Apostila Topografia

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Notas de aula de ECV310 - Fundamentos de Cartografia, Topografia e Estradas 
Prof. Reynaldo Furtado Faria Filho – UFV/CRP 
 
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APOSTILA DE ECV310 - FUNDAMENTOS DE 
CARTOGRAFIA, TOPOGRAFIA E ESTRADAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Recolhido, Montado e Adaptado por 
Prof. Reynaldo Furtado Faria Filho 
 
 
 
 
 
 
Rio Paranaíba 
2011 
 
Notas de aula de ECV310 - Fundamentos de Cartografia, Topografia e Estradas 
Prof. Reynaldo Furtado Faria Filho – UFV/CRP 
 
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ÍNDICE 
Apresentação ............................................................................................................... iv 
Objetivo Geral ............................................................................................................. iv 
Objetivo Específico...................................................................................................... iv 
AULAS TEÓRICAS..................................................................................................... 1 
CAPÍTULO 1 - Introdução à Topografia....................................................................... 1 
1.1 Breve Histórico ................................................................................................... 1 
1.2. Conceitos ........................................................................................................... 1 
1.3. Objetivos da Topografia ..................................................................................... 2 
1.4. Ramos da Topografia ......................................................................................... 3 
1.5. Aplicações da Topografia ................................................................................... 3 
1.6. Plano Topográfico .............................................................................................. 4 
1.7. Erro de esfericidade............................................................................................ 4 
1.8. Erros em Topografia........................................................................................... 7 
CAPÍTULO 2 - Medições de ângulos e distâncias......................................................... 9 
2.1. Unidades de medidas lineares............................................................................. 9 
2.2. Unidades de medidas angulares ........................................................................ 10 
2.3. Unidades de medidas de superfície ................................................................... 12 
2.4. Tipos de ângulos .............................................................................................. 14 
2.5. Norte magnético e geográfico........................................................................... 16 
2.5.1. Declinação Magnética............................................................................... 17 
2.5.2. Determinação da Declinação Magnética ................................................... 19 
2.6. Azimutes e Rumos ........................................................................................... 20 
2.6.1. Conversão entre rumo e azimute................................................................ 21 
2.6.2. Conversão de azimute magnético em verdadeiro ....................................... 22 
2.7. Medições de distâncias ..................................................................................... 23 
2.7.1. Pontos topográficos e alinhamentos .......................................................... 24 
2.7.2. Medida direta de distâncias ....................................................................... 25 
2.7.3. Erros na medida direta de distâncias......................................................... 28 
2.7.4. Medida indireta de distâncias .................................................................... 31 
2.7.4.1. Distância reduzida.................................................................................. 33 
2.7.4.2. Diferença de nível................................................................................... 36 
2.7.5. Medição eletrônica de distâncias............................................................... 37 
CAPÍTULO 3 - Levantamentos topográficos .............................................................. 38 
3.1. Classificação .................................................................................................... 38 
3.1.1. Em função do grau de precisão.................................................................. 38 
3.1.2. Em função dos dados levantados ............................................................... 38 
 
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3.2. Etapas do levantamento topográfico ................................................................. 38 
3.3. Métodos de levantamentos topográficos ........................................................... 39 
3.3.1. Por irradiação........................................................................................... 39 
3.3.2. Por interseção ........................................................................................... 41 
3.3.3. Por triangulação ....................................................................................... 42 
3.3.4. Por ordenadas ........................................................................................... 42 
3.3.5. Por caminhamento..................................................................................... 42 
CAPÍTULO 4 - Altimetria .......................................................................................... 74 
4.1. Conceitos Gerais .............................................................................................. 74 
4.2. Representação do relevo................................................................................... 75 
4.3. Métodos para a interpolação e traçado das curvas de nível................................ 79 
4.4. Instrumentos utilizados em altimetria/nivelamentos.......................................... 87 
4.5. Processos de nivelamento................................................................................. 88 
4.5.1. Nivelamento geométrico simples................................................................ 89 
4.5.2. Nivelamento geométrico composto............................................................. 90 
4.5.3. Nivelamento trigonométrico ...................................................................... 94 
4.6. RN ................................................................................................................... 95 
4.7. Desenho do perfil ............................................................................................. 96 
4.8. Projeto a partir de um perfil .............................................................................. 97 
4.9. Sistematização de terrenos................................................................................ 99 
AULAS PRÁTICAS................................................................................................. 102 
PRÁTICA 1 – Goniologia......................................................................................... 102 
PRÁTICA 2 – Manejo de teodolitos (medição de ângulos horizontais e mira)........... 105 
PRÁTICA 3 – Manejo de teodolitos (medição de ângulos externos de um triângulo) 107 
PRÁTICA 4 – Manejo de teodolitos (medição de azimutes)...................................... 108 
PRÁTICA 5 – Levantamento Topográfico por irradiação.......................................... 110 
PRÁTICA 6 – Levantamento Topográfico por caminhamento (ângulos horários) ..... 111 
PRÁTICA 7 – Nivelamento Geométrico Simples...................................................... 112 
PRÁTICA 7a – Nivelamento Geométrico Composto ................................................113 
PRÁTICA 8 – Sistematização de terrenos ................................................................. 115 
PRÁTICAS 9 a 14 – Trabalho Prático....................................................................... 116 
PRÁTICA 15 – Demonstração com GPS de navegação e Estação Total.................... 116 
BIBLIOGRAFIA ...................................................................................................... 117 
 
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Apresentação 
Segundo ESPARTEL (1987) "a Topografia tem por finalidade determinar 
o contorno, a dimensão e a posição relativa de uma porção limitada da 
superfície terrestre". Esta determinação se dá a partir do levantamento de 
pontos planimétricos e altimétricos, através de medidas angulares e lineares, 
com o uso de equipamentos apropriados. O conjunto de pontos devidamente 
calculados e corrigidos, dão origem, via de regra, ao desenho topográfico, ao 
qual se denomina Planta Topográfica, que por sua vez, é a própria 
representação da "porção da superfície terrestre". Os métodos de cálculos e a 
forma de tratamento e transformação dos pontos planimétricos e altimétricos, 
formam as técnicas que objetivamente serão apresentadas nesta apostila. 
As técnicas topográficas para cálculos de levantamentos planimétricos e 
altimétricos possuem conceitos e métodos consagrados no mundo científico, e 
fazem uso principalmente dos conceitos básicos da geometria clássica. 
Portanto, nesta apostila serão apresentadas e discutidas as principais 
definições e métodos para os cálculos planimétricos e altimétricos dos 
levantamentos topográficos clássicos. Serão apresentados ainda, alguns 
conceitos básicos referentes ao projeto geométrico de estradas, a cartografia, 
aos sistemas de projeções, as séries cartográficas, a rede geográfica e ao 
posicionamento com receptor GPS. 
Objetivo Geral 
O objetivo desta apostila é dar subsídios conceituais e metodológicos de 
Topografia, para a aplicação nas aulas teóricas e práticas da disciplina de 
Topografia dos Cursos de Engenharia Civil e Agronomia da Universidade 
Federal de Viçosa – Campus de Rio Paranaíba. 
Objetivo Específico 
a) apresentar os conceitos básicos de cartografia, estradas e topografia; 
b) facilitar o acompanhamento do aluno nas discussões realizadas na sala de 
aula; e 
c) servir de material de estudo para as avaliações a serem realizadas. 
 
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AULAS TEÓRICAS 
CAPÍTULO 1 - Introdução à Topografia 
1.1 Breve Histórico 
É impossível dizer quando a topografia foi utilizada pela primeira vez. 
Em sua forma mais simples é tão antiga quanto à história da civilização, pois o 
homem sempre necessitou conhecer o meio em que vive, por questões de 
sobrevivência, orientação, segurança, guerras, navegação, construção, etc. 
Desde que existe o direito de propriedade também existe um modo de 
medição ou distinção de parcelas de terra dentre pessoas. Alguns historiadores 
dizem que o homem já fazia mapas antes mesmo de desenvolver a escrita. 
Algumas referências do emprego da Topografia em tempos antigos: 
a) Provérbio do Velho Testamento: “Não removas os limites antigos, que 
teus pais fixaram”; 
b) Arqueólogos encontraram mapas da Babilônia em tábuas (2500 a.C.); 
c) Registros históricos na Índia e China (2500 a.C.); 
d) o grego Heródoto (“o pai da história”) disse que a Topografia foi usada 
no Egito desde 1400 a.C. quando o país foi dividido em parcelas de terra para 
fins de cobrança de impostos; 
e) As enchentes anuais do Vale do Nilo arrastavam os marcos que 
delimitavam as propriedades, assim, existiam pessoas que remarcavam esses 
marcos com cordas que possuíam nós ou marcadores distribuídos em certos 
intervalos. 
Atualmente, com o avanço tecnológico, observa-se que surgiram 
técnicas e equipamentos de medição que facilitaram a obtenção de dados para 
posterior representação. Dentre estes equipamentos citam-se os sistemas de 
satélites, hardwares e softwares. 
1.2. Conceitos 
Etimologicamente, a Topografia significa descrição de um lugar, pois 
deriva das palavras gregas "topos" (lugar) e "graphen" (descrever). Assim, 
Topografia é a ciência que estuda a representação detalhada de um “trecho” 
 
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limitado da superfície da terra, sem levar em consideração a curvatura 
resultante de sua esfericidade. 
Segundo Domingues (1979), devido à superfície terrestre ser quase 
esférica entende-se por “trecho” uma região limitada por um raio de, 
aproximadamente, 30 km. 
Assim sendo, pode-se sempre representar em um plano horizontal a 
imagem do terreno em estudo, com sua forma, limites, dimensões, relevo, bem 
como todas as particularidades de importância, tanto naturais como artificiais. 
Estas particularidades podem ser: rios, lagos, cercas, vegetações, estradas, 
pontes, canais, construções isoladas, etc., e serão detalhadas (mais ou menos) 
conforme a finalidade do trabalho. 
A porção da superfície terrestre, levantada topograficamente, é 
representada através de uma Projeção Ortogonal Cotada e denomina-se 
Superfície Topográfica. Isto equivale dizer que, não só os limites desta 
superfície, bem como todas as suas particularidades naturais ou artificiais, 
serão projetadas sobre um plano considerado horizontal. 
A esta projeção ou imagem figurada do terreno dá-se o nome de Planta 
ou Plano Topográfico (ESPARTEL, 1987). A Figura 1 representa a relação da 
superfície terrestre e de sua projeção sobre o papel. 
 
SUPERFÍCIE TOPOGRÁFICA - PLANTA TOPOGRÁFICA 
Figura 1. Relação da superfície terrestre e a sua projeção sobre o papel. 
1.3. Objetivos da Topografia 
Dentre os diversos autores que descrevem os objetivos da Topografia 
vale destacar: 
 
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a) “A Topografia tem por objetivo o estudo dos instrumentos e métodos 
utilizados para obter a representação gráfica de uma porção do terreno sobre 
uma superfície plana”. 
b) “A Topografia tem por finalidade determinar o contorno, dimensão e 
posição relativa de uma porção limitada da superfície terrestre, sem levar em 
conta a curvatura resultante da esfericidade terrestre” ESPARTEL (1987). 
Portanto, pode-se dizer que o objetivo principal da topografia é efetuar 
um levantamento (executar medições de ângulos, distâncias e desníveis) que 
permita representar uma porção da superfície terrestre em uma escala 
adequada. Às operações efetuadas em campo, com o objetivo de coletar dados 
para a posterior representação, denomina-se de levantamento topográfico. 
1.4. Ramos da Topografia 
Classicamente, a Topografia é dividida em Topometria e Topologia. A 
Topologia tem por objetivo o estudo das formas exteriores do terreno (relevo - 
MDE) e das leis que regem o seu modelado, enquanto que, a Topometria 
estuda os processos clássicos de medição de distâncias, ângulos e desníveis, 
cujo objetivo é a determinação de posições relativas de pontos. A Topometria 
pode ser dividida em: 
- planimetria: determina-se a posição planimétrica dos pontos 
(coordenadas X e Y), ou seja, em um plano horizontal; e 
- altimetria: objetiva-se a determinação da cota ou altitude de um ponto 
(coordenada Z), ou seja, em um plano vertical. 
A realização simultânea dos dois levantamentos dá origem ao chamado 
levantamento planialtimétrico que trabalha com o espaço tridimensional. 
1.5. Aplicações da Topografia 
A Topografia é a base de qualquerprojeto e de qualquer obra realizada 
por engenheiros ou arquitetos. Por exemplo, os trabalhos de obras viárias, 
núcleos habitacionais, edifícios, aeroportos, hidrografia, usinas hidrelétricas, 
telecomunicações, sistemas de água e esgoto, planejamento, urbanismo, 
paisagismo, irrigação, drenagem, cultura, reflorestamento etc., se desenvolvem 
em função do terreno sobre o qual se assentam (DOMINGUES, 1979). 
 
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Portanto, é fundamental o conhecimento pormenorizado deste terreno, 
tanto na etapa do projeto, quanto da sua construção ou execução. A Topografia 
fornece os métodos e os instrumentos que permitem este conhecimento do 
terreno assegurando uma correta implantação da obra ou serviço. 
1.6. Plano Topográfico 
Como foi visto anteriormente, todo terreno, pela Topografia, é 
considerado projetado ortogonalmente em um plano horizontal imaginário. 
Escolhe-se para esse fim um plano tangente ao esferóide terrestre, estando o 
ponto de tangência no interior da área a ser desenhada. Assim, projeta-se 
sobre esse plano, todas as particularidades notáveis do terreno, limites da 
superfície medida, acidentes naturais e artificiais. A partir da Figura 2, verifica-
se que todas as verticais contidas no plano topográfico (HH’) são 
perpendiculares ao plano e, portanto paralelas entre si. Vale ressaltar que o 
plano onde são feitas as projeções (ortogonais) é chamado de campo ou 
plano topográfico. 
 
Figura 2. Relação entre plano topográfico e a superfície terrestre. 
1.7. Erro de esfericidade 
A área a ser medida na Topografia é relativamente pequena, não 
havendo necessidade de levar em consideração a curvatura terrestre. Assim, 
pode-se considerá-la planas sem cometer erros apreciáveis. Este erro é o 
chamado “erro de esfericidade”, que pode ser expresso e calculado em 
função da diferença entre a tangente (plano topográfico) e o arco. 
Portanto, a hipótese do plano topográfico exige certa restrição no que se 
refere à extensão da área em estudo, pois do contrário o erro decorrente da 
 
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substituição da forma da Terra por este plano, tornar-se-ão incompatíveis com 
a aproximação ou rigor com que se deseja obter a planta. 
A Figura 3 apresenta os elementos a serem considerados na confecção 
de uma planta topográfica, considerando a terra como uma esfera. 
 
Figura 3. Elementos para confecção de uma planta topográfica. 
 
A partir da Figura 3 têm-se os seguintes elementos: 
AB = D = plano topográfico (projeção da “calota terrestre” no plano 
topográfico); 
AC = R = raio médio aproximado da Terra = 6.367.000 m; 
AS = D’ = Arco na superfície da Terra; 
C = centro da Terra considerando uma esfera; e 
α = ângulo central. 
Do ∆ ABC tem-se que 
R
D
tg =α , portanto, αtgRD = . 
O arco na superfície da Terra pode ser calculado por: 
α
pi '
360
2 DR
o
= , portanto, '
180
DR
o
=
αpi
 
Vale ressaltar que o ângulo α deve ser em graus. 
 
Exemplo: determine as distâncias D e D’ para um ângulo central α = 30’. 
Resolução: 
αtgRD = → mtgD o 967,563.555,0000.367.6 == e 
'
180
DR
o
=
αpi
→ mD
o
o
557,562.55
180
5,0000.367.6141592654,3
'
=
×
= 
 
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Assim, o erro de esfericidade para aproximadamente 55 km é de 
mDDErro 410,1557,562.55967,563.55' =−=−= . 
 
A partir do exposto pode-se afirmar que a hipótese do plano topográfico 
é plenamente satisfatória, uma vez que na Topografia é utilizado distâncias 
bem inferiores a 55 km. Assim, na Topografia o erro resultante da esfericidade 
da Terra pode ser desprezado. 
 
Exercício: determine a distância D’ para um D = 30 km. Determine o erro 
de esfericidade. 
 
 
 
 
 
 
 
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1.8. Erros em Topografia 
Por melhores que sejam os equipamentos e por mais cuidado que se 
tome ao proceder um levantamento topográfico, as medidas obtidas jamais 
estarão isentas de erros. Assim, os erros pertinentes às medições topográficas 
podem ser classificados como: 
a) Naturais: são aqueles ocasionados por fatores ambientais, ou seja, 
temperatura, vento, refração e pressão atmosféricas, ação da gravidade, etc. 
Alguns destes erros são classificados como erros sistemáticos. São aqueles 
erros cuja magnitude e sinal algébrico podem ser determinados, seguindo leis 
matemáticas ou físicas. Pelo fato de serem produzidos por causas conhecidas 
podem ser evitados através de técnicas particulares de observação ou mesmo 
eliminados mediante a aplicação de fórmulas específicas. São erros que se 
acumulam ao longo do trabalho. 
Exemplo de erros sistemáticos, que podem ser corrigidos através de 
fórmulas específicas: efeito da temperatura e pressão na medição de distâncias 
com medidor eletrônico de distância; correção do efeito de dilatação de uma 
trena em função da temperatura. 
Um exemplo clássico apresentado na literatura, referente a diferentes 
formas de eliminar e ou minimizar erros sistemáticos é o posicionamento do 
nível a igual distância entre as miras durante o nivelamento geométrico pelo 
método das visadas iguais, o que proporciona a minimização do efeito da 
curvatura terrestre no nivelamento e falta de paralelismo entre a linha de visada 
e eixo do nível tubular. 
 
b) Instrumentais: são aqueles ocasionados por defeitos ou imperfeições 
dos instrumentos ou aparelhos utilizados nas medições. Alguns destes erros 
são classificados como erros acidentais e ocorrem ocasionalmente, podendo 
ser evitados e/ou corrigidos com a aferição e calibragem constante dos 
aparelhos. São aqueles que permanecem após os erros naturais terem sido 
eliminados. São erros que não seguem nenhum tipo de lei e tem a tendência a 
se neutralizar quando o número de observações é grande. 
De acordo com GEMAEL (1991), quando o tamanho de uma amostra é 
elevado, os erros acidentais apresentam uma distribuição de freqüência que 
 
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muito se aproxima da distribuição normal. Exemplo de erros acidentais: 
inclinação da baliza na hora de realizar a medida e erro de pontaria na leitura 
de direções horizontais. 
 
c) Pessoais: são aqueles ocasionados pela falta de cuidado do operador. 
Os mais comuns são: erro na leitura dos ângulos; erro na leitura da régua 
graduada; na contagem do número de trenadas; ponto visado errado; aparelho 
fora de prumo; aparelho fora de nível; etc. São classificados como erros 
grosseiros e não devem ocorrer jamais, pois não são passíveis de correção. A 
repetição de leituras é uma forma de evitar erros grosseiros. Alguns exemplos 
de erros grosseiros: anotar 196 ao invés de 169; engano na contagem de 
lances durante a medição de uma distância com trena. 
 
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CAPÍTULO 2 - Medições de ângulos e distâncias 
2.1. Unidades de medidas lineares 
O metro é uma unidade básica para a representação de medidas de 
comprimento no Sistema Internacional (SI). Este surgiu em 1791 quando a 
Academia de Ciências de Paris o definiu como unidade padrão de 
comprimento. O metro era representando por 1/10.000.000 de um arco de 
meridiano da Terra. Em 1983, a ConferênciaGeral de Pesos e Medidas 
estabeleceu a definição atual do “metro” como a distância percorrida pela luz 
no vácuo durante o intervalo de tempo de 1/299.792.458s (velocidade da 
luz = 299 792 458 m/s). A Tabela 1 apresenta os múltiplos e submúltiplos do 
“metro”. 
 
Tabela 1 - Múltiplos e submúltiplos do “metro” 
Quilômetro Hectômetro Decâmetro Metro Decímetro Centímetro Milímetro 
km hm dam m dm cm mm 
1000 m 100 m 10 m 1 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m 
 
Embora o SI seja o “padrão internacional”, nos EUA e Inglaterra, 
principalmente, ainda é muito comum o uso das seguintes unidades: 
1 polegada = 1 in = 2,54 cm 
1 pé = 1 ft = 12 in = 30,48 cm 
1 jarda = 1 yd = 3 ft = 91,44 cm 
1 milha = 1 mi = 5.280 ft = 1.609,344 m. 
No Brasil empregou-se oficialmente, num passado recente, as seguintes 
unidades lineares: 
1 légua = 3000 braças = 6600 m 
1 légua marítima = 5555,55 m 
1 quadra = 60 braças = 132 m 
1 corda = 15 braças = 33 m 
1 braça = 2 varas = 2,20 m 
1 vara = 5 palmos = 1,10 m 
 
Exercícios: transforme as distâncias nas unidades apresentadas para metros. 
a) 234,6574 km = 
 
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b) 32424,7214 dam = 
c) 454,2744 dm = 
d) 34,4563 mm = 
e) 1044,0145 mm = 
f) 3042,7429 mm = 
g) 34,4563 polegada = 
h) 1044,0145 pé = 
i) 3042,7429 milha = 
 
Atenção: As unidades lineares devem ser trabalhadas sempre com, no 
mínimo, quatro (4) casas decimais. 
2.2. Unidades de medidas angulares 
a) Sistema Internacional: Radiano 
A Figura 4 apresenta um radiano que é o ângulo central referente a um 
arco de circunferência de comprimento igual ao raio da mesma. 
 
Figura 4. Desenho de um adiano. 
 
No SI a unidade fundamental para ângulo plano é o Radiano, (rad), que 
é o ângulo central subtendido por um arco de círculo de comprimento igual ao 
do respectivo raio, sendo, portanto, uma circunferência dividida em 2π partes 
iguais. Vale lembrar que π (PI) é o valor da razão entre o comprimento da 
circunferência e seu diâmetro. 
π = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 3751 
Um ângulo θ qualquer é a razão entre o comprimento do arco de 
circunferência, l, formado pelo ângulo e o raio da circunferência, R. A Figura 5 
apresenta esta relação. 
 
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Figura 5. Ângulo θ e a razão entre l e R. 
 
b) Sistema sexagesimal 
Neste sistema, a circunferência é divida em 360 partes iguais, sendo 
cada parte denominada grau (o). Um grau é dividido em 60 partes iguais 
denominadas, minutos ( ’ ). Um minuto é dividido em 60 partes iguais 
denominadas, segundos ( ” ). 
Sabendo-se que no sistema sexagesimal uma circunferência é dividida 
em 360 partes iguais e que em radianos é dividida em 2π partes iguais, 
constata-se que: 
 
 
c) Sistema Centesimal 
Este sistema não está definido no SI. Nele a circunferência é divida 
em 400 partes iguais, sendo cada parte denominada GRADO ( g ). Um grado é 
dividido em 100 partes iguais denominadas, MINUTOS ( ’ ) ou centígrados. Um 
minuto é dividido em 100 partes iguais denominadas, SEGUNDOS ( ” ) ou 
decimiligrados. Portanto, 380,2345 grados = 380 grados, 23 centígrados e 45 
decimiligrados ou 380g23’45”. 
Diante do exposto, tem-se para as medidas angulares a seguinte 
relação: 
360°°°° = 400g = 2pipipipi 
 
 
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Atenção: As unidades angulares devem ser trabalhadas sempre com, no 
mínimo, seis (6) casas decimais. 
 
Exercícios: 
1) Transforme os seguintes ângulos em graus, minutos e segundos para 
graus e frações decimais de grau. 
a) 32º28’59” 
b) 17º34’18,3” 
c) 125º59’57” 
 
2) Faça as operações solicitadas a seguir, sem auxilio da calculadora. 
a) 30º20’00” + 20º52’00” 
b) 28º41’00” + 39º39’00” 
c) 42º30’00” – 20º40’00” 
2.3. Unidades de medidas de superfície 
No SI a unidade fundamental é o metro quadrado representado por m2. 
Os múltiplos e submúltiplos mais empregados são representados por: km2, 
hm2, dam2, dm2, cm2 e mm2. Para quantificar áreas rurais emprega-se ainda o 
hectare, ha, sendo, 
1 hectare (ha) = 1 hm² = 10 000 m² que tem como submúltiplos 
1 Are (a) = 10-2 ha = 100 m2 e 
1 Centiare (ca) = 10-4 ha = 1 m2. 
Portanto, 84,3562 ha, por exemplo, pode ser lido como 84 hectares, 
35 ares e 62 centiares. 
A Tabela 2 apresenta algumas unidades de medida de superfície. Nesta, 
é importante destacar o Alqueire Paulista e o Alqueire Mineiro que são as 
unidades mais utilizadas no estado de Minas Gerais e São Paulo. Vale salientar, que 
estas unidades sofrem alterações de acordo com a região, sendo o mais recomendado 
se informar no Cartório de Registro de Imóveis de cada cidade qual valor do alqueire 
que é empregado na mesma. 
 
 
 
 
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13 
 Tabela 2 - Unidades de medida de superfície 
Unidade superficial antiga Dimensões 
m x m 
Em hectares 
ha 
litro - 0,0605 
prato - 0,0968 
Palmo de Sesmaria 0,22 x 6 600 0,1452 
Meia quarta 110 x 27,5 0,3025 
Quarta de Terra 110 x 55 0,6050 
Hectare de Terra 100 x 100 1 
Meio Alqueire 110 x 110 1,2100 
Braça de Sesmaria 2,2 x 6,6 1,4520 
Quadra Quadrada 132 x 132 1,7424 
Alqueire Paulista ou menor 110 x 220 2,4200 
Alqueire Mineiro ou geométrico 220 x 220 4,8400 
Lote Colonial 2200 x 110 24,2000 
Quadra de Sesmaria 132 x 6 600 87,1200 
Milhão de Metro 1 000 x 1 000 100,0000 
Data de Campo 3 300 x 825 272,2500 
Data de Mato 3 300 x 1 650 544,5000 
Sesmaria de Mato 3 300 x 3 300 1 089,0000 
 
Exercícios: 
1) Transforme os valores das áreas a seguir para as unidades 
solicitadas. 
234,6574 km2 = m2; 
32424,7214 dam2 = m2; 
454,2744 dm2 = m2; 
34,4563 mm2 = m2; 
1044,0145 mm2 = cm2; e 
3042,7429 mm2 = km2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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14 
2.4. Tipos de ângulos 
Uma das operações básicas em Topografia é a medição de ângulos 
horizontais e verticais. Na realidade, no caso dos ângulos horizontais, direções 
são medidas em campo, e a partir destas direções são calculados os ângulos. 
Para a realização destas medições emprega-se um equipamento denominado 
de teodolito. A Figura 6 apresenta esquematicamente o processo de medição 
de ângulos horizontais. 
 
 Figura 6. Processo de medição de ângulos horizontais. 
 
a) ângulo horizontal (H): é ângulo formado por dois planos verticais que 
contém as direções formadas pelo ponto ocupado e os pontos visados. É 
medido sempre na horizontal, razão pela qual o teodolito deve estar 
devidamente nivelado. Conforme pode ser visto na Figura 7 o ângulo (H) entre 
as direções AO-OB e CO-OD é o mesmo, face que os pontos A e C estão no 
mesmo plano vertical π e B e D no plano π’. 
 
 Figura 7. Representação dos ângulos horizontais. 
 
 
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15 
b) ângulo vertical (α): é o ângulo formado entre a linha do horizonte 
(plano horizontal) e a linha de visada, medido no plano vertical que contém os 
pontos. Variade 0º a +90º (acima do horizonte) e 0º a -90º (abaixo do 
horizonte). Na parte esquerda da Figura 8, observa-se os ângulos verticais 
medidos entre a aresta superior (Parede 1) e inferior (Parede 2) das paredes 
de uma edificação e o plano do horizonte. Já na direita, observa-se os ângulos 
verticais esquematizadas em eixos cartesianos. 
 
 Figura 8. Representação dos ângulos verticais. 
 
c) ângulo zenital (Z): ângulo formado entre a vertical do lugar (zênite) e a 
linha de visada. Varia de 0º a 180º, sendo a origem da contagem o zênite 
(Figura 9). 
 
Figura 9. Representação do ângulo zenital. 
 
Destaca-se que o ângulo nadiral é ângulo formado entre a vertical do 
lugar (nadir) e a linha de visada. A Figura 10 apresenta os quatro tipos de 
ângulos estudados. 
 
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16 
 
Figura 10. Principais ângulos utilizados em levantamento topográficos. 
2.5. Norte magnético e geográfico 
O planeta Terra pode ser considerado um gigantesco imã, devido à 
circulação da corrente elétrica em seu núcleo formado de ferro e níquel em 
estado líquido. Estas correntes criam um campo magnético, como pode ser 
observado na Figura 11. Este campo magnético ao redor da Terra tem a forma 
aproximada do campo Magnético ao redor de um imã de barra simples. Tal 
campo exerce uma força de atração sobre a agulha da bússola, fazendo com 
que mesma entre em movimento e se estabilize quando sua ponta imantada 
estiver apontando para o Norte magnético. 
 
 Figura 11. Campo magnético ao redor da Terra. 
 
A Terra, na sua rotação diária, gira em torno de um eixo. Os pontos de 
encontro deste eixo com a superfície terrestre são os chamados Pólo Norte e 
Pólo Sul verdadeiros ou geográficos. Conforme pode-se observar na Figura 11 
 
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17 
o eixo magnético não coincide com o eixo geográfico. A diferença entre a 
indicação do Pólo Norte magnético (dada pela bússola) e a posição do Pólo 
Norte geográfico é denominada de declinação magnética. 
2.5.1. Declinação Magnética 
A declinação magnética é o ângulo compreendido entre os meridianos 
magnéticos e geográficos. Quando o norte verdadeiro encontra-se à esquerda 
do norte magnético a declinação será oriental e positiva e quando o norte 
geográfico estiver à direita do norte magnético a declinação é ocidental e 
negativa, conforme pode ser observado na Figura 12. 
 
 Figura 12. Declinação magnética e suas variações. 
 
A declinação é determinada por meio de magnetômetros que possuem 
precisão compatível com trabalhos topográficos. Em um mesmo local, a 
declinação sofre variações que são classificadas como geográficas, seculares 
ou locais, as quais serão discutidas a seguir. 
Variações Geográficas: a declinação magnética varia com a posição 
geográfica em que é observada. Assim, para cada local existirá uma declinação 
diferente para cada época do ano. Quando se une os pontos da superfície que 
têm o mesmo valor de declinação num determinado instante são geradas as 
linhas isogônicas que formam o mapa isogônico apresentado na Figura 13. A 
Figura 14 apresenta o mapa isopórico, o qual representa os pontos da 
superfície com a mesma variação anual de declinação magnética. 
 
 
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18 
 
Figura 13. Mapa isogônico. 
 
 
Figura 14. Mapa isopórico. 
 
 
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19 
Vale ressaltar que os mapas ou cartas supracitadas são publicadas 
periodicamente pelos observatórios astronômicos. 
 
Variações Seculares: são as variações observadas no decorrer dos 
séculos, na qual o pólo norte magnético se movimenta ao redor do pólo norte 
geográfico. 
 
Variações Locais: são perturbações ocasionadas por presença ou 
proximidade de algum material metálico, linhas de transmissão de energia, 
dentre outras. Portanto, deve-se respeitar as seguintes distâncias mínimas 
para operações com bússolas: 
- linhas telefônicas: 40 m; 
- linhas de alta tensão: 140 m; e 
- cerca de arame farpado: 10 m. 
2.5.2. Determinação da Declinação Magnética 
Atualmente, existem diversos métodos para a determinação da 
declinação magnética, as quais pode-se citar: método direto (obtido no próprio 
local a partir das alturas correspondentes do sol), método indireto (obtido por 
meio de mapas isogônicos e isopóricos) e consulta ao site do observatório 
nacional (http://staff.on.br/~jlkm/magdec/index.html). 
 
Exercícios: 
1) determine a partir do site informado a declinação magnética para a 
cidade de Viçosa, em 3/10/2006. Explique o sinal negativo. 
Resposta: -22,09º = -22º05’24” 
 
 
2) determine para a data 3/10/2010 a declinação magnética do prédio 
“antigo” do Campus da UFV-RP sabendo que suas coordenadas geográficas 
são: Latitude: 19º12’35”; Longitude: 46º07’57”. 
 
 
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20 
2.6. Azimutes e Rumos 
Azimute é o ângulo formado por um alinhamento com a linha Norte - Sul. 
É medido a partir do Norte, no sentido horário e varia de 0º a 360º. A Figura 15 
apresentada esquematicamente como é realizada a leitura do azimute, bem 
como, o eixo cartesiano com os valores de azimutes e seus respectivos 
quadrantes. 
 
Figura 15. Leitura de azimutes. 
 
O Azimute pode ser magnético ou verdadeiro. O magnético é lido em 
relação ao Meridiano Magnético, isto é, em relação à linha Norte - Sul apontada 
pela agulha magnética da bússola e o azimute verdadeiro é lido em relação ao 
Meridiano Verdadeiro (pólo geográfico). 
Por definição rumo é o menor ângulo formado pela meridiana que 
materializa o alinhamento Norte - Sul e a direção considerada. Varia de 0º a 
90º, sendo contado do Norte ou do Sul para leste e oeste. Este sistema 
expressa o ângulo em função do quadrante em que se encontra. Além do valor 
numérico do ângulo acrescenta-se uma sigla (NE, SE, SW, NW) cuja primeira 
letra indica a origem a partir do qual se realiza a contagem e a segunda indica 
a direção do giro ou quadrante, conforme é apresentado na Figura 16. 
 
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21 
 
 Figura 16. Leitura de rumos. 
 
Independente da orientação do sistema (Geográfico ou Magnético) a 
forma de contagem do Azimute e do Rumo, bem como a conversão entre os 
mesmos ocorre da mesma forma. 
2.6.1. Conversão entre rumo e azimute 
Sempre que possível é recomendável a transformação dos rumos em 
azimutes, tendo em vista a praticidade nos cálculos de coordenadas, por 
exemplo, e também para a orientação de estruturas em campo. Para entender 
melhor o processo de transformação, observe a seqüência indicada 
na Figura 17. 
 
 Figura 17. Relação entre rumos e azimutes. 
 
 
 
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22 
Resumindo a relação entre azimute e rumo é dado por: 
a) Conversão de Azimute para Rumo 
No Primeiro quadrante: R1 = Az1 
No Segundo quadrante: R2 = 180º - Az2 
No Terceiro quadrante: R3 = Az3 - 180º 
No Quarto quadrante: R4 = 360º - Az4 
 
b) Conversão de Rumo para Azimute 
NoPrimeiro quadrante (NE): Az1 = R1 
No Segundo quadrante (SE): Az2 = 180º - R2 
No Terceiro quadrante (SW): Az3 = 180º + R3 
No Quarto quadrante (NW): Az4 = 360º - R4 
 
Exercícios: 
1) Transforme os rumos em azimutes e os azimutes em rumos: 
a) 30º25’15” SE 
b) 33º43’10” 
c) 38º15’11” NW 
d)233º40’12” 
 
2) Transforme os azimutes em rumos: 
a) 45º15’10” 
b) 156º30’10” 
c) 230º25’11” 
d) 310º20’12” 
2.6.2. Conversão de azimute magnético em verdadeiro 
Conforme relatado nos tópicos 2.5.1 e 2.5.2 para se obter o azimute 
verdadeiro é preciso a leitura do azimute magnético em campo e a declinação 
magnética que atualmente é obtida a partir do site do observatório nacional 
(http://staff.on.br/~jlkm/magdec/index.html). 
Exemplo: o azimute magnético lido para um alinhamento AB no Campus 
da UFV/RP foi de 156º30’10” e a declinação magnética do mesmo consultado 
no site do observatório nacional foi de -22º10’15”. Determine o Azimute 
 
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23 
Verdadeiro para o alinhamento AB. Faça um esquema demonstrando o 
raciocínio utilizado. 
 
 
 
 
 
2.7. Medições de distâncias 
Na Topografia emprega-se, basicamente, a medição de três distâncias: 
distância horizontal (DH), distância vertical ou diferença de nível (DV ou DN) e 
distância inclinada (DI), as quais são detalhadas a seguir. 
A Distância Horizontal ou reduzida (DH ou Dr) é a distância medida entre 
dois pontos, no plano horizontal. Este plano pode, conforme indicado na 
Figura 18, passar tanto pelo ponto A, quanto pelo ponto B em questão. 
Por outro lado, a Distância Vertical ou Diferença de Nível (DV ou DN) é a 
distância medida entre dois pontos, num plano vertical que é perpendicular ao 
plano horizontal. Este plano vertical pode passar por qualquer um dos pontos 
AA’ ou BB’, conforme indicado na Figura 18. 
Por fim, a Distância Inclinada (Di) é a distância medida entre dois 
pontos, em planos que seguem a inclinação da superfície do terreno, conforme 
indicado na Figura 18. 
 
 Figura 18. Distâncias empregadas na Topografia. 
 
É importante destacar que as grandezas representadas pela planimetria 
são: distância e ângulo horizontais (planta); enquanto as grandezas 
 
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24 
representadas pela altimetria são: distância e ângulo verticais, representados 
em planta por meio de curvas de nível ou de um perfil. 
2.7.1. Pontos topográficos e alinhamentos 
Pontos topográficos são pontos materializados no terreno para que se 
possam medir ângulos e distâncias. Enquanto que, alinhamento é a projeção 
horizontal do plano vertical que passa por dois pontos topográficos, ou seja, é a 
distância horizontal entre dois pontos topográficos. 
A materialização dos pontos topográficos e alinhamentos é realizada por 
meio de: 
a) Piquetes: sua principal função é a materialização de um ponto 
topográfico no terreno. A marcação de mais de um ponto topográfico forma um 
alinhamento a ser medido. A Figura 19 apresenta um exemplo de piquete. Os 
piquetes apresentam as seguintes características: 
- fabricados de madeira roliça ou de seção quadrada com a superfície no 
topo plana; 
- assinalados (marcados) na sua parte superior com tachinhas de cobre, 
pregos ou outras formas de marcações que sejam permanentes; 
- comprimento variável de 15 a 30 cm (depende do tipo de terreno em 
que será realizada a medição); 
- diâmetro variando de 3 a 5 cm; 
- é cravado no solo, porém, parte dele (cerca de 3 a 5 cm) deve 
permanecer visível. 
 
Figura 19. Piquete 
 
b) Estacas testemunhas: são utilizadas para facilitar a localização dos 
piquetes, indicando a sua posição aproximada. A Figura 20 apresenta um 
exemplo de estaca testemunha. Estas normalmente obedecem às seguintes 
características: 
- cravadas próximas ao piquete, cerca de 30 a 50 cm; 
 
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25 
- comprimento variável de 15 a 40 cm; 
- diâmetro variável de 3 a 5 cm; 
- chanfradas na parte superior para permitir uma inscrição, indicando o 
nome ou número do piquete. Normalmente a parte chanfrada é cravada voltada 
para o piquete. 
 
Figura 20. Estaca testemunha e um piquete. 
2.7.2. Medida direta de distâncias 
Alguns autores afirmam que o processo de medida de distâncias é 
direto, quando esta distância é determinada em comparação a uma grandeza 
padrão previamente estabelecida; outros autores, porém, afirmam que a 
medição é direta quando o instrumento de medida utilizado é aplicado 
diretamente sobre o terreno. 
Segundo ESPARTEL (1987) os principais dispositivos utilizados na 
medida direta de distâncias, também conhecidos por DIASTÍMETROS, são as 
trenas. A Figura 21 apresenta alguns modelos comerciais de trenas mais 
utilizados atualmente. 
 
Figura 21. Modelos comerciais de trenas. 
 
 
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26 
Apesar da qualidade e da grande variedade de diastímetros disponíveis 
no mercado, toda medida direta de distância só poderá ser realizada com 
qualidade se for feito uso de alguns acessórios especiais. A saber: 
a) Balizas: são utilizadas para manter o alinhamento, na medição entre 
pontos, quando há necessidade de se executar vários lances. A Figura 22 
apresenta a imagem de uma baliza. 
 
 Figura 22. Baliza. 
 
b) Nível de cantoneira: equipamento em forma de cantoneira e dotado 
de bolha circular que permite ao auxiliar segurar a baliza na posição vertical 
sobre o piquete ou sobre o alinhamento a medir. A Figura 23 apresenta um 
nível de cantoneira. 
 
 Figura 23. Nível de cantoneira. 
 
Segundo DOMINGUES (1979) a precisão com que as distâncias são 
obtidas depende, principalmente, do dispositivo de medição utilizado, dos 
acessórios e dos cuidados tomados durante a operação. Além disso, 
RODRIGUES (2008), descreve que os cuidados na realização de medidas de 
distâncias com diastímetros são a manutenção: do alinhamento a ser medido, 
da horizontalidade do diastímetro e da tensão uniforme nas extremidades. 
Os principais métodos de medida direta de distância com trena são: 
a) Lance único 
Na medição da distância horizontal entre os pontos A e B, procura-se, 
medir a projeção de AB no plano horizontal, resultando na medição de A’B’. A 
Figura 24 mostra como é feito a medição entre 2 pontos no terreno. 
 
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27 
 
Figura 24. Medição entre 2 pontos no terreno 
 
Na Figura 25 é possível identificar à forma correta de se medir a 
distância horizontal, distância inclinada e desnível utilizando uma trena. 
 
Figura 25. Medição da distância horizontal, distância inclinada e desnível 
 
b) Vários lances - pontos visíveis 
Quando não é possível medir a distância entre dois pontos utilizando 
somente uma medição com a trena (quando a distância entre os dois pontos é 
maior que o comprimento da trena), costuma-se dividir a distância a ser medida 
em partes, que são denominadas lances. A distância final entre os dois pontos 
será a somatória das distâncias de cada lance. A execução da medição 
utilizando lances é descrita a seguir. 
Analisando a Figura 26, observa-se que o balizeiro de ré (posicionado 
em A) orienta o balizeiro intermediário, cuja posição coincide com o final da 
trena, para queeste se mantenha no alinhamento AB. Depois de executado o 
lance, o balizeiro intermediário marca o final da trena com um piquete. O 
balizeiro de ré, então, ocupa a posição do balizeiro intermediário, e este, por 
 
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28 
sua vez, ocupará nova posição ao final do diastímetro. Repete-se o processo 
de deslocamento das balizas (ré e intermediária) e de marcação dos lances até 
que se chegue ao ponto B. É fundamental que, durante a medição, os 
balizeiros se mantenham sobre o alinhamento AB. 
 
 
 Figura 26. Medição de distância com vários lances. 
 
Vale ressaltar que existem outros métodos de medida direta de distância 
com trena que não serão discutidos nesta apostila. 
 
2.7.3. Erros na medida direta de distâncias 
Os erros cometidos, voluntária ou involuntariamente, durante a medida 
direta de distâncias, devem-se: 
- ao comprimento do diastímetro: afetado pela tensão aplicada em suas 
extremidades e também pela temperatura ambiente. A correção depende dos 
coeficientes de elasticidade e de dilatação do material com que o mesmo é 
fabricado. Portanto, deve-se utilizar dinamômetro e termômetro durante as 
medições para que estas correções possam ser efetuadas ou, proceder à 
aferição do diastímetro de tempos em tempos. 
 
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29 
A distância horizontal correta (DHc) entre dois pontos será dada 
dividindo-se o comprimento aferido do diastímetro (la) pelo seu comprimento 
nominal (l) e multiplicando-se pela distância horizontal medida (DHm): 
m
a
c DH.
 
=DH
l
l
 (1) 
 
- ao desvio vertical ou falta de horizontalidade: ocorre quando o terreno é 
muito inclinado. Assim, mede-se uma série de linhas inclinadas em vez de 
medir as projeções destas linhas sobre o plano horizontal, como mostra a 
Figura 27 (BORGES, 1977). 
 
 
 Figura 27. Falta de horizontalidade da trena. 
 
O erro devido ao desvio vertical (Cdv), para um único lance, pode ser 
encontrado por meio da relação entre o desnível do terreno (DN) e o 
comprimento do diastímetro (l): 
l2.
DN 
=C
2
dv
 (2) 
 
Este erro é cumulativo e sempre positivo. Assim, a distância horizontal 
correta (DHc) entre dois pontos será encontrada subtraindo-se da distância 
horizontal medida (DHm), o desvio vertical (Cdv) multiplicado pelo número de 
lances (Nl) dado com o diastímetro: 
)C.N(DH=DH dvmc l−−−−
 (3) 
 
î- à catenária: curvatura ou barriga que se forma ao tensionar o 
diastímetro e que é função do seu peso e do seu comprimento. Para evitá-la, é 
 
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30 
necessário utilizar diastímetros leves, não muito longos e aplicar tensão 
apropriada (segundo normas do fabricante) às suas extremidades. 
A Figura 28 indica a flecha (f) do arco formado pelo comprimento (l) do 
diastímetro com tensão (T) aplicada nas extremidades (DOMINGUES, 1979). 
 
 Figura 28. Flecha de uma trena. 
 
O erro devido à catenária, para um único lance, pode ser encontrado 
através da relação: 
l3.
8.f 
=C
2
c
 (4) 
 
Este erro é cumulativo, provoca uma redução do diastímetro e, 
consequentemente, resulta numa medida de distância maior que a real. Assim, 
a distância horizontal correta (DHc) entre dois pontos será encontrada 
subtraindo-se da distância horizontal medida (DHm), o erro da catenária (Cc) 
multiplicado pelo número de lances (Nl) dado com o diastímetro: 
)C.N(DH=DH cmc l−−−−
 (5) 
 
- à verticalidade da baliza: como indicado na Figura 28, é ocasionado por 
uma inclinação da baliza quando esta se encontra posicionada sobre o 
alinhamento a medir. Provoca o encurtamento ou alongamento deste 
alinhamento caso esteja incorretamente posicionada para trás ou para frente, 
respectivamente (BORGES, 1977). Este tipo de erro só poderá ser evitado se 
for feito uso do nível de cantoneira. 
 
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31 
 
Figura 28. Falta de verticalidade da baliza. 
2.7.4. Medida indireta de distâncias 
Segundo DOMINGUES (1979) diz-se que o processo de medida de 
distâncias é indireto quando estas distâncias são calculadas em função da 
medida de outras grandezas, não havendo, portanto, necessidade de percorrê-
las para compará-las com a grandeza padrão. Ou seja, é necessário realizar 
alguns cálculos sobre as medidas efetuadas em campo, para se obter 
indiretamente o valor da distância. 
Os equipamentos utilizados na medida indireta de distâncias são, 
principalmente o teodolito. O teodolito é utilizado na leitura da régua graduada, 
de ângulos horizontais e verticais. A Figura 29 ilustra três gerações de 
teodolitos: o trânsito (mecânico e de leitura externa); o ótico (prismático e com 
leitura interna); e o eletrônico (leitura digital). 
 
 Figura 29. Três gerações de teodolitos. 
 
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32 
O processo de medida indireta de distâncias é denominado 
ESTADIMETRIA ou TAQUEOMETRIA, pois é através do retículo ou estádia do 
teodolito que são obtidas as leituras da régua graduada e dos ângulos verticais 
e horizontais, para o posterior cálculo das distâncias horizontais e verticais. 
Como indicado na Figura 30 (BORGES, 1977), a estádia do teodolito é 
composta de 3 fios estadimétricos horizontais (FS, FM e FI) e 1 fio 
estadimétrico vertical. 
 
 Figura 30. Fios do reticulo de um teodolito padrão. 
 
As réguas graduadas ou miras estadimétricas são réguas graduadas 
centimetricamente, ou seja, cada espaço branco ou preto corresponde a um 
centímetro. Na estádia são efetuadas as leituras dos fios estadimétricos 
(superior e inferior). Existem no mercado diversos modelos de miras, as mais 
comuns são fabricadas em madeira, alumínio ou fiberglass. Estas podem ser 
dobráveis ou retráteis. 
Durante a leitura em uma mira convencional devem ser lidos quatro 
algarismos, que corresponderão aos valores do metro, decímetro, centímetro e 
milímetro, sendo que este último é obtido por uma estimativa e os demais por 
leitura direta dos valores indicados na mira. 
A seguir é apresentado um exemplo de leitura para um modelo de mira 
bastante empregado nos trabalhos de Topografia. A mira apresentada na 
Figura 31 está graduada em centímetros (traços claros e escuros). A leitura do 
valor do metro é obtida por meio dos algarismos em romano (I, II, III) e/ou da 
observação do símbolo acima dos números que indicam o decímetro. 
 
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33 
 
Figura 31. Parte de uma mira com alguns valores de leitura. 
 
De posse dos valores da leitura de mira e dos ângulos (verticais e 
horizontais) é possível determinar os valores de distância reduzida, distância 
inclinada e diferença de nível. A Figura 32 apresenta a situação da luneta 
paralela ao terreno. 
 
 Figura 32. Teodolito coma luneta paralela ao terreno. 
 
Da Figura 32 tem-se que: 
A e B – pontos topográficos; 
FS – fio superior; 
FM – fio médio; e 
FI – fio inferior. 
2.7.4.1. Distância reduzida 
A Figura 33 demonstra o princípio de funcionamento para a 
determinação da distância de forma indireta. 
 
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34 
 
Figura 33. Princípio de funcionamento para a determinação da distância de 
forma indireta. 
 
Da Figura 33 tem-se que: 
AC = Dr – distância entre a mira e o equipamento; 
BD = m – distância entre o FS e FI ou leitura estadimétrica; 
AF = f – distância focal; e 
EG = h – distância entre os fios do retículo no interior da luneta. 
 
Dos ∆ ABC, AEF, ACD e AFG pode-se fazer as seguintes relações: 
EG
BD
AF
AC
 portanto ,
FG
CD
AF
AC
 e 
EF
BC
AF
AC
=== substituindo 
pela nomenclatura definida acima tem-se que: 
:que se-tem Dr, isolando ,
h
m
f
Dr
= 
h
mfDr ⋅= (6) 
mas, a distância focal (f) e a distância entre os fios do retículo na 
luneta (h) são constantes do instrumento. Assim, a relação f/h é uma constante 
denominada número gerador do instrumento (g). Geralmente, o valor da 
constante g é 100, mas pode variar de acordo com o fabricante do instrumento. 
Portanto, a Dr para a luneta com ângulo zenital de 90º é: 
g⋅= mDr (7) 
 
Na maioria dos casos não é possível manter o ângulo zenital de 90º 
devido à inclinação dos terrenos. A seguir será deduzida a equação da Dr para 
qualquer posição da luneta. 
 
 
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35 
A Equação 7 considera que o FM faz um ângulo reto com a mira, o que 
não ocorre na maioria dos casos. A Figura 34 mostra esquematicamente como 
é realizada a leitura no teodolito para terrenos inclinados (leitura de fios e 
ângulos). 
 
Figura 34. Leitura de fios e ângulos para terrenos inclinados. 
 
Como foi observado na Figura 34 os fios do retículo deveriam interceptar 
a mira em F, C e G, no entanto, a leitura é realizada em B, C e D já que a mira 
está na posição vertical. Com isso, a partir da Figura 34 definiu-se as seguintes 
nomenclaturas: 
FG = k; 
BD = m – distância entre o FS e FI ou leitura estadimétrica; 
AC = Di – distância inclinada; e 
AE = Dr – distância reduzida. 
 
Do ∆ ACE pode-se fazer as seguintes relações: 
αα coscos ⋅==∴= ACDr AE 
AC
AE
. Fazendo analogia a equação 7, 
tem-se que gkAC ⋅= , portanto a distância reduzida passa a ser definida por: 
αcos⋅⋅= gkrD (8) 
 
Como a leitura de mira é BD (m) torna-se necessário obter uma relação 
entre m e k. 
 
 
 
 
 
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36 
Dos ∆ FBC e CDG tem-se que: 
 
m
k
 
BD
FG
CDBC
CGFC
 
CD
CG
 e 
BC
FC
=∴=
+
+
=∴== αααα coscoscoscos , 
portanto, 
 mk αcos⋅= (9) 
 
substituindo a equação (9) na equação (8) tem-se 
ααα 2coscoscos ⋅⋅=⋅⋅⋅= ggr mmD (10) 
 
Vale ressaltar que a equação 10 é utilizada quando se faz a leitura do 
ângulo vertical. Atualmente, os teodolitos fornecem a leitura do ângulo zenital, 
com isso, à Equação 10 passa a ser: 
Zsengr 2⋅⋅= mD (11) 
 
2.7.4.2. Diferença de nível 
Serão apresentadas somente as equações para determinação da 
diferença de nível sem demonstração da dedução das mesmas. Para a leitura 
do ângulo vertical a Dn é dada por 
liseng −+⋅⋅=
2
)2( αmDn (12) 
 
Para a leitura do ângulo zenital a Dn é dada por 
liZseng −+⋅⋅=
2
)2(mDn (13) 
 
em que 
m – distância entre o FS e FI ou leitura estadimétrica; 
g – constante do aparelho; 
α – ângulo vertical; 
Z – ângulo zenital; 
i – altura do instrumento; e 
l – leitura do fio médio. 
 
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37 
2.7.5. Medição eletrônica de distâncias 
A medição de distâncias na Topografia e na Geodésia, sempre foi um 
problema, devido ao tempo necessário para realizá-la e também devido à 
dificuldade de se obter boa precisão. 
Baseados no princípio de funcionamento do RADAR surgiram em 1948 
os Geodímetros e em 1957 os Telurômetros, os primeiros equipamentos que 
permitiram a medida indireta das distâncias, utilizando o tempo e a velocidade 
de propagação da onda eletromagnética. 
Em 1968 surgiu o primeiro distanciômetro óptico-eletrônico. O princípio 
de funcionamento é simples e baseia-se na determinação do tempo t que leva 
a onda eletromagnética para percorrer a distância, de ida e volta, entre o 
equipamento de medição e o refletor, conforme é apresentado na Figura 35. 
 
 Figura 35. Princípio da medição eletrônica de distâncias. 
 
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38 
CAPÍTULO 3 - Levantamentos topográficos 
É o conjunto de operações realizadas no campo e escritório, utilizando 
processos e instrumentos adequados para a obtenção de todos os elementos 
necessários à representação geométrica de uma parte da superfície terrestre. 
3.1. Classificação 
3.1.1. Em função do grau de precisão 
a) Expedito: rápido, pouco preciso; só utilizando trena e bússola; 
somente medição de distâncias ou de distâncias e todos os azimutes ou rumos; 
b) Regular: maior precisão; no mínimo com trena e teodolito; medição de 
distâncias e ângulos; 
c) Precisão: levantamentos topográficos para fins especiais com mais 
exigências quanto aos equipamentos e procedimentos utilizados. 
3.1.2. Em função dos dados levantados 
a) Planimétricos: forma e dimensões planas; 
b) Altimétricos: relevo; 
c) Planialtimétricos: forma, dimensões planas e relevo em um mesmo 
levantamento. 
3.2. Etapas do levantamento topográfico 
a) Planejamento: deve-se definir, principalmente, a finalidade, os 
equipamentos e os métodos. Relacionar a finalidade com os instrumentos e os 
métodos a serem usados. 
b) Reconhecimento da área e elaboração de croqui: percorrer a região a 
ser levantada e definir os pontos que caracterizam a mesma. Esses pontos são 
os que definem o contorno do terreno e a posição dos acidentes naturais e 
artificiais no seu interior. Se possível deve-se fazer um esboço da área a ser 
levantada, mostrando os temas que deverão ser mapeados e definindo a 
posição dos pontos de apoio. 
c) Materialização e levantamento dos pontos de apoio (poligonal): é 
realizada empregando método adequado (poligonação, triangulação, 
trilateração, triangulateração ou levantamento por satélites de posicionamento) 
para levantar os dados e informações dos pontos de apoio. 
 
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39 
d) Levantamento dos pontos temáticos (pontos de interesse ou 
detalhes): consiste em definir os acidentes naturais e artificiaisexistentes na 
área a ser levantada, tais como: estradas, cursos d’água, pontos que definem o 
relevo, benfeitorias, etc. 
e) Processamento dos pontos de apoio e temáticos: processar os dados 
levantados para os pontos de apoio e temáticos corrigindo os erros, 
determinando as coordenadas, suas covariâncias e avaliando a qualidade das 
observações realizadas. 
f) Desenho da planta: consiste em transformar a descrição numérica do 
terreno em descrição gráfica. É uma forma de visualizar a área mapeada e 
possibilitar a concepção de projetos. 
g) Redação do memorial descritivo: o memorial descritivo é um texto que 
descreve os limites do lote urbano ou rural levantado. É o documento legal que 
possibilita a confecção da “escritura do terreno”. 
h) Redação do relatório técnico: o relatório técnico descreve a finalidade 
do levantamento bem como os métodos e instrumentos empregados. 
3.3. Métodos de levantamentos topográficos 
3.3.1. Por irradiação 
Consiste em escolher um ponto no interior ou fora do terreno a ser 
levantado e a partir deste determinar os elementos para definir a posição dos 
pontos topográficos necessários a representação de sua superfície. 
Geralmente, as operações de campo são realizadas a partir de uma única 
instalação do instrumento. 
A posição escolhida para instalar o instrumento deve permitir a visada de 
todos os pontos que caracterizam o perímetro e os acidentes naturais e 
artificiais do terreno. A Figura 36 apresenta 3 possibilidades de levantamento 
topográfico por irradiação. 
 
 Figura 36. Levantamento topográfico por irradiação. 
 
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40 
As direções das linhas de visada podem ser obtidas com a bússola ou a 
partir da medição de ângulos horizontais, tomando como referência a primeira 
linha de visada. As distâncias podem ser obtidas por processo direto ou 
indireto, sendo que o segundo é o mais indicado por ser mais rápido. A 
Figura 37 exemplifica o procedimento que é utilizado em um levantamento 
topográfico por irradiação. 
 
 Figura 37. Procedimento para um levantamento topográfico por irradiação. 
 
O levantamento topográfico por irradiação é considerado um método de 
levantamento simples, de precisão relativamente boa, dependendo dos 
cuidados do operador, pois não há controle dos erros que possam ter ocorrido. 
Aplica-se este processo para áreas pequenas, já que baseia-se na 
medição de alinhamentos (ângulos e distâncias) formados pelo ponto de 
estacionamento do aparelho e os vértices do perímetro. Geralmente é utilizado 
como método auxiliar do levantamento por caminhamento. 
A seguir é apresentada a Tabela 3 como exemplo de uma caderneta de 
campo típica de um levantamento por irradiação. 
 
Tabela 3 - Caderneta de campo de um levantamento por irradiação 
Estações Pontos visados Azimute Distância (m) Observações 
0 
1 
2 
3 
A 
4 
 
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41 
3.3.2. Por interseção 
Neste método os pontos topográficos são definidos pelas interseções 
dos lados de ângulos horizontais medidos das extremidades de uma base 
estabelecida no terreno, conforme é apresentado na Figura 38. 
 
Figura 38. Levantamento topográfico por interseção. 
 
A única distância a ser medida neste método é aquela correspondente 
ao comprimento da base, geralmente obtida com a trena. Por este método, 
medem-se os valores angulares dos alinhamentos que ligam todos os pontos a 
serem levantados com dois pontos de estações (A-B), situados nas 
extremidades de um alinhamento com direção e comprimento pré-determinado, 
chamado BASE. 
A base, sempre que possível, deverá ser escolhida a ficar, 
aproximadamente, no meio da região a ser levantada. O processo de 
interseção é empregado como auxiliar do caminhamento para levantamento de 
pontos de difícil acesso ou muito distantes. 
 
Exemplo: Sabendo-se que o comprimento AB (base) de um levantamento por 
interseção é de 50,00 m, o ângulo a é 40º00’00” e o ângulo b é 85º00’00”. 
Determine a distância AC de um ponto inacessível. A Figura 39 demonstra os 
procedimentos realizados em campo. 
 
Figura 39. Os procedimentos realizados em campo. 
 
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42 
3.3.3. Por triangulação 
É semelhante ao método por interseção, mas neste caso todos os 
pontos estão acessíveis, o que permite a medição de todos os ângulos internos 
do triângulo e o controle do erro. 
3.3.4. Por ordenadas 
Neste método a posição do ponto topográfico é definida pela medição de 
suas respectivas coordenadas retangulares (Figura 40). As distâncias 
(anotados no croqui) geralmente são obtidas com trenas. Este tipo de 
levantamento é empregado como um método auxiliar do levantamento por 
caminhamento para definir detalhes sinuosos de linhas divisórias (ex: cursos 
d’água). 
 
 Figura 40. Levantamento topográfico por ordenadas. 
 
Na Figura 40 observa-se que ao longo do alinhamento 0-3 são medidas 
uma abscissa e uma ordenada para posicionar cada ponto do contorno. 
3.3.5. Por caminhamento 
Consiste numa medição sucessiva de ângulos e distâncias descrevendo 
uma poligonal fechada ou aberta. Portanto, uma poligonal consiste em uma 
série de linhas consecutivas em que são conhecidos os comprimentos e 
direções, obtidos através de medições em campo. A Figura 41 apresenta um 
exemplo de poligonal. 
 
 Figura 41. Poligonal. 
 
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43 
A poligonação é um dos métodos mais empregados para a 
determinação de coordenadas de pontos em Topografia, principalmente para a 
definição de pontos de apoio planimétricos. 
O levantamento de uma poligonal é realizado por meio do método de 
caminhamento, percorrendo-se o contorno de um itinerário definido por uma 
série de pontos, medindo-se todos os ângulos, lados e uma orientação inicial. 
Os vértices e os lados da poligonal são utilizados para levantamentos dos 
acidentes topográficos que existem em suas imediações pelo emprego dos 
processos auxiliares. 
A partir destes dados e de uma coordenada de partida, é possível 
calcular as coordenadas de todos os pontos que formam esta poligonal. As 
poligonais levantadas em campo podem ser fechadas, enquadradas ou 
abertas. 
Poligonal fechada: parte de um ponto com coordenadas 
conhecidas (OPP) e retorna ao mesmo ponto. Sua principal vantagem é 
permitir a verificação do erro de fechamento angular e linear. A Figura 42 
exemplifica uma poligonal fechada. 
 
Figura 42. Poligonal fechada. 
 
Poligonal enquadrada: parte de dois pontos com coordenadas 
conhecidas e finaliza em outros dois pontos com coordenadas 
conhecidas (A1, A2, A3 e A4). Permite a verificação do erro de fechamento 
angular e linear. A Figura 43 exemplifica uma poligonal enquadrada. 
 
 Figura 43. Poligonal enquadrada. 
 
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44 
Poligonal aberta: parte de um ponto com coordenadas 
conhecidas (OPP) e acaba em um ponto cujas coordenadas deseja-se 
determinar. Não é possível determinar erros de fechamento, portanto devem-se 
tomar todos os cuidados necessários durante o levantamento de campo para 
evitá-los. A Figura 44 exemplifica uma poligonal aberta. 
 
 Figura 44. Poligonal aberta.A Norma Técnica NBR 13133 classifica ainda as poligonais quanto ao 
fim a que se destinam. A Tabela 4 mostra parte desta classificação. Nela, P 
designa ‘poligonal Planimétrica’ e PRC ‘Poligonal para Referência Cadastral’ 
 
Tabela 4. Classificação das poligonais quanto à finalidade (NBR 13 133) 
Finalidade Classes 
Adensamento de rede geodésica IP 
Apoio topográfico para projetos básicos e obras de engenharias IIP 
Adensamento do apoio topográfico para projetos básicos IIIP 
Adensamento de poligonais da classe IIIP e levantamentos estudo de 
viabilidade em projetos de engenharia IVP 
Levantamentos topográficos para estudos expeditos VP 
Apoio topográfico da rede de referência cadastral apoiada em poligonal de 
classe IP IPRC 
Poligonal auxiliar destinada à determinação de pontos de referência de 
quadra ou gleba IIPRC 
 
Vale ressaltar, que nesta apostila, será considerado somente as 
poligonais fechadas. O método de levantamento por caminhamento é 
caracterizado pela natureza dos ângulos que se mede, sendo classificado em: 
a) Caminhamento por ângulos de deflexões; 
b) Caminhamento à bússola; e 
c) Caminhamento por ângulos horários. 
 
a) Caminhamento por ângulos de deflexões 
A deflexão é formada pelo prolongamento do alinhamento anterior à 
estação do instrumento e o alinhamento seguinte, que varia de 0 a 180º à 
 
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45 
direita ou a esquerda do prolongamento do alinhamento, conforme é 
apresentado na Figura 45. 
 
 Figura 45. Caminhamento por ângulos de deflexões. 
 
Atualmente, com o advento dos equipamentos eletrônicos e a locação 
por coordenadas não é muito utilizado este método de leitura de ângulos. 
Portanto, não será discutido com mais detalhes nesta apostila. 
 
b) Caminhamento à bússola 
Neste método de leitura de ângulos os alinhamentos da poligonal são 
definidos por meio de rumos ou azimutes o que torna o levantamento 
topográfico de baixa precisão. Portanto, não será discutido com mais detalhes 
nesta apostila. 
 
c) Caminhamento por ângulos horários 
Ângulos horários são ângulos horizontais medidos sempre no sentido 
horário. Dependendo do sentido do caminhamento os ângulos medidos podem 
ser internos ou externos. 
Quando o caminhamento é feito no sentido horário os ângulos 
horizontais medidos são externos e para o caminhamento no sentido anti-
horário os ângulos medidos são internos, conforme observa-se na Figura 46. 
Para facilitar os cálculos, na disciplina ECV310, será utilizado o caminhamento 
no sentido horário resultando na leitura do ângulo externo da poligonal. 
 
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46 
 
Figura 46. Sentido de caminhamento dos ângulos horizontais. 
 
Antes de exemplificar a leitura de ângulos horários devem-se saber dois 
conceitos importantes: estação ré e estação vante. No sentido de 
caminhamento da poligonal, a estação anterior à estação ocupada denomina-
se de estação RÉ e a estação seguinte de VANTE (Figura 47). 
 
 Figura 47. Estação RÉ e VANTE. 
 
A Figura 48 apresenta o procedimento de leitura de ângulos horizontais. 
Vale destacar que, na prática, é usual fazer com que a leitura de ré 
seja 00º00’00” reduzindo com isso os cálculos. 
 
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47 
 
 Figura 48. Procedimento de leitura de ângulos horizontais. 
 
A seguir serão apresentados todos os procedimentos realizados em um 
levantamento topográfico por caminhamento com a leitura de ângulos externos 
(caminhamento no sentido horário). A seqüência de procedimentos a ser 
seguida será descrita detalhadamente nos próximos itens. Para facilitar, os 
resultados são dispostos em diversas tabelas, as quais serão apresentadas ao 
longo de cada item. 
 
1. Realização do levantamento topográfico em campo 
Este procedimento será detalhado nas aulas práticas. A Tabela 5 é o 
resultado de parte de um levantamento de campo realizado com teodolito. 
 
Tabela 5 - Caderneta de campo de parte de um levantamento topográfico 
Ângulo Fios Ré Estação Vante Descrição Altura do Instrumento Horizontal Zenital Sup. Méd. Inf. OBS 
C A Piquete 1,535 00°00'00" 93°35'38" 1,698 1,200 0,702 
 B Piquete 1,535 293°11'41" 91°19'28" 2,062 1,500 0,938 
A B Piquete 1,530 00°00'00" 88°40'39" 2,262 1,700 1,138 
 C Piquete 1,530 308°45'09" 91°59'12" 1,887 1,300 0,713 
 B1 Cerca 1,530 357°58'56" 91°15'52" 1,185 1,000 0,815 
 
2. Verificação da tolerância do erro angular 
Antes de distribuir o erro angular é necessário verificar se o erro 
cometido é tolerável e classificar a poligonal segundo a norma para 
levantamentos topográficos. A Tabela 6 mostra, de forma resumida, como a 
NBR 13133 classifica as poligonais em função do erro angular cometido. 
 
 
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48 
Tabela 6. Classificação das poligonais em função do erro angular (NBR 13133) 
Classes IP IIP IIIP IVP VP IPRC IIPRC 
Erro angular n.6" n.15" n.20" n.40" n'.3 n.8" n.60" 
 
3. Correção dos ângulos horizontais da poligonal 
A soma dos ângulos externos de um polígono é dada pela equação: 
∑ +=ae n )2.(180 (14) 
em que: 
n = número de lados da poligonal. 
 
Para o exemplo exposto na Tabela 7 tem-se que o somatório dos 
ângulos horizontais externos da poligonal deveria ser o
ae
1440)26.(180∑ =+= , 
mas o valor encontrado com os dados do levantamento de campo foi 
1440º06’00” implicando em um erro angular de 00º06’00”. Portanto, com este 
erro angular o levantamento realizado se enquadra na classificação VP 
conforme pode-se verificar na Tabela 6. Assim, este erro será distribuído entre 
os vértices da poligonal (00º01’00” para cada ângulo horizontal da poligonal). 
Os ângulos corrigidos estão inseridos na Tabela 7. 
 
Tabela 7 - Caderneta de Escritório 1 (compensação do erro angular) 
Ângulo Horizontal Ré Estação Vante Lido Corrigido 
5 0 1 267º40’00” 267º39’00” 
0 1 2 116º00’00” 115º59’00” 
1 2 3 295º00’00” 294º59’00” 
2 3 4 263º26’00” 263º25’00” 
2 3 A 310º45’00” - 
3 4 5 227º30’00” 227º29’00” 
4 5 0 270º30’00” 270º29’00” 
 TOTAL 1440°00'00" 
 
Vale ressaltar que os ângulos horizontais das irradiações não devem ser 
corrigidos. A partir do exemplo exposto pode-se concluir que o erro angular terá 
que ser menor que a tolerância angular (Tabela 6) que pode ser entendida 
como o erro angular máximo aceitável nas medições de acordo com a 
finalidade do levantamento. Se o erro cometido for menor que o erro aceitável, 
 
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49 
deve-se distribuí-lo entre os ângulos da poligonal. Caso o erro cometido seja 
maior que o erro tolerável é necessário refazer o levantamento topográfico em 
campo. 
Portanto, conclui-se que o erro angular é a diferença entre a soma dos 
ângulos externos calculada pela Equação 14 e a soma dos ângulos externos 
observadas em campo. 
 
Exercícios: 
a) Para uma poligonal de 3 vértices e um erro de 19’ qual seria o valor a 
ser distribuído em cada vértice? E se o erro fosse de 01’? 
b) Para uma poligonal de 3 vértices cujo somatório dos ângulos 
horizontais é de 900º00’32” qual seria o erro angular e quanto deveria ser 
distribuído em cada vértice?