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Universidade Federal de Vic¸osa Centro de Cieˆncias Exatas e Tecnolo´gicas Departamento de Matema´tica 1a Prova - MAT146 - Ca´lculo I - 08/04/2017 Nome: Matr´ıcula: Turma: Turma 1 Turma 2 Turma 3 Turma 4 Turma 5 Turma 6 Turma 7 Turma 8 Turma 9 Ady Cristiane Lia Ady Filipe Filipe Cristiane Juliana Juliana Seg 08 - 10 Seg 10 - 12 Ter 14 - 16 Seg 14 - 16 Qua 14 - 16 Qua 18:30 - 20:30 Seg 08 - 10 Seg 08 - 10 Seg 18:30 - 20:10 Turma 10 Turma 11 Turma 12 Turmas 13 e 14 Juliana Ariane Lia Cristiane Qua 18:30 - 20:30 Seg 10 - 12 Ter 16 - 18 ter 13h Em todas as questo˜es justifique suas respostas. Boa Prova! Questa˜o 1: Calcule os seguintes limites, caso existam: (a) (6 pontos) lim x→− 32 4x2 − 9 2x + 3 Soluc¸a˜o: Neste caso, temos uma indeterminac¸a˜o do tipo “0/0”. Para contornar este problema, vamos fatorar o numerador lim x→− 32 4x2 − 9 2x + 3 = lim x→− 32 (2x− 3)(2x + 3) 2x + 3 = lim x→− 32 (2x− 3)����(2x + 3) ���2x + 3 = lim x→− 32 (2x− 3) = 2 ( −3 2 ) − 3 = −6. (b) (8 pontos) lim x→−∞ 2x + 1√ x2 − 3x + 1 Soluc¸a˜o: Neste caso, temos uma indeterminac¸a˜o do tipo “∞/∞”. Para contornar este problema aplicare- mos a seguinte manipulac¸a˜o alge´brica lim x→−∞ 2x + 1√ x2 − 3x + 1 = limx→−∞ x ( 2 + 1x )√ x2 ( 1− 3x + 1x2 ) = lim x→−∞ x ( 2 + 1x ) |x| √ 1− 3x + 1x2 = lim x→−∞ �x ( 2 + 1x ) −�x √ 1− 3x + 1x2 = lim x→−∞ lim x→−∞ ( 2 + 1x ) − √ lim x→−∞ ( 1− 3x + 1x2 ) = 2 −√1 = −2. (c) (10 pontos) lim x→−7 2x2 + 1 x + 7 Soluc¸a˜o: Observe que lim x→−7 2x2 + 1 = 99 6= 0 e lim x→−7 x + 7 = 0. Neste caso, para estudar o limite, temos que calcular os limites laterais: 1 lim x→−7+ 2x2 + 1 x + 7 = +∞, pois x + 7 > 0 quando x tende a −7 pela direita. lim x→−7− 2x2 + 1 x + 7 = −∞, pois x + 7 < 0 quando x tende a −7 pela esquerda. Logo, na˜o existe o limite pedido. Questa˜o 2: Seja f : R→ R definida por f(x) = { x + k, se x ≥ 1 −x2 + 4 se x < 1 , onde k e´ uma constante real. Pede-se: (a) (6 pontos) Determine lim x→1− f(x) e lim x→1+ f(x). Soluc¸a˜o: lim x→1− f(x) = lim x→1− (−x2 + 4) = −1 + 4 = 3 lim x→1+ f(x) = lim x→1− (x + k) = 1 + k. (b) (6 pontos) O valor de k, se existir, para que lim x→1 f(x) exista. Justifique. Soluc¸a˜o: Para que o limite exista, devemos ter lim x→1− f(x) = lim x→1+ f(x), ou seja, 3 = 1 + k k = 2. (c) (6 pontos) O valor de k, se existir, para que f seja cont´ınua em x = 1. Justifique. Soluc¸a˜o: Para a existeˆncia do limite, devemos ter k = 2. Neste caso, lim x→1 f(x) = 3 = f(1). Log a func¸a˜o dada e´ cont´ınua em x = 1. (d) (12 pontos) Reescreva a func¸a˜o f para k = 1 e esboce o seu gra´fico. Soluc¸a˜o: −2 −1 1 2 3 x −1 1 2 3 4 y 0 Para k = 1, a func¸a˜o f e´ dada por f(x) = { x + 1 x ≥ 1 −x2 + 4 x < 1 Questa˜o 3: Seja f : R→ R definida por f(x) = x2 + 3x + 2. Fac¸a o que se pede em cada item. 2 (a) (12 pontos) Utilizando a definic¸a˜o de derivada, encontre a expressa˜o para f ′(x). Soluc¸a˜o: Para qualquer x ∈ R, f ′(x) = lim h→0 f(x + h)− f(x) h = lim h→0 (x + h)2 + 3(x + h) + 2− (x2 + 3x + 2) h = lim h→0 ��x2 + 2xh + h2 +��3x + 3h + �2−��x2 −��3x− �2 h = lim h→0 �h(2x + h + 3) �h = lim h→0 (2x + h + 3) = 2x + 3. (b) (12 pontos) Encontre a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f no ponto de abscissa x = −3. Soluc¸a˜o: Como f e´ deriva´vel no ponto de abscissa x = −3, temos que a equac¸a˜o da reta tangente e´ dada por y − f(−3) = f ′(−3)(x− (−3)) y − 2 = −3(x + 3) y = −3x− 7. Questa˜o 4: Seja f uma func¸a˜o definida por f(x) = { √ x− 3, se x ≥ 4 x 2 − 1, se x < 4 Determine: (a) (4 pontos) O domı´nio de f. Soluc¸a˜o: Dom(f) = R. (b) (12 pontos) As derivadas laterais f ′+(4) e f ′ −(4). Soluc¸a˜o: Por definic¸a˜o, a derivada lateral a` direita de f em x = 4 e´ dada por f ′+(4) = lim x→4+ f(x)− f(4) x− 4 = limx→4+ √ x− 3−√1 x− 4 = lim x→4+ (√ x− 3− 1) (√x− 3 + 1) (x− 4) (√x− 3 + 1) = lim x→4+ x− 3− 1 (x− 4) (√x− 3 + 1) = lim x→4+ ���x− 4 ����(x− 4) (√ x− 3 + 1) = lim x→4+ 1√ x− 3 + 1 = 1 2 . f ′−(4) = lim x→4− f(x)− f(4) x− 4 = limx→4− x 2 − 1− √ 1 x− 4 = lim x→4− ����(x− 4) 2����(x− 4) = lim x→4− 1 2 = 1 2 . 3 (c) (6 pontos) A func¸a˜o f dada e´ deriva´vel em x = 4? Justifique! Soluc¸a˜o: A func¸a˜o e´ deriva´vel em x = 4 pois as derivadas laterais existem e sa˜o iguais. Logo f ′(4) = 1 2 . 2a Prova de MAT146 - Ca´lculo I - 20/05/2017 Nome: Matr´ıcula: Turma: Turma 1 Turma 2 Turma 3 Turma 4 Turma 5 Turma 6 Turma 7 Turma 8 Turma 9 Ady Cristiane Marli Ady Pouya Giovani Cristiane Juliana Pouya Seg 08 - 10 Seg 10 - 12 Ter 14 - 16 Seg 14 - 16 Qua 14 - 16 Qua 18:30 - 20:30 Seg 08 - 10 Seg 08 - 10 Seg 18:30 - 20:10 Turma 10 Turma 11 Turma 12 Turmas 13 e 14 Juliana Ariane Marli Giovanni Qua 18:30 - 20:30 Seg 10 - 12 Ter 16 - 18 Ter 13h Em todas as questo˜es justifique suas respostas. Boa Prova! GABARITO P2 1a Questa˜o: Derive cada uma das func¸o˜es abaixo: (a) (7 pontos) f(x) = x tg x + 3 √ x2 Utilizando a regra do produto f ′(x) = 1 · tg x + x sec2 x + 2 3 x− 1 3 = tg x + x sec2 x + 2 3 3 √ x . (b) (7 pontos) f(x) = x2 x2 + 3 Pela regra do quociente f ′(x) = (x2 + 3)2x− x2(2x) (x2 + 3)2 = 2x3 + 6x− 2x3 (x2 + 3)2 = 6x (x2 + 3)2 (c) (8 pontos) f(x) = ln(3x2 + 4)− cos(ex) Pela regra da cadeia f ′(x) = 1 3x2 + 4 · (6x) + sen(ex)ex = 6x 3x2 + 4 + ex sen(ex). 2a Questa˜o: (18 pontos) Considere a curva de equac¸a˜o 3xy2 + 2y3 = x + 2. Determine dy dx ∣∣∣∣ x=0 . Derivando com respeito a x, obtemos d dx (3xy2 + 2y3) = d dx (x + 2) 3y2 + 3x2y dy dx + 6y2 dy dx = 1 dy dx (6xy + 6y2) = 1− 3y2 dy dx = 1− 3y2 6xy + 6y2 , 6xy + 6y2 6= 0. 4 Substituindo x = 0 na equac¸a˜o que define a curva, obtemos 3 · 0 · y2 + 2y3 = 0 + 2⇒ 2y3 = 2⇒ y = 1. Avaliando a expressa˜o da derivada no ponto (x, y) = (0, 1), obtemos: dy dx ∣∣∣∣∣ (x,y)=(0,1) = 1− 3.12 6.1 + 6.12 dy dx ∣∣∣∣∣ (x,y)=(0,1) = −2 6 dy dx ∣∣∣∣∣ (x,y)=(0,1) = −1 3 . 3a Questa˜o: (20 pontos) Uma escada, de 6m de comprimento, esta´ apoiada em uma parede vertical. Um opera´rio empurra a escada na direc¸a˜o da parede. Se a base da escada se move a uma taxa de 0, 5m/s, com que velocidade o topo da escada percorre a parede, quando a escada esta´ a 5m do solo? Sejam t o tempo em segundos, x a distaˆncia, em metros, do topo da escada ao cha˜o decorridos t segundos e y a distaˆncia, em metros, da base da escada a` parede decorridos t segundos. Sabe-se que dy dt = −0.5 m/s. Deseja-se determinar dx dt quando x = 5m. Note que o triaˆngulo formado, pela escada, pela parede e pelo cha˜o, e´ retaˆngulo, logo x2 + y2 = 36. Desta forma, derivando com relac¸a˜o ao tempo, obtemos 2x dx dt + 2y dy dt = 0. Note que quando x = 5 tem-se y2 = 36− 25, logo y = √11. Substituindo y = √11, x = 5 e dy dt = −0, 5 na equac¸a˜o diferencial, obtemos: dx dt = −√11 · (−0.5) 5 ⇒ dx dt = √ 11 10 . Portanto, o topo da escada esta´ subindo a uma taxa de √ 11 10 m/s. 4a Questa˜o: Seja f uma func¸a˜o definida por f(x) = x2 x2 + 3 . Sabendo que f ′(x) = 6x (x2 + 3)2 e f ′′(x) = −18x2 + 18 (x2 + 3)3 , determine: (a) (6 pontos) o domı´nio de f e as ass´ıntotas horizontais e verticais, caso existam. A func¸a˜o f e´ uma func¸a˜o racional, cujo denominador e´ sempre na˜o nulo. Logo, Dom(f) = R. Como f e´ cont´ınua em R, o seu gra´fico na˜o possui ass´ıntotas verticais.Para encontrar as ass´ıntotas horizontais, calcularemos os limites no infinito. lim x→∞ x2 x2 + 3 = lim x→∞ x2 x2 ( 1 + 3x2 ) = lim x→∞ 1 1 + 3x2 = 1. lim x→−∞ x2 x2 + 3 = lim x→−∞ x2 x2 ( 1 + 3x2 ) = lim x→−∞ 1 1 + 3x2 = 1. Logo, y = 1 e´ a u´nica ass´ıntota horizontal. 5 (b) (5 pontos) os pontos cr´ıticos de f, caso existam; Os pontos cr´ıticos de f, neste caso, sa˜o pontos que satisfazem f ′(x) = 0, ou seja: 6x (x2 + 3)2 = 0⇐⇒ 6x = 0⇐⇒ x = 0. Logo (0, f(0)) = (0, 0) e´ o u´nico ponto cr´ıtico de f . (c) (6 pontos) intervalos de crescimento e decrescimento de f ; Como f ′(x) < 0 em (−∞, 0) e f e´ cont´ınua, temos que f e´ estritamente decrescente em (−∞, 0]. Como f ′(x) > 0 em (0,+∞) temos que f e´ estritamente crescente em [0,+∞). (d) (6 pontos) o(s) extremo(s) relativo(s) de f ; Como f ′(x) < 0, para x < 0 e f ′(x) > 0 para x > 0, temos que o ponto de abscissa x = 0 e´ um ponto de mı´nimo local (relativo). A func¸a˜o f na˜o possui ma´ximo local (relativo). (e) (6 pontos) os intervalos onde o gra´fico de f e´ coˆncavo para baixo e onde o gra´fico e´ coˆncavo para cima; Observe que f ′′(x) < 0, para x ∈ (−∞,−1) ∪ (1,+∞). Da´ı, o gra´fico de f e´ coˆncavo para baixo em (−∞,−1) e em (1,+∞). Como f ′′(x) > 0 para x ∈ (−1, 1), segue que o gra´fico de f e´ coˆncavo para cima em (−1, 1). (f) (6 pontos) os pontos de inflexa˜o do gra´fico de f ; Os pontos de abscissa x = −1 e x = 1 sa˜o pontos de inflexa˜o do gra´fico de f, uma vez que f e´ deriva´vel e o gra´fico de f muda de concavidade nestes pontos. (g) (5 pontos) construa o gra´fico de f. −3. −2.5 −2. −1.5 −1. −0.5 0.5 1. 1.5 2. 2.5 3. 0.5 1. 1.5 0 3a Prova de MAT146 - Ca´lculo I - 01/07/2017 Nome: Matr´ıcula: Turma: Turma 1 Turma 2 Turma 3 Turma 4 Turma 5 Turma 6 Turma 7 Turma 8 Turma 9 Ady Cristiane Marli Ady Pouya Giovani Cristiane Juliana Pouya Seg 08 - 10 Seg 10 - 12 Ter 14 - 16 Seg 14 - 16 Qua 14 - 16 Qua 18:30 - 20:30 Seg 08 - 10 Seg 08 - 10 Seg 18:30 - 20:10 Turma 10 Turma 11 Turma 12 Turmas 13 e 14 Juliana Ariane Marli Giovanni Qua 18:30 - 20:30 Seg 10 - 12 Ter 16 - 18 Ter 13h Em todas as questo˜es justifique suas respostas. Boa Prova! 1a Questa˜o: [35 pontos] Calcule cada uma das integrais abaixo: (a) (10 pontos) ∫ √ x + x √ x x2 dx ∫ √ x + x √ x x2 dx = ∫ √ x x2 dx + ∫ x √ x x2 dx = ∫ x 1 2 −2 dx + ∫ x 1+ 1 2 −2 dx = = ∫ x − 3 2dx + ∫ x − 1 2dx = −2x− 1 2 + 2x 1 2 + C = −−2√ x + 2 √ x + C 6 (b) (12 pontos) ∫ 1 0 x3(1 + x4)5dx Fac¸amos a mudanc¸a de varia´vel u = 1 + x4. Assim, du = 4x3dx e desta forma,∫ 1 0 x3(1 + x4)5dx = ∫ 2 1 u5 4 du = 1 4 · u6 6 ∣∣∣∣∣ 2 1 = 1 4 · ( 26 6 − 1 6 ) = 63 24 (c) (13 pontos) ∫ x cosxdx Neste caso, utilizamos integrac¸a˜o por partes. u = x ⇒ du = dx dv = cosxdx ⇒ v = senx ∫ x cosxdx = x senx− ∫ senxdx = x senx + cosx + C 2a Questa˜o: [20 pontos] Sejam f e g func¸o˜es dadas por f(x) = x2 − 2x e g(x) = x. (a) (10 pontos) Calcule o(s) ponto(s) de intersec¸a˜o(o˜es) e esboce a regia˜o do plano, limitada pelos gra´ficos das func¸o˜es f e g. −3. −2. −1. 1. 2. 3. 4. −2. −1. 1. 2. 3. 4. 0 Os pontos de intersec¸a˜o sa˜o encontrados resolvendo f(x) = g(x). Assim, x2 − 2x = x x2 − 3x = 0 x = 0 ou x = 3. Assim, os pontos de intersec¸a˜o sa˜o (0, f(0)) = (0, 0) e (3, f(3) = 3). (b) (10 pontos) Calcule a a´rea da regia˜o do item anterior. 7 A a´rea da regia˜o e´ dada por A = ∫ 3 0 [ x− (x2 − 2x)] dx = ∫ 3 0 [−x2 + 3x]dx = ( −x 3 3 + 3 x2 2 )∣∣∣∣3 0 = ( −27 3 + 27 2 ) − 0 = 9 2 . 8 3a Questa˜o: [20 pontos] Um fabricante de caixas de papela˜o de base quadrada deseja fazer caixas abertas de pedac¸os de papela˜o de 12 m de lado, cortando quadrados iguais nos quatro cantos e dobrando os lados. Encontre o comprimento do lado do quadrado que se deve cortar para obter uma caixa cujo volume seja o maior poss´ıvel. x x x x xx x x 12 12 Seja x o comprimento, em metros, o lado dos quadrados que sera˜o retirados. As caixas tera˜o base quadrada de lado 12− 2x e altura x, logo o volume da caixa sera´: V (x) = (12− 2x)2x, 0 ≤ x ≤ 6. Note que a func¸a˜o V e´ cont´ınua e esta´ definida num intervalo fechado, logo podemos aplicar o teorema do valor extremo, e assim V tem ambos os valores, ma´ximo e mı´nimo, absolutos, em [0, 6]. Queremos encontrar o ma´ximo absoluto de V . V ′(x) = (12− 2x)2 − 4x(12− 2x)⇔ V ′(x) = (12− 2x)(12− 6x). Note que V ′(x) = 0⇔ x = 6 ou x = 2. Avaliando a func¸a˜o nos extremos no ponto cr´ıtico e nos extremos: V (0) = V (6) = 0 V (2) = 82 · 2 = 128. Logo, o comprimento do lado do quadrado que se deve cortar e´ de x = 2 m para que se tenha caixas de volume ma´ximo. 9 4a Questa˜o: [15 pontos] Resolva o Problema de Valor Inicial:{ dy dx = −4y x3 y(1) = e. A equac¸a˜o diferencial do problema pode ser escrita como 1 y dy dx = − 1 x3 . Logo trata-se de um equac¸a˜o separa´vel. Escrevendo na forma diferencial 1 y dy = − 4 x3 dx. Integrando ambos os lados, obtemos ln |y(x)| = 2 x2 + C. Usando a condic¸a˜o inicial y(1) = e, obtemos ln |y(1)| = 2 + C ⇒ C = −1, pois ln e = 1. Logo ln |y(x)| = 2 x2 − 1⇒ y(x) = ±e ( 2 x2 −1 ) . 5a Questa˜o: [10 pontos] Verifique que∫ lnx2 x2 dx = −2 ( 1 + ln x x ) + C. Ao derivar o lado direito da igualdade, obtemos: d dx ( −2 ( 1 + lnx x ) + C ) = −2 1x · x− (1 + lnx) x2 + 0 = 2 lnx x2 = lnx2 x2 . Boa Prova! 10
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