Sistemas Lineares

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ENGENHARIA CIVIL
CÁLCULO NUMÉRICO
SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES
Aula 01 | Eliminação de Gauss
Aula 02 | Fatoração LU
Aula 03 | Método de Jacobi
Aula 04 | Método de Gauss-Seidel
Uma versão preliminar da eliminação de Gauss apareceu pela primeira vez no livro chinês “Nove Capítulo de Artes Matemática”, em torno de 200 a.C. Até então o poder do método não tinha sido reconhecido.
No ano de 1801 Carl Friedrich Gauss utilizou o método para calcular a órbita do asteroide Ceres com pouquíssimas informações (anotações do astrônomo siciliano Giuseppe Piazzi quem batizou o asteroide com o nome ao observá-lo pela primeira vez). O trabalho de Gauss causou sensação quando Ceres reapareceu na constelação de virgem, local aproximado aos seus cálculos.
Mais tarde o método foi popularizado quando Willian Jordan (engenheiro alemão) em 1888 publicou no seu livro de geodésica intitulado “Handbuch der Vermessungskund”. 
Embora as ideias tenham sido conhecidas antes, muitas vezes o credito pela popularização da decomposição LU é atribuída ao lógico e matemático britânico Alan Turing (precursor do computador), pelo seu trabalho de 1948 nesse assunto. 
Ao final dos anos 1970, a Fundação Nacional de Ciências e o Departamento de Energia dos EUA financiaram o desenvolvimento de rotinas de computacionais para inverter matrizes e resolver sistemas de equações lineares. 
Aquela pesquisa levou a um conjunto de programas Fortran chamada LINPAC que são uma referência para muitos algoritmos computacionais de hoje. Inclusive o chamado MATLAB. As rotinas LIMPAC estão organizadas em torno de quatro fatorações de matrizes, uma das quais é a decomposição LU. C.B. Moler, J.J. Dongarra, G.W. Stewart e J.R. Brunch, os principais programadores do LINPAC, basearam muitas de suas ideias no trabalho de Jemes Boyle e Kenneth Dritz, do Laboratório Argonne (nos EUA).
Todo o histórico acima é creditado à Profa. Dra. Marli de Freitas Gomes Hernandez CESET-UNICAMP (ANTON, H. & BUSBY, R. Álgebra Linear Contemporânea. Editora Bookman. Porto Alegre. 2006)
Ao conjunto de m equações lineares com n incógnitas damos o nome de sistema de equações lineares. Sejam 
 matriz real, 
e b vetores coluna. Um sistema de equações lineares ou sistema linear com n equações e n variáveis é uma equação do tipo
. Usando os valores de A, x e b, temos
 
 
 (I)
A forma Ax = b e a sua equivalente dada por (II) são ditas formas vetoriais do sistema de equações. A matriz A é dita matriz dos coeficientes.
Um sistema linear pode também ser representado multiplicando-se a matriz A pelo vetor coluna x em (I):
 (II)
Exemplo - Seja o sistema: 
.
Ele pode ser representado por meio de matrizes, da seguinte forma:
Resolver o sistema (II) significa determinar um vetor 
 , que satisfaça todas as suas equações.
CLASSIFICAÇÃO DAS SOLUÇÕES DE UM SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES
Um sistema de m equações lineares com n incógnitas pode ser classificado, quanto ao número de soluções:
Uma forma de verificar se um sistema possui solução ou não, ou seja, possível, impossível ou determinado, é calcular o determinante da matriz do sistema.
 
MÉDOTOS DE RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR
Os métodos numéricos destinados a resolver sistemas lineares são divididos em dois grupos: 
MÉTODOS DIRETOS - São métodos que determinam a solução exata (a menos de arredondamento), caso ela exista, de um sistema linear com um número finito de operações.
MÉTODOS ITERATIVOS – São métodos que geram uma sequência de vetores 
, a partir de uma aproximação inicial 
, que sob certas condições esta sequência converge para a solução aproximada X, caso ela exista. 
Estudaremos dois métodos diretos.
Método de Eliminação de Gauss 
Fatoração LU
Consiste em transformar o sistema linear original Ax = b num sistema equivalente Ux = c, com a matriz dos coeficientes U triangular superior. Ao final do processo, obtemos o sistema equivalente.
 
 (III)
Supondo que 
, i = 1, . . . , n podemos determinar 
do seguinte modo:
 
 (IV)
A ideia central do método consiste na eliminação sistemática as incógnitas abaixo da diagonal principal, transformando o sistema geral em um sistema do tipo triangular superior.
 
Suponha que a matriz 
 = (aij) referente ao sistema dado por (II) tenha det(A) ≠ 0. Se considerarmos o pivô o elemento 
 (os pivôs serão os elementos da diagonal principal, deste que sejam diferentes de zero) , podemos eliminar 
 nas últimas n - 1 equações de (II) fazendo:
 
Os 
, são chamados multiplicadores, que multiplicados na linha do pivô e somado com o elementos a serem zerados, tal soma será nula. 
OBS: Para encontrar os multiplicadores, basta dividir o elemento a ser zerado pelo pivô e tomá-lo com o sinal “contrário”.
 As fórmulas que definem os novos coeficientes de cada linha são definidas por:
Para a nova linha 2 → 
Para a nova linha 3 → 
 ...............................................................
 n- Para a nova linha n → 
 
ou seja, em 1, a nova linha 
será a soma ( ou subtração) entre a linha que contém o elemento a ser zerado (
), e a linha que contém o pivô (
), sendo esta multiplicada pelo multiplicador
. De 2, 3 ....n segue analogamente.
Nesta primeira etapa de aplicação dos cálculos acima, a matriz dos coeficientes fica na forma
 
 (V)
Observe que os elementos da primeira coluna que estão abaixo do pivô são todos nulos.
Efetua-se o mesmo processo para eliminar
 nas n – 2 equações de (II). Agora queremos zerar todos os coeficientes da matriz 
 que estão abaixo do coeficiente 
. Neste caso, 
 será o novo pivô.
 
Para a nova linha 3 → 
Para a nova linha 4 → 
 ...............................................................
 n- Para a nova linha n → 
Este processo é seguido até que todos os elementos abaixo da diagonal principal sejam zeros. No final do processo temos uma matriz triangular superior.
 
 (VI) 
Depois de escalonado a matriz A dos coeficientes, voltamos ao sistema, mas com a matriz equivalente (VI) ou seja,
 
Construímos o sistema (VI) e resolvemos o sistema linear como em (IV) e encontramos as variáveis
.
Exemplo 1
Resolver o sistema linear.
A primeira coisa a fazer é obter a matriz dos coeficientes.
 
�� EMBED Equation.3 
Observe que a diagonal principal é composta pelos elementos 3, 1 e –2.
Etapa 1: eliminar 
 das equações 2 e 3. Neste caso, os elementos que estão abaixo da diagonal principal, a começar pelos elementos 
 e 
 devem ser zerados.
OBS: Para encontrar o multiplicador m, basta dividir o elemento a ser zerado pelo pivô. O número a ser multiplicado na linha do pivô terá o sinal inverso ao que foi encontrado.
nova linha 2 → 
nova linha 3 → 
Depois dos cálculos, obtemos a matriz
Etapa 2: eliminar 
 das equação 3. Neste caso, o elemento 
 deve ser zerado.
nova linha 3 → 
Depois dos cálculos, obtemos a matriz
Assim, resolver o sistema Ax = b, dado pelo exercício é equivalente resolver o sistema
 
Resolvendo a partir da 3ª equação do sistema acima, temos:
 
 
Substituindo 
 na 2ª equação, obtemos 
.
Substituindo 
 e 
 na 1ª equação, obtemos 
. Logo, a solução dosistema original é o vetor
.
ESTRATÉGIA DE PIVOTEAMENTO
Vimos que o algoritmo para o método de eliminação de Gauss requer o cálculo dos multiplicadores:
 
em cada etapa k do processo. Mas se o pivô for nulo (
), o que acontece, uma vez que não podemos dividir um número por zero?
Para contornar este problema deve-se adotar uma estratégia de pivoteamento, ou seja, adotar um processo de escolha da linha e/ou coluna que contém o pivô. Esta estratégia consiste em:
no início da etapa k da fase de eliminação, escolher para o pivô o elemento de maior módulo entre os coeficientes
 
;
trocar as linhas k e i se for necessário.
Por exemplo, se tivéssemos a matriz dos coeficientes
 
�� EMBED Equation.3 
Nos exemplos acima, tomaríamos o pivô como sendo o elemento 
, que neste caso é o número zero. Mas, quando calculamos os multiplicadores
estamos dividindo os coeficientes 
e 
por zero, o que não se deve (não se divide um número por zero).
O que temos que fazer então é uma estratégia de pivoteamento que consiste em trocar a linha 
 pela linha 
 ou 
. Pela estratégia de pivoteamento, trocamos a linha 
 pela linha 
, pois esta tem o maior valor em módulo entre os elementos 
e 
que neste caso é o número 4. Então, a linha 
 passa a ser a linha 
 e a linha 
 passa a ser a linha 
.
 
�� EMBED Equation.3 
Agora, faz-se o mesmo processo para se obter a matriz triangular superior, como visto anteriormente.
EXERCÍCIOS
1- Resolver os sistemas lineares pelo método de eliminação de Gauss.
a- 
 b- 
c- 
 d-
 
2- Um empresário precisa realizar 3 obras. As três obras precisam dos mesmos tipos de estruturas de concreto armado: 
Lastro de concreto magro de espessura de 4 cm
Lastro de concreto magro de espessura de 8 cm
Lastro de concreto magro de espessura de 10 cm
O empresário dono da obra precisa das seguintes quantidades de lastros:
Na obra 1 serão consumidos 28 m² de lastros de 5 cm, 42 m² de lastros de 8 cm e 48 m² de lastros de 10 cm;
Na obra 2 serão consumidos 23 m² de lastros de 5 cm, 50 m² de lastros de 8 cm e 45 m² de lastros de 10 cm;
Na obra 3 serão consumidos 30 m² de lastros de 5 cm, 45 m² de lastros de 8 cm e 60 m² de lastros de 10 cm.
Uma empresa de concretagem vai vender os lastros para o empresário. O preço do m² de lastro de concreto é o mesmo nas três obras. 
Em cada obra, o gasto com estrutura de concreto armado será R$ 3.034,00 na obra 1, R$ 3.058,00 na obra 2 e R$ 3.525,00 na obra 3. Qual o preço por m² de cada lastro de 4, 8 e 10 cm?
3- Uma loja de material de construção está com a seguinte promoção:
1 saco de cimento, 2 sacos de argamassa e 3 sacos de espaçador reutilizável para pisos por R$ 71,00.
2 saco de cimento, 5 sacos de argamassa e 6 sacos de espaçador reutilizável para pisos por R$ 160,00.
2 saco de cimento, 3 sacos de argamassa e 4 sacos de espaçador reutilizável para pisos por R$ 114,00.
Calcule o preço unitário de cada produto ofertado.
- Respostas
(1) a- 
 b- 
 c- 
 d- 
 (2) 
 (3) 
A decomposição LU é uma das técnicas mais usadas para resolver sistemas de equações algébricas.
Dado um sistema A.x = B, podemos fatorar a matriz A no produto de duas matrizes L e U, sendo L uma matriz triangular inferior e U uma matriz triangular superior.
 Ax = b ( A = LU
 L = triangular inferior
 U = triangular superior
A eliminação de Gauss pode ser usada para decompor uma matriz dos coeficientes [A], em duas matrizes [L] e [U]. [L] é uma matriz triangular inferior com sua diagonal principal formada por elementos iguais a 1. 
A matriz U é uma matriz triangular superior, resultante da matriz obtida quando se triangularizou a matriz A no método de Eliminação de Gauss.
 
Já a matriz L é uma matriz triangular inferior com sua diagonal principal formada por elementos iguais a 1. 
abaixo da diagonal, formado pelos multiplicadores
, utilizados para zerar os elementos
, respectivamente.
Assim, 
Observe que o vetor coluna B = 
não foi envolvido na decomposição da matriz A em L e U.
CONSTRUÇÃO DO SISTEMA PARA A RESOLUÇÃO
A construção da solução do sistema Ax = B inicia-se com a decomposição de A em L e U. Feito a decomposição, temos que:
 Ax = B ( (LU).x = B ( L.(Ux) = B
Fazendo Ux = y, temos:
 Ly = B
Portanto, temos dois sistemas a resolver:
Ly = b
Ux = y
Em (1) encontramos a matriz 
. Encontrado y, substituímos em (2) e encontramos 
 , que é a solução do sistema original.
Exemplo 1 da página 6
 
 
 
 = 
 
A matriz U, obtida da Eliminação de Gauss do exemplo 1 e dada por:
A matriz L é triangular inferior, formada pelos multiplicadores 
, utilizados na resolução do Exemplo 1 na página 6.
Observe que 
A = LU = 
Portanto, temos dois sistemas a resolver:
Ly = b
Ux = y
Resolvendo o sistema de cima para baixo, encontramos 
.
Resolvendo o sistema de baixo para cima, encontramos 
, a mesma solução do exemplo 1.
EXERCÍCIOS
1- Resolva por fatoração LU.
(a) - 
 (b) 
(c) 
 
Respostas
a- 
 b- 
 c- 
 
Considere o Sistema Linear 
 onde:
 matriz de coeficientes 
 vetor de variáveis 
 vetor independente (constantes) 
A ideia geral dos métodos iterativos consiste em converter o sistema de equações 
 em um processo iterativo 
, onde:
= matriz com dimensões 
D = vetor com dimensões 
= função de iteração matricial (solução aproximada)
PROCESSO ITERATIVO
Partindo de uma vetor aproximação inicial 
, constrói-se uma sequência iterativa de vetores, calculando 
 , onde:
 (forma geral)
CRITÉRIO DE PARADA
Como em todos os processos iterativos, necessitamos de um critério para a parada do processo. A parada é dada pelo Máximo desvio relativo:
Onde,
 é o maior desvio absoluto, ou seja, a maior diferença absoluta entre 
 (a resposta encontrada no passo k) e a solução 
do passo anterior.
é o maior valor absoluto de 
 (a resposta encontrada no passo k).
Logo, desta forma, dada uma precisão 
 o vetor 
 será escolhido como solução aproximada da solução exata, se 
.
MÉTODOS ITERATIVOS
Estudaremos dois métodos iterativos
MÉTODO DE GAUSS-JACOBI
MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL
Dado uma aproximação inicial 
, o Método de Gauss-Jacobi consiste em obter uma sequência 
, 
, 
, ......, 
, por meio da relação recursiva: 
 
Considere o sistema linear:
No Método de Gauss-Jacobi, é realizada uma separação da diagonal principal, e o processo iterativo é sequencial, componente por componente.
Supondo 
, isola-se o vetor 
 mediante a separação pela diagonal da matriz de coeficientes.
Assim, tem-se o sistema iterativo 
, onde:
 e 
Exemplo - Resolver o sistema linear utilizando o Método Iterativo de Gauss-Jacobi, com 
 e tolerância 
.
-SOLUÇÃO-
Isolando 
 na diagonal, o processo iterativo é dado por:
Para k = 0 e substituindo
, temos:
 
Critério de parada
Para k = 1 e substituindo
, temos:
Critério de parada
Para k = 2 e substituindo 
Critério de parada
Logo,a solução aproximada do sistema é
 , com erro menor que 0,05.
Observe que solução aproximada acima está bem próxima da solução exata 
(basta calcular por Eliminação de Gauss).
CONDIÇÕES SUFICIENTES PARA A CONVERGÊNCIA DO MÉTODO DE GAUSS-JACOBI
CRITÉRIO DAS LINHAS
TEOREMA - Seja o sistema linear
 e seja:
Se 
, então o método G-J gera uma sequência 
 convergente para a solução do sistema dado, independentemente da escolha da aproximação inicial 
.
Observe que esta é uma condição suficiente, se for satisfeita o método converge, entretanto se não for satisfeita nada se pode afirmar.
Exemplo
Seja a matriz do exemplo dado anteriormente:
Tem-se a convergência garantida para qualquer vetor inicial.
Exemplo
Seja o sistema de equações lineares:
 
As condições de convergência do teorema não são satisfeitas, entretanto o Método de Gauss-Jacobi gera uma sequência convergente para a solução exata 
. Se as condições de suficiência não são satisfeitas, não significa que o método não possa convergir.
Exemplo
Considere o sistema linear:
As condições do teorema não são satisfeitas. Uma solução possível é permutar as equações. Permutar a primeira equação com a segunda equação:
As condições passam a ser satisfeitas e a convergência é garantida para qualquer vetor inicial
. Este tipo de procedimento nem sempre é possível.
EXERCÍCIOS
Resolver o sistema linear utilizando o Método Iterativo de Gauss-Jacobi.
 com 
 e 
.
 com 
 e 
.
 com 
 e 
.
Respostas
 
 
 
Verifique a convergência dos sistemas acima, utilizando o critério das linhas.
No Método de Gauss-Seidel, também é realizada uma separação da diagonal principal, e o processo iterativo é sequencial, componente por componente. 
Mas observe que neste método, ao contrário do Método de Gauss – Jacobi, para calcular 
 na iteração (k + 1), o método utiliza todos os valores 
 calculados anteriores a
 (por exemplo, para calcular 
, utiliza-se os resultados de
).
Supondo 
, isola-se o vetor 
 mediante a separação pela diagonal da matriz de coeficientes.
Observe que para calcular 
, temos que saber o valor de 
. Para calcular 
, temos que saber o valor de 
 , e assim por diante.
Exemplo- Resolver o sistema linear utilizando o Método Iterativo de Gauss-Seidel, com 
 e tolerância 
.
Isolando 
na diagonal, o processo iterativo é dado por:
Para k = 0 e substituindo 
, temos:
 
Observe que, para calcular 
(segunda linha), tenho que ter o valor de 
(primeira linha) e para calcular 
(última linha), tenho que ter os valores de 
 e 
. 
Critério de parada
Para k = 1 e 
Critério de parada
Para k = 2 e 
 
Critério de parada
Logo, a solução aproximada do sistema é
 , com erro menor que 0,05.
Observe que solução aproximada acima está bem próxima da solução exata 
(basta calcular por Eliminação de Gauss).
CONDIÇÕES SUFICIENTES PARA A CONVERGÊNCIA DO MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL
Existem dois critérios de suficiência para a convergência do Método de Gauss-Seidel. O critério de linhas (apresentado no método de Gauss-Jacobi) e o critério de Sassenfeld.
CRITÉRIO DE SASSENFELD
Considere o sistema linear
, com A dimensão 
 e seja:
e para 
:
Define-se
. Se 
, então o Método de Gauss-Seidel gera uma sequência convergente para a solução do sistema, qualquer que seja o vetor inicial 
. Além disso, quanto menor for o valor de
 mais rápida é a convergência.
Exemplo - Verifique a convergência do sistema abaixo pelo critério de Sassenfeld.
 
Critério de Sassenfeld
Todos satisfazem.
Portanto, 
 e então temos a garantia de que o método de Gauss-Seidel vai gerar uma sequência convergente.
Exemplo - Verificar as condições de convergência do Método de Gauss-Seidel no sistema abaixo:
Critério de Sassenfeld
 não satisfaz.
Como a convergência do Método de Gauss-Seidel é fortemente dependente da posição das equações, pode-se trocar a posição das equações.
Tentativa 1- Troca-se a primeira equação pela terceira equação.
Critério de Sassenfeld
 não satisfaz.
Tentativa 2- Troca-se a primeira coluna pela terceira coluna na equação anterior.
Critério de Sassenfeld
 satisfaz.
 satisfaz.
 satisfaz.
Com a última modificação, o sistema passa a ser convergente para qualquer vetor inicial. Modificações desse tipo são puramente acadêmicas e são difíceis de serem realizadas em sistemas reais. Principalmente pelas dimensões dos problemas, resultando num grande esforço computacional, e das incertezas quanto a sua eficiência. 
EXERCÍCIOS
1- Resolva os sistemas pelo método de Gaus- Seidel
 
 
 
Respostas
 (b) 
 (c)
Verifique a convergência dos sistemas acima utilizando o critério de Sassenfeld.
HISTÓRICO
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
�
Possível e Determinado (SPD)	 � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� ( tem solução única
Possível e Indeterminado (SPI) � EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ��� ( tem infinitas soluções
 Impossível (SI) 		 � EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ��� ( não tem solução
Observação
Se � EMBED Equation.DSMT4 ���então podemos ter um sistema� EMBED Equation.DSMT4 ���
MÉTODOS DIRETOS
AULA 01 | MÉTODO DE ELIMINAÇÃO DE GAUSS
AULA 02 | FATORAÇÃO LU
MÉTODOS ITERATIVOS
AULA 03 | MÉTODO DE GAUSS-JACOBI
AULA 04 | MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL
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ENGENHARIA CIVIL – CÁLCULO NUMÉRICO – 2018/1
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