Lista1 2018 I MAT 146

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Universidade Federal de Vic¸osa
Centro de Cieˆncias Exatas
Departamento de Matema´tica
1a Lista MAT 146 - Ca´lculo I 2018/I
FUNC¸O˜ES
De forma geral uma func¸a˜o relaciona os elementos de dois conjuntos por meio de uma
determinada regra de associac¸a˜o. No nosso caso, usaremos a seguinte
Definic¸a˜o 1 Sejam A,B ⊂ R. Uma func¸a˜o f definida em A e com valores em B e´ uma regra
que associa a cada elemento x ∈ A um u´nico elemento y ∈ B.
Notac¸o˜es usuais: f : A −→ B tal que y = f(x) ou f : A −→ B
x 7−→ f(x)
EXEMPLOS:
1. A concentrac¸a˜o de certo tranquilizante aplicado no soro, varia na sua efica´cia ao longo do
tempo pela expressa˜o C = t2 − 2t + 5, onde C e´ medido em miligramas por litro e o tempo
t em horas.
(a) C e´ uma func¸a˜o que associa a cada tempo t um u´nico valor de concentrac¸a˜o do
tranquilizante. Ale´m disso, Dom(C) = [0,+∞)
(b) A bula estabelece que o tranquilizante na˜o produz danos colaterais e e´ eficaz se a
concentrac¸a˜o estiver entre 8 e 13 miligramas por litro. De acordo a isto, 8 ≤ t2−2t+5 ≤
13. Ora, resolver a desigualdade anterior, e´ equivalente a resolver as desigualdades
8 ≤ t2 − 2t + 5 e t2 − 2t + 5 ≤ 13.
8 ≤ t2− 2t+ 5⇐⇒ t2− 2t− 3 ≥ 0⇐⇒ (t− 3)(t+ 1) ≥ 0⇐⇒ t ∈ (−∞,−1]∪ [3,+∞)
t2 − 2t + 5 ≤ 13⇐⇒ t2 − 2t− 8 ≤ 0⇐⇒ (t− 4)(t + 2) ≤ 0⇐⇒ t ∈ [−2, 4]
A soluc¸a˜o comum a ambas as desigualdades e´ o intervalo [3, 4]. Isto nos diz que entre
3 e 4 horas de aplicado, o tranquilizante e´ eficaz.
2. Va´rios jogos da copa do mundo de 1994 ocorreram no esta´dio da Universidade de Stanford
na Califo´rnia. O campo esta´ a 30m mais longo do que e´ sua largura e a a´rea do campo e´ de
8800m2. Quais sa˜o as dimenso˜es deste campo de futebol?
Soluc¸a˜o: Chamando de x a largura do campo, temos que o seu comprimento e´ x+30. Logo,
a a´rea do campo e´
x(x + 30) = 8800.
Resolvendo esta equac¸a˜o do segundo grau, temos ∆ = 302 − 4.(−8800) = 36100. Portanto,
as soluc¸o˜es da equac¸a˜o sa˜o dadas por:
x1 =
−30 +√36100
2
=
−30 + 190
2
= 80 e x2 =
−30−√36100
2
=
−30− 190
2
= −110.
Como x na˜o pode ser negativo, as dimenso˜es do campo sa˜o 80m de largura e 110m de
comprimento.
3. Uma famı´lia dispo˜e de um orc¸amento mensal de 1200 reais e tem um gasto fixo, como aluguel,
alimentac¸a˜o, luz, etc, de 650 reais e de 200 reais em artigos supe´rfluos.
(a) Determine a restric¸a˜o orc¸amenta´ria da famı´lia.
(b) Determine a regia˜o dos gastos, onde os mesmos na˜o ultrapassam o orc¸amento.
Soluc¸a˜o: Sejam x os artigos supe´rfluos e y artigos fixos. Note que x, y ∈ N ∪ {0}.
(a) A restric¸a˜o orc¸amenta´ria equivale a igualar o orc¸amento com os gastos; enta˜o:
200x + 650y = 1200 =⇒ y = 0, 3077x + 1, 846
Assim, a restric¸a˜o orc¸amenta´ria e´ uma func¸a˜o afim.
(b) Neste caso, devemos resolver 200x+ 650y < 1200; enta˜o: 0, 3077x+ y < 1, 846. Fazendo
o gra´fico e hachurando a regia˜o inferior a` reta 0, 3077x + y = 1, 846, a` direita de x = 0 e
acima de y = 0, temos regia˜o requerida.
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
x
y
4. Determine o domı´nio e imagem de f dada por f(x) =
√
3−√x− 1.
Soluc¸a˜o: Por definic¸a˜o de func¸a˜o raiz quadrada devemos ter: (i) x − 1 ≥ 0 e (ii)
3−√x− 1 ≥ 0.
A primeira desigualdade fornece x ≥ 1.
A segunda desigualdade fornece
√
x− 1 ≤ 3, equivalente a x ≤ 10 (elevando ao quadrado
ambos os lados). Assim, obtemos 1 ≤ x ≤ 10. Portanto, Dom(f) = [1, 10].
Quanto a imagem, vamos proceder da seguinte forma: Seja x ∈ [1, 10], logo
1 ≤ x ≤ 10⇐⇒ 0 ≤ x− 1 ≤ 9⇐⇒ 0 ≤ √x− 1 ≤ 3⇐⇒ −3 ≤ −√x− 1 ≤ 0⇐⇒
⇐⇒ 0 ≤ 3−√x− 1 ≤ 3⇐⇒ 0 ≤
√
3−√x− 1 ≤
√
3⇐⇒ 0 ≤ y ≤
√
3
Portanto, Im(f) = [0,
√
3].
EXERCI´CIOS:
1. Exerc´ıcios sugeridos do livro do Leithold V1. Cap´ıtulo 1.
Sec¸a˜o 1.4 (p. 39) 1, 3, 5(e,f,h,i,j), 6(e,f,h,i,j), 8(d,f,g), 10(e, f), 13, 14, 16, 18, 20, 26, 28,
30, 34, 37, 40-42.
Sec¸a˜o 1.5(p. 44) 8, 14, 16, 24, 28, 36.
Ex. Revisa˜o (p. 52-53) 16, 38, 40, 45, 47, 48, 50
2. Sabe-se que 100 g (g=gramas) de soja contem 35 g de prote´ınas e 100 g de lentilhas contem
26 g de prote´ınas. Um adulto me´dio, num clima moderado, necessita de 70 g de prote´ınas
dia´rias em sua alimentac¸a˜o. Uma pessoa deseja prover estas 70 g de prote´ınas somente com
soja e/ou lentilhas. Se x e´ a quantidade de soja e y a quantidade de lentilhas dia´rias (x e y
medidas em unidades de 100 g), qual e´ a relac¸a˜o entre x e y?
3. Um pesquisador de fisiologia estableceu que a func¸a˜o r(s) = −s2 + 12s − 20 e´ um modelo
matema´tico que descreve o nu´mero de pulsos emitidas por uma pesso˜a, apo´s ter sido
estimulado na regia˜o nervosa. A varia´vel s indica o nu´mero de segundos decorridos desde a
estimulac¸a˜o nervosa. Fazer o gra´fico da func¸a˜o e interpretar no contexto do problema.
4. Uma empresa compra um equipamento por 3 milho˜es de reais e espera que sua vida u´til seja
de 15 anos:
(a) Determine a depreciac¸a˜o anual.
(b) Determine V = V (t) e calcule o valor do equipamento apo´s 7 anos.
(c) Qual e´ a depreciac¸a˜o apo´s 10 anos?
5. O faturamento de uma empresa, num certo per´ıodo, foi expresso em func¸a˜o do nu´mero x de
vendedores por f(x) = x3−3x2−18x milhares de reais por dia. Quantos eram os vendedores
no dia em que o faturamento atingiu 70 mil reais?
6. Suponha que foram introduzidos numa ilha, 144 indiv´ıduos de uma certa espe´cie de macacos.
Inicialmente, a quantidade de ind´ıviduos tende a crescer; apo´s um certo tempo, o alimento
e a populac¸a˜o de macacos decresce. Se o nu´mero de macacos no tempo t, em anos, e´ dado
por P (t) = −t4 + 32t2 + 144. Quando a populac¸a˜o se extingue?
7. Para uma populac¸a˜o particular de salma˜o, a relac¸a˜o entre o nu´mero de feˆmeas x e o
nu´mero de filhotes y que sobrevivem ate´ alcanc¸ar idade adulta esta´ dada pela fo´rmula
y =
4|7− x| − |x− 3|
2
. Quando o nu´mero de feˆmeas e´ menor ou igual do que o nu´mero
de filhotes que sobrevive?
8. Uma floresta possui, aproximadamente, 24000m3 de madeira comercializa´vel, a qual aumenta
na raza˜o de 3 : 5% ao ano. Outra floresta possui, aproximadamente, 48000m3 de madeira
comercializa´vel com a mesma raza˜o de crescimento da primeira.
(a) Quantos anos devem trascorrer para que a primeira floresta tenha a mesma quantidade
de madeira da segunda?
(b) Quantos anos sa˜o necessa´rios para que ambas as florestas tripliquem a quantidade de
madeira?
LIMITES
Intuitivamente, dizer que lim
x→a
f(x) = L equivale a dizer que na medida em que x se aproxima
de a, as correspondentes imagens f(x) se aproximam de L. Observe que em limites nem sempre
chegamos a x = a, nem a f(x) = L para algum x.
Perceba que tanto a como L podem ser um nu´mero real ou +∞ ou −∞.
Para calcular lim
x→a
f(x), seguimos o seguinte procedimento:
1. Primeiro, supomos que x = a e vemos o que sera´ f(a). Caso f(a) seja um valor bem definido,
este resultado sera´ o limite procurado.
2. Segundo, caso f(a) seja uma indeterminac¸a˜o (
0
0
,
∞
∞ , ∞ − ∞, ∞
∞, 00, 1∞).
Fazendo uso de procedimentos alge´bricos, eliminamos a indeterminac¸a˜o. Uma vez eliminada,
retornamos a 1 com a nova func¸a˜o de ficou apo´s o procedimento alge´brico.
EXEMPLOS:
1. Calcular lim
x→2
x2 − x− 2√
x−√2
Soluc¸a˜o: Observe que ao substituir x por 2 obtemos a indeterminac¸a˜o
0
0
. Isto significa que
tanto no numerador como no denominador ha´ um fator (x − 2) que devemos de eliminar.
Note que x2 − x − 2 = (x − 2)(x + 1) e que x − 2 = (√x − √2)(√x + √2), de onde
√
x−√2 = x− 2√
x +
√
2
. Logo,
lim
x→2
x2 − x− 2√
x−√2 = limx→2
(x− 2)(x + 1)
x− 2√
x +
√
2
= lim
x→2
(x− 2)(x + 1)(√x +√2)
x− 2 = limx→2(x+1)(
√
x+
√
2)
Em (x + 1)(
√
x +
√
2) substituimos novamente x por 2 e obtemos o valor 6
√
2. Ou seja
limx→2(x + 1)(
√
x +
√
2) = 6
√
2
Portanto, lim
x→2
x2 −x− 2√
x−√2 = limx→2(x + 1)(
√
x +
√
2) = 6
√
2.
2. Calcular lim
h→0
f(a + h)− f(a)
h
, para f dada por f(x) =
1
x− 1, onde a 6= 1.
Soluc¸a˜o: Note que f(a + h)− f(a) = 1
a + h− 1 −
1
a− 1 =
−h
(a− 1)(a + h− 1). Assim,
lim
h→0
f(a + h)− f(a)
h
= lim
h→0
−h
(a− 1)(a + h− 1)
h
= lim
h→0
−1
(a− 1)(a + h− 1) = −
1
(a− 1)2
3. Uma montadora de computadores determina que um empregado apo´s x dias de treinamento,
monta m computadores por dia, onde: m(x) =
20x2
x2 + x + 5
. Qual e´ o comportamento de
m = m(x) para treinamentos longos?
Soluc¸a˜o: Por treinamento longo entendemos aqui que x → +∞. Assim, devemos calcular
limx→+∞m(x).
lim
x→+∞
20x2
x2 + x + 5
= lim
x→+∞
x2(20)
x2(1 + 1
x
+ 5
x2
)
= lim
x→+∞
20
1 + 1
x
+ 5
x2
= 20
Isto nos diz que apo´s um longo treinamento um empregado consegue fabricar 20
computadores por dia e que este e´ o valor limite da produtividade deste empregado.
4. Um empresa comprou uma ma´quina por R$ 80.000, 00. O departamento financeiro calculou
que pode revender no final de t anos ao prec¸o de P (t) =
80
1 + 0, 4t
mil reais.
(a) Apo´s quantos anos a ma´quina perdera´ a metade do seu valor de compra?
(b) Calcule lim
t→+∞
P (t) e deˆ uma interpretac¸a˜o econoˆmica para este resultado.
Soluc¸a˜o:
(a) A metade do valor de compra corresponde a 40.000. Como a func¸a˜o P (t) e´ dada em
mil reais, temos que resolver a seguinte equac¸a˜o
80
1 + 0, 4t
= 40⇔ 80 = (1 + 0, 4t)40⇔ 80 = 40 + 16t⇔ 16t = 40⇔ t = 2, 5.
Logo, apo´s 2, 5 anos a ma´quina perdera´ a metade do seu valor de compra.
(b) lim
t→+∞
P (t) = lim
t→+∞
80
1 + 0, 4t
= 0, pois lim
t→+∞
80 = 80 e lim
t→+∞
1 + 0, 4t = +∞. Este
resultado significa que a longo prazo a ma´quina perdera´ totalmente seu valor.
EXERCI´CIOS:
1. Exerc´ıcios sugeridos do livro do Leithold V1. Cap´ıtulo 2.
Sec¸a˜o 2.2(p. 72) 2 - 14(so´ os pares), 22, 24, 27-36, 38, 39
Sec¸a˜o 2.3(p. 76-77) 2 - 10(so´ os pares, menos 6), 17, 18, 21, 29 - 32
33 - onde diz ”Mostre que limx→0 f(x) existe, pore´m limx→0 |f(x)| na˜o existe”. Leia-se
”Verifique que limx→0 |f(x)| existe, pore´m limx→0 f(x) na˜o existe. Justifique sua resposta!”
Sec¸a˜o 2.4(p. 88) 13 - 32(menos 27 e 28)
Sec¸a˜o 2.5(p. 98) 11 - 29 (so´ os ı´mpares), 31 - 36
2. Considere a func¸a˜o
g(x) =
 | x− 3 |x− 3 , se x 6= 30, se x = 3.
Encontre, se existirem, lim
x→3−
g(x), lim
x→3+
g(x) e lim
x→3
g(x).
3. O custo em um(unidades moneta´rias) para remover x% dos detritos to´xicos despejados num
aterro e´ dado por C(x) =
0, 8x
100− x , para 0 < x < 100.
(a) Calcule lim
x→100−
S(x). (b) Interprete o resultado obtido.
4. Os custos de transporte de mercadorias sa˜o usualmente calculados por uma fo´rmula que
resulta em custos mais baixos por quilo a` medida que o tamanho da carga aumenta.
Suponhamos que x quilos seja o peso de uma carga a ser transportada, C(x) o seu custo
total e
C(x) =

0, 80x se 0 < x ≤ 50
0, 70x se 50 < x ≤ 200
0, 65x se x < 200.
(a) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de C.
(b) Calcule cada um dos seguintes limites
i. lim
x→50−
C(x) ii. lim
x→50+
C(x) iii. lim
x→200−
C(x) iv. lim
x→200+
C(x)
5. A func¸a˜o de produc¸a˜o de um certo bem em relac¸a˜o a` quantidade de mate´ria prima, em
quilogramas, e´ dada por P (x) =
x2 − 4
x− 2 . Determine e interprete a produc¸a˜o quando se tem
2 quilogramas de mate´ria prima.
6. Numa cidade, uma determinada not´ıcia foi propagada de tal maneira que o nu´mero de
pessoas que tomaram conhecimento e´ dado por:
N(t) =
3025
1 + 54e−10t
em que t representa o nu´mero de dias apo´s ocorrer a not´ıcia:
(a) Quantas pessoas souberam a not´ıcia de imediato?
(b) Determine lim
t→∞
N(t) e explique o seu resultado.
7. Os psico´logos consideram que quando se pede a uma pesso˜a lembrar um conjunto de
eventos, o nu´mero de fatos lembrados apo´s t minutos esta´ dado por uma func¸a˜o da forma
Q(t) = A(1−e−kt), onde k e´ uma constante positiva e A e´ o nu´mero total de fatos importantes
presentes na memo´ria de uma pesso˜a. Qual o comportamento de Q quando t cresce sem
limite? Explique este comportamiento na pra´tica.
8. A altura de uma a´rvore, como func¸a˜o de sua idade, e´ dada pela seguinte expressa˜o
f(x) = 132e−
20
x , com x ≥ 0. Calcule limx→+∞ f(x) e interprete o resultado obtido.
9. O custo para produzir x unidades de um certo produto e´ dado por C(x) = 0, 25x+ 3600 em
reais.
(a) Determine o custo me´dio quando x cresce.
(b) Interprete o resultado.
CONTINUIDADE
Definic¸a˜o 2 Uma func¸a˜o f : R −→ R e´ dita cont´ınua em a ∈ Dom(f) se sa˜o satisfeitas as
seguintes condic¸o˜es:
1. Existe f(a). Isto e´, f(a) esta´ bem definida.
2. Existe limx→a f(x). Isto e´, os limites laterais limx→a+ f(x) e limx→a− f(x) existem e sa˜o
iguais.
3. limx→a f(x) = f(a)
f e´ cont´ınua em A ⊆ Dom(f), se f e´ cont´ınua em cada um dos pontos x ∈ A.
EXEMPLOS:
1. Num certo pa´ıs, o montante de impostos de renda T (x) devido por uma pessoa f´ısica que
recebe x unidade moneta´rias e´ modelado por:
T (x) =

0, 15x , se 0 ≤ x < 25000
3750 + 0, 25(x− 25000) , se 25000 ≤ x < 60000
12500 + 0, 35(x− 60000) , se 60000 ≤ x
Estude a continuidade do imposto de renda T = T (x). A renda de um contribuinte e´
sensivelmente diferente se sua receita e´ ligeiramente inferior ou superior a 600000 reais?
Soluc¸a˜o: Note em primeiro lugar que a func¸a˜o assim dada, fora dos pontos x0 = 25000 e
x1 = 60000 e´ dada por polinoˆmios os quais como sabemos sa˜o cont´ınuos. Sendo assim, fora
dos pontos x0 e x1 a func¸a˜o T e´ cont´ınua. Resta saber sobre a continuidade nesses pontos.
Para tal devemos fazer uso da definic¸a˜o de continuidade:
(a) Existe T (x0) e T (x1). De fato, T (2500) = 3750 e T (60000) = 12500.
(b) Existem limx→25000 T (x) e limx→60000 T (x). De fato,
lim
x→2500−
T (x) = lim
x→2500−
0, 15x = 3750
lim
x→2500+
T (x) = lim
x→2500+
3750 + 0, 25(x− 25000) = 3750
lim
x→60000−
T (x) = lim
x→60000−
3750 + 0, 25(x− 25000) = 12500
lim
x→60000+
T (x) = lim
x→60000+
12500 + 0, 35(x− 60000) = 12500
(c) limx→25000 T (x) = T (2500) e limx→60000 T (x) = T (60000)
Satisfeitas as treˆs condic¸o˜es da definic¸a˜o, concluimos que a func¸a˜o T e´ cont´ınua em x0 e x1
e daqui e´ cont´ınua em todo seu domı´nio.
Por outro lado, as mudanc¸as da renda do contribuinte na˜o tem variac¸a˜o sens´ıvel se sua
receita e´ levemente inferior ou superior a 60000 unidades moneta´rias.
2. Uma empresa ferrovia´ria cobra R$ 10, 00 por milha para transportar um vaga˜o ate´ 200
milhas e R$ 8, 00 por milha por cada milha que exceda 200. Ale´m disso, a ferrovia cobra
uma taxa de movimentac¸a˜o de R$ 1000, 00 por vaga˜o. Esboce o gra´fico do custo do envio
de um vaga˜o por x milhas. A func¸a˜o obtida e´ cont´ınua? Justifique!
Soluc¸a˜o: Se x e´ no ma´ximo 200 milhas, enta˜o o custo C(x) e´ dado por C(x) = 1000 + 10x
reais. O custo para 200 milhas e´ de C(200) = 1000 + 2000 = 3000 reais. Se x excede 200
milhas, enta˜o o custo total sera´
C(x) = 3000︸︷︷︸
custo das primeiras 200 milhas
+ 8(x− 200)︸ ︷︷ ︸
custo das milhas acima de 200
= 1400 + 8x
Logo,
C(x) =
{
1000 + 10x se 0 ≤ x ≤ 200
1400 + 8x se x > 200.
Como 1000+10x e 1400+8x sa˜o func¸o˜es polinomiais, segue que sa˜o cont´ınuas, logo a func¸a˜o
C(x) e´ cont´ınua em [0, 200) e em (200,+∞). Resta analisar a continuidade em x = 200.
Note que
C(200) = 3000,
lim
x→200−
C(x) = lim
x→200−
1000 + 10x = 3000
e
lim
x→200+
C(x) = lim
x→200−
1400 + 8x = 3000.
Como lim
x→200−
C(x) = lim
x→200+
C(x) = C(200) = 3000, segue a func¸a˜o C(x) e´ cont´ınua em
x = 200, logo C e´ sempre cont´ınua.
3. Determine o valor de b de tal forma que a func¸a˜o f dada abaixoseja cont´ınua no intervalo
(0, 10).
f(x) =

bx− 3 , se 0 < x < 2
x2 − 1 , se 2 ≤ x < 10
Soluc¸a˜o: Pelo enunciado, podemos concluir que a func¸a˜o ja´ e´ cont´ınua em (0, 10), logo
valem as treˆs condic¸o˜es da definic¸a˜o de continuidade em qualquer ponto de (0, 10). Assim,
f(2) = (2)2−1 = 3, lim
x→2−
f(x) = lim
x→2+
f(x) = f(2) = 3. Mas, lim
x→2−
f(x) = lim
x→2−
bx−3 = 2b−3
e lim
x→2+
f(x) = lim
x→2+
x2 − 1 = 3. De onde 2b− 3 = 3 e daqui b = 3.
Portanto, o valor de b que torna f cont´ınua em (0, 10) e´ b = 3.
EXERCI´CIOS:
1. Exerc´ıcios sugeridos do livro do Leithold V1. Cap´ıtulo 2.
Sec¸a˜o 2.6 (p. 106, 107) 1, 5, 10, 11, 15, 17, 20, 23, 26, 27, 28, 33, 36, 37, 39, 41, 42, 44,
46
Sec¸a˜o 2.7 (p. 112, 113) 15, 18, 21, 23, 24, 41, 43 - 48
1. Calcule p de modo que a func¸a˜o a seguir seja cont´ınua.
h(x) =
{
x + 2p, se x ≤ −1
p2, se x > −1.
2. Numa cidade se observa que a despesa de uma famı´lia com TV a cabo depende do tempo t,
mensal, que os habitantes assistem TV e esta quantidade, em centenas de reais, e´ modelada
por
P (t) =

0 , se 0 ≤ t < 20
0, 1t , se 20 ≤ t ≤ 100
40t− 1000
2t + 100
, se 100 < t
Estude a continuidade da despesa P = P (t). A despesa de uma famı´lia e´ sensivelmente
diferente se o tempo que assiste TV e´ ligeiramente inferior ou superior a 20 horas? E para
100 horas?
3. A despesa em artigos de limpeza, de certa famı´lia, depende de sua receita x, em centenas de
reais. A despesa destes artigos e´ modelada por:
G(x) =

0, 25x− 2 se 0 ≤ x ≤ 200
40x
2x + 2000
se 200 < x
(a) Estude a continuidade da despesa G = G(x). A despesa de uma famı´lia e´ sensivelmente
diferente se sua receita e´ levemente inferior ou superior a 200 reais?
(b) Pode uma famı´lia gastar mais do que 20 reais?
4. A populac¸a˜o (em milhares) de uma colonia de bacterias t minutos apo´s administrar uma
toxina esta dada pela func¸a˜o
P (t) =

t2 + 7 se 0 ≤ t < 5
−8t + 72 se t ≥ 5
(a) Qual o tamanho da populac¸a˜o apo´s 2 minutos?
(b) Em que instante a populac¸a˜o e´ nula?
(c) A func¸a˜o P e´ cont´ınua?. Justifique.
5. Um fabricante de latas quadradas sem tampa deseja usar pedac¸oes de folha-de-flandres com
dimenso˜es 8 e 15cm, cortando quadrados iguais dos quatro cantos e dobrando os lados.
a) Se x cm for o comprimento do lado do quadrado a ser cortado, expresse o volume da
caixa, em cent´ımetros cu´bicos, como uma func¸a˜o de x.
b) Qual o domı´nio da func¸a˜o?
c) Prove que a func¸a˜o e´ cont´ınua em seu domı´nio.