AULA 3 CALCULO NUMÉRICO PARA INICIANTES

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Introdução ao Conceito de Funções
Prof. Dr. Manoel Costa
Definição de função afim
São funções afim:
Toda função do tipo: f(x) = ax + b (x ϵ IR)
f(x) = -4x
f(x) = 2x + 1 
f(x) = -3x - 11 
f(x) = 7 
a = 2
b = 1
a = -4
b = 0
a = -3
b = -11
a = 0
b = 7
Não são funções afim:
 f(x) = 2x2 + 1 
 f(x) = -4x3
 f(x) = 
 f(x) =
1
x
2
1
x
Valor da função afim
Valor para x = x0: f(x0) = ax0 + b
Exemplo: Seja a função afim f(x) = 3x + 7
 Seu valor para x = 5: f(5) = 3 . 5 + 7 = 22
 Seu valor para x = -4: f(-4) = 3 . (-4) + 7 = -5
 Seu valor para x = 0: f(0) = 3 . 0 + 7 = 7
Valor inicial da função afim
Valor inicial é o valor para x = 0: f(0) = a . 0 + b = b
Exemplo de valores iniciais:
 Para f(x) = 3x + 4  f(0) = 3 . 0 + 4 = 4
 Para f(x) = -8x + 7  f(0) = -8 . 0 + 7 = 7
 Para f(x) = 5x  f(0) = 5 . 0 = 0
Taxa de variação da função afim
Interpretação:
Acréscimo (ou decréscimo) de f(x) quando o valor de x
aumenta em uma unidade.
Definição: 
( )f x y
a
x x
 
 
 
Exemplo para: f(x) = 3x + 7
x = 1  f(1) = 3 . 1 + 7 = 10
x = 2  f(2) = 3 . 2 + 7 = 13
x cresceu
uma unidade
f(x) cresceu
três unidades
Portanto, a taxa 
desta função vale 3, 
o mesmo valor de a.
Noção intuitiva de funções
Quando existe uma função? 
Quando uma grandeza variável depende de outra.
O que é a função? 
A “regra” que associa essas duas grandezas.
Exemplo: 
O perímetro (P) do quadrado é função da medida do seu lado (l ).
l é a medida do lado
Perímetro: P = l + l + l + l
Perímetro: P = 4l
DEPENDE DEP l
Lei e variáveis da função
P = 4 l
LEI DA FUNÇÃO
VARIÁVEL DEPENDENTE
VARIÁVEL INDEPENDENTE
O perímetro (P ) é FUNÇÃO da medida ( l ) do lado.
Por que dependente e independente?
l = 1 cm
P = 4 cm
P = 4 l
l = 1,5 cm
P = 6 cm
l = 2 cm
P = 8 cm
P E R Í M E T R O ( P ) D E P E N D E D A M E D I D A ( l ) D O L A D O .
Definição de função
Dados dois conjuntos, A e B, uma função de A em B é uma regra que indica como 
associar cada elemento x ϵ A a um único elemento y ϵ B.
NOTAÇÃO 
f: A B
Lê-se: f é uma função de A em B.
SIGNIFICADO 
A função f transforma um elemento x de A em um elemento y de B.
Representação comum: y = f(x)
Lê-se: y é igual a f de x.
Voltando ao exemplo do perímetro
A contém as 
possíveis medidas 
para o lado (l) do 
quadrado.
B contém, entre 
outros, valores do 
perímetro (P) do 
quadrado.
P = 4 l
As variáveis independentes 
são representadas pela 
letra x.
As variáveis dependentes 
são representadas pela 
letra y.
Portanto, a função 
perímetro pode ser 
reescrita como:
y = 4x
ou
f(x) = 4x
“Entra” 
variável INDEPENDENTE
“Sai” 
variável DEPENDENTE
l = 1
l = 1,5
l = 2
l = 5
l = 9,
etc.
A
P = 4
P = 6
P = 8
P = 20
P = 36,
etc.
B
Domínio – Contradomínio – Imagem
O conjunto A, que 
contém os valores de x,
é chamado de 
DOMÍNIO (D) da 
função f.
O conjunto B, que 
contém os valores 
de y, é chamado de 
CONTRADOMÍNIO 
(CD) da função f.
EXEMPLOS:
A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
LEI DA FUNÇÃO:
y = 2x
O conjunto imagem Im(f) é composto 
somente pelos valores de CD que foram 
obtidos pela lei da função:
2 4 6 8 10
1
2
3
4
5
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
Determinação de uma função afim
Determinar uma função afim é determinar seu 
valor inicial b e sua taxa de variação a e substituí-los na lei geral: f(x) = ax + b
Exemplo: Se a = 5 e b = 8
Função afim: f(x) = 5x + 8
Exemplo mais trabalhoso: f(1) = 7 e f(3) = 11 
A solução do sistema é: a = 2 e b = 5
Função afim está determinada: f(x) = 2x + 5
 f(1) = a . 1 + b  a + b = 7
 f(3) = a . 3 + b  3a + b = 11

a + b = 7
3a + b = 11
Gráfico de uma função afim
É sempre uma reta não vertical.
x
y
O
Coeficiente linear
A ordenada y onde a reta do gráfico intersecta o eixo Oy é o 
valor inicial (b) da função: f(x) = ax + b
Este y = b = valor inicial da função = coeficiente linear da reta
x
y
O
Coeficiente angular
A taxa de variação (a) da função afim também é chamada 
de coeficiente angular da reta: f(x) = ax + b
y
x


y
x
= cateto oposto
= cateto adjacente

= a = 
cateto oposto
cateto adjacente
= tg
x
y
O
Domínio e contradomínio igual a IR
D = IR e CD = IR  f: IR IR
Exemplo: Seja a função f: IR  IR
Definida pela lei: y = x2
IR IR
IR+
Os valores de 
x ϵ D = IR
podem ser 
positivos ou 
negativos. 
Mas os valores de y obtidos pela lei da função são todos 
POSITIVOS.
CD = IR,
mas 
somente os 
positivos 
pertencem à 
imagem (Im).
Portanto:
D = IR
CD = IR
Im = IR+
Domínio de uma função real
CUIDADO: Nem sempre o domínio D é o conjunto IR.
Quando não está especificado, o domínio de uma função real será o subconjunto mais 
amplo de IR para o qual são possíveis as operações indicadas pela lei da função.
O domínio D dessa função será o conjunto IR com exceção do número 3, 
pois x = 3 torna nulo o denominador da fração.
Portanto:
D(f) = IR – {3}
ou
D(f) = {x ϵ IR | x ≠ 3}
1
( )
3
f x
x


EXEMPLO:
Domínio de uma função real
O domínio D será o conjunto IR com exceção dos valores de x menores que 3, 
pois em IR não existe raiz quadrada de número negativo.
Portanto:
D(f) = {x ϵ IR | x > 3}
( ) 3f x x 
EXEMPLO:
Domínio de uma função real
REGRAS GERAIS PARA DETERMINAR O DOMÍNIO:
- A expressão do denominador deve ser DIFERENTE DE ZERO:
DENOMINADOR ≠ 0
- O radicando de uma raiz de índice n (com n par) deve ser MAIOR OU IGUAL A ZERO:
RADICANDO  0
Como saber se o gráfico é de uma função?
Condição para ser função: Para cada valor x ϵ D, existe um ÚNICO valor y ϵ CD.
CONSEQUÊNCIAS:
É FUNÇÃO, POIS para cada valor de x...
..
. u
m
 ú
n
ic
o
 v
al
o
r 
y
NÃO É FUNÇÃO, POIS para este valor de x...
..
. e
xi
st
em
 D
O
IS
 
va
lo
re
s 
d
e
 y
É GRÁFICO DE FUNÇÃO quando qualquer reta perpendicular ao eixo x intersecta o gráfico em um 
único ponto.
NÃO É GRÁFICO DE FUNÇÃO quando existe pelo menos uma reta perpendicular ao eixo x que 
intersecta o gráfico em mais de um ponto.
Domínio e imagem no gráfico
O conjunto domínio e o conjunto imagem podem 
ser obtidos pela projeção do gráfico nos eixos.
Domínio: D(f) = {x ϵ IR| 2 ≤ x ≤ 4} = [2, 4]
Imagem: Im(f) = {y ϵ IR| 1 ≤ y ≤ 5} = [1, 5]
Caso particular de função afim
Função identidade: f(x) = x
Coeficiente linear: 
b = 0
Passa pela origem
1 2 3
3 
2
1
Coeficiente angular: 
a = = tg  = 1 
y
x


y
x
 = 45o

 = 45o
x
y
0
Caso particular de função afim
Função linear: f(x) = ax
Coeficiente linear: b = 0
Portanto, as retas 
sempre passam pela 
origem.
Quanto 
maior o 
coeficiente 
angular (a), 
maior o 
ângulo () e 
mais 
inclinada a 
reta.
f(x) = 0,3x
f(x) = 0,8x
f(x) = 1,5x
f(x) = 2,4x
x
y
O
Caso particular de função afim
Função constante: f(x) = b Coeficiente angular: a = 0.
Portanto, as retas são 
sempre paralelas ao eixo 
Ox , ou seja, o ângulo é 
 = 0 para todas elas.
f(x) = -2
f(x) = 2
f(x) = 4
f(x) = 6
b = -2
b = 2
b = 4
b = 6
x
y
O
Zero da função afim
Definição: Valor de x para o qual a função f(x) se anula. 
Consequência: f(x) = ax + b = 0  x = 
b
a

Exemplo: f(x) = 2x – 10  x = = 5
10
2


Zero da função: 
abscissa (x)em que o 
gráfico intersecta o 
eixo Ox.
1 2 3 4 5 6 7 x
y
0
Função crescente
Quanto MAIOR o valor de x, MAIOR o valor de y.
Exemplo: y = 2x + 1
x = -2 y = -3
x = -1 y = -1
x = 1 y = 3
x = 2 y = 5
x: cresce y: cresce
Função decrescente
Quanto MAIOR o valor de x, menor o valor de y.
Exemplo: y = -2x + 4
x = 1 y = 2
x = 2 y = 0
x = 3 y = -2
x = 4 y = -4
x: cresce y: decresce
Função quadrática – função par
Definição: f(x) = f(-x)  Gráfico é simétrico em relação ao eixo y.
Exemplo: f(x) = x2
f(2) = 4
f(-2) = 4
 f(2) = f(-2) 
f(1) = 1
f(-1) = 1
f(1) = f(-1) 
Denominamos função par uma função f, quando para
todo elemento x pertencente ao domínio da função
temos f(x) = f(-x).
Função par
Vamos analisar a função f(x) = 2x2 – 6.
Começando pelo lado direito do eixo das ordenadas.
Para x igual a 1, 2 ou 3, temos y igual a -4, 2 ou 12,
respectivamente.
Isto porque:
Função par
Agora vamos analisar o lado esquerdo do eixo das
ordenadas. Note que para x igual a -1, -2 e -3, temos
y igual aos mesmos -4, 2 e 12, respectivamente.
Evidentemente porque:
Qualquer que seja x temos f(x) = f(-x):
Função par
Portanto f(x) = 2x2 – 6 é uma função par. Visto que f(x) = f(-x).
Então x e o seu oposto -x possuem a mesma imagem.
Função do terceiro grau
Definição: f(x) = -f(-x)  Gráfico é simétrico em relação à origem O.
Exemplo: f(x) = x3
f(2) = 8
f(-2) = -8
 f(2) = -f(-2) 
Denominamos função ímpar uma função f, quando para
todo elemento x pertencente ao domínio da função, temos
f(x) = -f(-x) ou -f(x) = f(-x).
Função impar
Vamos analisar a função f(x) =
𝒙𝟑
𝟏𝟎
.
Os pontos para os quais x é igual a 1, 2 ou 3, estão
localizados em posição simétrica à partir da origem,
em relação aos pontos para os quais x é igual a -1, -2
ou -3, respectivamente.
Para termos o valor exato das imagens, primeiramente
vamos calcular f(x) para x igual a 1, 2 e 3:
Função impar
Ainda para x igual a 1, 2 e 3 vamos calcular -f(-x) para
podermos fazer uma comparação:
Função impar
Veja que f(x) = -f(-x):
Visto que -f(x) = f(-x), então x e o seu oposto -x têm
imagens opostas.
No caso dos números naturais quando um número
não é par ele só pode ser ímpar e vice-versa. No caso
de funções a coisa não é bem assim que funciona.
Para que uma função seja denominada função par ou
função ímpar, é preciso que a mesma se enquadre
exatamente nas condições impostas - vistas
anteriormente. Acontece que existem funções que não
satisfazem nem a condição para serem denominadas
funções pares, nem tampouco para serem
denominadas funções ímpares.
Funções que não são par nem impar
Vejamos o caso da função f(x) = x4 – 2x3
Como podemos observar, não existe a simetria visual
vistas nos gráficos anteriores, nem quanto a uma
função par, nem quanto a uma função ímpar.
Funções que não são par nem impar
No caso da função par teríamos f(x) = f(-x), ou seja, as
imagens de x = 1 e de x = -1, por exemplo, deveriam
ser iguais, mas pelo gráfico e pelos cálculos
realizados abaixo vemos que isto não ocorre.
Para que ela fosse uma função ímpar teríamos -
f(x) = f(-x), ou seja, as imagens de x = 1 e de x = -1,
por exemplo, deveriam ser opostas uma da outra, mas
pelo gráfico e pelos cálculos realizados anteriormente
vemos que isto também não ocorre:
Funções que não são par nem impar
Análise gráfica
Função é
positiva: 
f(x) > 0 
ou
y > 0
Função é 
negativa: 
f(x) < 0 
ou
y < 0
DECRESCENTE
DECRESCENTE
CRESCENTE
CONSTANTE
MÁXIMO
MÍNIMO
ZEROS DA 
FUNÇÃO