interno usual e A = {(1,−1,−2)} ⊂ V . Encontrar
uma base ortogonal B de V tal que A ⊂ B. R.: {(1,−1,−2), (1, 1, 0), (−1, 1,−1)} é
uma delas
11. Consideremos os seguinte produto interno no R2:
(x1, y1).(x2, y2) = x1x2 + 2x1y2 + 2x2y1 + 5y1y2
Mostrar que, relativamente a esse produto interno, o conjunto A = {(1, 0), (2,−1)} é uma
base ortonormal do R2.
12. O conjunto B = {(2,−1), (k, 1)} é uma base ortogonal do R2 em relação ao produto
interno
(x1, y1).(x2, y2) = 2x1x2 + x1y2 + x2y1 + y1y2.
Determinar o valor de k e obter, a partir de B, uma base ortonormal. R.: k = −1
3
;{(
2√
5
,− 1√
5
)
,
(
− 1√
5
, 3√
5
)}
13. Consideremos as seguintes bases do R2 e R3:
a) B = {(3, 4), (1, 2)}
b) B = {(1, 0, 0), (0, 1, 1), (0, 1, 2)}
2
c) B = {(1, 0, 1), (1, 0,−1), (0, 3, 4)}
Ortogonalizar essas bases pelo processo de ortogonalização de Gram-Schmidt, segundo o
produto interno usual de cada espaço.
R.: a)
{(
3
5
, 4
5
)
,
(−4
5
, 3
5
)}
; b)
{
(1, 0, 0),
(
0, 1√
2
, 1√
2
)
,
(
0,− 1√
2
, 1√
2
)}
;
c)
{(
1√
2
, 0, 1√
2
)
,
(
1√
2
, 0,− 1√
2
)
, (0, 1, 0)
}
14. O conjunto B =
{(
1√
2
, 1√
2
)
,
(
− 1√
2
, 1√
2
)}
é uma base ortonormal do R2 com o produto
interno usual. Determinar o vetor coordenada de v = (2, 4) em relação à base B. R.:
vB = (3
√
2,
√
2)
15. Em relação ao produto interno usual, determinar um base ortonormal dos seguintes su-
bespaços vetoriais do R3:
a) S = {(x, y, z) ∈ R3; y − 2z = 0}. R.:
{
(1, 0, 0),
(
0,− 2√
5
, 1√
5
)}
b) S = {(x, y, z) ∈ R3;x+ y + z = 0}. R.:
{(
1√
2
,− 1√
2
, 0
)
,
(
− 1√
6
,− 1√
6
, 2√
6
)}
16. Seja V = R3 munido do produto interno usual e B = {(1, 2,−3), (2,−4, 2)}. Determinar
o subespaço S gerado por B. R.: S = {(x, y, z) ∈ R3; x+ y + z = 0}
17. Dado o espaço vetorial Euclidiano V = R3 munido do produto interno u.v = 2x1x2+3y1y2.
Verifique se o conjunto A = {(1, 2, 1), (2, 1,−1), (0,−2, 0)} forma uma base ortogonal e se
não forem, determine uma base ortogonal. Sugestão: Para determinar uma base ortogonal,
utilize o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt.
3