Amostragem e Modulação de Pulsos Princípios de Telecomunicações Instituto Tecnológico de Aeronáutica

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ELE-31 Princ´ıpios de Telecomunicac¸o˜es
Prof. Manish Sharma
November 5, 2015
6 Amostragem e Modulac¸a˜o de Pulsos
• Uma senoide e´ definida pela sua frequeˆncia, amplitude e fase. Nos cap´ıtulos anteriores vimos como
podemos modificar estas varia´veis para carregar informac¸a˜o.
• Um pulso retangular e´ definido pela sua durac¸a˜o, amplitude e instante de in´ıcio. Um pulso com formato
qualquer pre´-determinado seria tambe´m definido pela sua escala no tempo, sua amplitude e sua localizac¸a˜o
relativa no tempo. Estas grandezas podem ser modificadas para carregar informac¸a˜o.
• Podemos estabelecer as seguintes analogias:
– AM → PAM: Pulse Amplitude Modulation
– FM → PWM: Pulse Width Modulation
– PM → PPM: Pulse Position Modulation
• A grande diferenc¸a entre as modulac¸o˜es acima e seu equivalente por pulso e´ que um u´nico pulos pode
carregar somente um u´nico valor por grandeza, ou seja, ele carrega uma amostra do sinal.
• A taxa de amostras e´ a frequeˆncia de amostragem, denominada fs. Veremos que se fs for muito maior do
que a banda W da mensagem, a mensagem pode ser recuperada com fidelidade a partir de suas amostras
no tempo.
• A amostragem no tempo na˜o implica necessariamente em uma quantizac¸a˜o em amplitude.
• Os pulsos na˜o precisam ser retangulares
6.1 Amostragem
• Definimos x(t) como um sinal cont´ınuo no tempo com banda W .
• Definimos um sinal amostrado como sendo:
xδ(t) =
∞∑
k=−∞
x(kTs) · δ(t− kTs) = x(t)
∞∑
k=−∞
δ(t− kTs) (1)
onde Ts =
1
fs
e´ o intervalo entre instantes de amostragem. Este sinal pode ser visto como um trem de
amostras. Embora ele seja cont´ınuo no tempo, ele so´ possui os valores de x(t) nos instantes kTs, para k
inteiro, ou seja, amostras de x(t).
• Estamos interessados no espectro de xδ(t), ou seja, Xδ(f). Para obter este espectro, utilizaremos a func¸a˜o
s(t) abaixo:
s(t) =
∞∑
k=−∞
Π
(
t− kTs
τ
)
sδ(t) = lim
τ→0
1
τ
s(t) =
∞∑
k=−∞
δ(t− kTs)
(2)
1
• Podemos escrever a se´rie de Fourier de s(t) como:
s(t) = c0 +
∞∑
n=1
2cncos(2pinfst)
cn = fsτsinc(nfsτ)
(3)
• Logo, no limite:
sδ(t) = lim
τ→0
1
τ
s(t)
= lim
τ→0
∞∑
n=0
2
fsτsinc(nfsτ)
τ
cos(2pinfst)
= lim
τ→0
∞∑
n=0
2fssinc(nfsτ)cos(2pinfst)
=
∞∑
n=0
2fs lim
τ→0
[sinc(nfsτ)]cos(2pinfst)
=
∞∑
n=0
2fscos(2pinfst)
(4)
cujo espectro e´:
Sδ(f) = fs
∞∑
n=∞
δ(f − n · fs) (5)
• Como xδ(t) = x(t) · sδ(t), temos que Xδ(f) = X(f) ∗ Sδ(f), resultando em:
Xδ(t) = fs
∞∑
n=∞
X(f − n · fs) (6)
• Logo, a amostragem causa a replicac¸a˜o do espectro de X(f) nas frequeˆncias nfs, como mostra a figura 1.
Pela figura e´ fa´cil perceber que as re´plicas va˜o se sobrepor, mesmo que parcialmente, se 2W > fs. Logo,
para que seja poss´ıvel recuperar o espectro de X(f) a partir de Xδ(f), e´ necessa´rio que fs > 2W .
• Se, nas modulac¸o˜es por pulsos, cada pulso carrega uma amostra, devemos ter uma taxa de pulsos que
seja igual a fs. Uma possibilidade e´ que os pulsos estejam de alguma forma igualmente espac¸ados, o que
divide o tempo em janelas de durac¸a˜o Ts. A outra possibilidade e´ que a taxa me´dia de pulsos seja igual
a fs.
• Na pra´tica na˜o e´ poss´ıvel fazer τ → 0, mas e´ poss´ıvel faze-lo bem pequeno. Neste caso os coeficientes cn
decaira˜o lentamente.
6.2 Modulac¸a˜o da amplitude dos pulsos-PAM
• Na modulac¸a˜o AM, a amplitude da senoide e´ modificada para carregar a mensagem. A frequeˆncia e a fase
da senoide sa˜o mantidas constantes.
• Na modulac¸a˜o da amplitude dos pulsos, a amplitude dos pulsos e´ modificada para carregar a mensagem.
A sua durac¸a˜o e instante de in´ıcio (dentro de uma janela de refereˆncia) sa˜o constantes.
• A amplitude de cada pulso varia linearmente com a amostra a ser transmitida na janela de tempo. O
sinal transmitido e´:
xPAMp (t) =
∑
k
x(kTs) · p(t− kTs) (7)
2
-10 -5 0 5 10
0
0.5
1
X(f
)
-10 -5 0 5 10
0
0.5
1
X (
f)
-10 -5 0 5 10
0
0.5
1
f
X pPA
M (f
)
Figure 1: Efeitos de amostragem do sinal e o efeito de abertura (linha vermelha).
• Na equac¸a˜o anterior, x(kTs) e´ a amostra a ser transmitida e p(t − kTs) e´ um pulso qualquer, deslocado
para a posic¸a˜o kTs. Este pulso pode ser escrito como p(t − kTs) = p(t) ∗ δ(t − kTs), o que nos permite
escrever:
xPAMp (t) =
∑
k
x(kTs) · [p(t) ∗ δ(t− kTs)]
= p(t) ∗
∑
k
x(kTs) · δ(t− kTs)
= p(t) ∗ xδ(t)
(8)
• Logo
XPAMp (f) = Xδ(f) · P (f) (9)
• O espectro P (f) age como uma envolto´ria em frequeˆncia.
• Um exemplo gra´fico da obtenc¸a˜o de XPAMp (f) esta´ na figura 1, u´ltimo painel.
• Este tipo de amostragem e transmissa˜o e´ equivalente a passar o sinal idealmente amostrado por um sistema
com resposta ao impulso no tempo igual a p(t).
• A atenuac¸a˜o de altas frequeˆncias e´ chamado de efeito de abertura: quanto mais largo o pulso de transmissa˜o
no tempo, maior sera´ o efeito de abertura, isto e´, maior sera´ a atenuac¸a˜o das altas frequeˆncias.
• Para realizar a demodulac¸a˜o devemos recuperar x(t). Isto pode ser feito isolando o conteu´do de XPAMp (f)
na regia˜o |f | < W e desfazendo o efeito de P (f), o que pode ser feito utilizando um equalizador com a
seguinte resposta em frequeˆncia:
Heq(f) =
{
K · exp(−j2piftd) · P−1(f), |f | < W
0 c.c.
(10)
3
• O sinal PAM gerado pode assumir valores positivos e negativos. Podemos gerar um sina PAM unipolar
(somente positivo) atrave´s da expressa˜o x′(t) = Ao[1+µx(t)], que e´ semelhante a` envolto´ria da modulac¸a˜o
AM. O valor de µ e´ o ı´ndice de modulac¸a˜o. O sinal sera´ de fato unipolar somente se [1 + µx(t)] > 0∀k.
• O espectro deste sinal unipolar e´ semelhante ao caso anterior, substituindo X(f) por X ′(f) = A0[δ(f) +
µX(f)]. Esta substituic¸a˜o gera impulsos em f = kfs, para qualquer k inteiro.
• Para o caso unipolar e´ suficiente utilizar o filtro Heq(f) seguido de um bloqueador de n´ıvel DC.
• A vantagem de utilizar PAM unipolar e´ que e´ mais fa´cil gerar sinais com uma faixa de tensa˜o entre 0
(terra) e Vcc (tensa˜o de alimentac¸a˜o) e fornecer somente uma fonte de energia ao sistema.
• Em ambos os casos consideramos ser poss´ıvel amostrar idealmente o sinal. Na pra´tica, utilizar´ıamos o
sinal s(t) com um valor de τ pequeno, o que torna a teoria uma aproximac¸a˜o. E´ necessa´rio que τTs << 1
para que a aproximac¸a˜o seja va´lida. O uso de τ 6= 0 faz com que os coeficientes de cn sejam diferentes
para cada n. O espectro de Xδ(f) teria uma envolto´ria com o formato da func¸a˜o sinc. Assumimos que
este pro´prio pulso de ”‘amostragem imperfeita”’ e´ o pulso p(t), com largura τ
• Assim, a relac¸a˜o entre τ , Ts e W e´:
τ << Ts <
1
2W
(11)
onde a primeira comparac¸a˜o garante que a envolto´ria de Xδ(f) varia lentamente a segunda comparac¸a˜o
garante que as re´plicas de X(f) na˜o va˜o se sobrepor.
• Podemos definir a banda de transmissa˜o como:
BPAMT >>
1
2τ
>> W (12)
• A conclusa˜o a ser tirada desta equac¸a˜o e que a banda de transmissa˜o de um sinal PAM e´ muito grande e
inclui desde o n´ıvel DC ate´ frequeˆncias muito altas (devido ao baixo valor de τ0). Devido a esta necessidade
de grandes bandas, esta modulac¸a˜o e´ normalmente utilizada em sistemas de comunicac¸a˜o com fios..
6.3 Modulac¸a˜o Temporal dos Pulsos
• Inclui dois casos:
– PWM: Pulse Width Modulation,
– PPM: Pulse Position Modulation.
• Em ambas as modulac¸o˜es, a amplitude do sinal e´ constante. Isto pode ser uma caracter´ıstica vantajosa em
circuitos que tem algo consumo de energia ao mudar de um n´ıvel de sinal para outro, mas baixo consumo
de energia ao manter um sinal. Isto acontece por exemplo em transistores MOS.
• Ambas alteram alguma varia´vel temporal dos pulsos. Um poss´ıvel circuito gerador destes sinais e´ apre-
sentado na figura 2. O seu funcionamento e´ o seguinte:
– Um sinalx(t) e´ comparado com um sinal dente de serra (onda triangular mostrada). Caso a diferenc¸a
seja positiva, a sa´ıda do comparador e´ positiva, independentemente da amplitude da diferenc¸a. Caso
a diferenc¸a seja negativa a sa´ıda vale 0.
– Um sinal PPM pode ser gerado a partir do sinal PWM pela utilizac¸a˜o de um circuito monoesta´vel1.
Este circuito e´ ativado na borda de descida. Assim, o sinal PPM emite um pequeno pulso quando o
sinal PWM muda do estado ”‘alto”’ para o estado ”‘baixo”’
1Um circuito monoesta´vel e´ esta´vel somente em um dos seus estados. Ele decai sozinho dos outros estados para o estado esta´vel
4
Circuito 
monoestável 
x(t) + 
- 
PWM 
PPM 
Ativado na borda de subida 
Figure 2: Circuito modulador para modulac¸o˜es PWM e PPM. O circuito comparador pode ser um amplificador
operacional na˜o realimentado, por exemplo.
6.3.1 Modulac¸a˜o PWM
• Na figura, a modulac¸a˜o PWM utilizada e´ a de borda terminal (trailing-edge modulation).
• Revertendo a onda triangular ter´ıamos a modulac¸a˜o de borda inicial.
• Na modulac¸a˜o PWM, os pulsos se iniciam sempre nos instantes kTs e terminam nos instantes kTs + τk.
Da forma como o circuito foi implementando na figura 2, o pulso termina porque o valor de x(kTs + τk)
e´ menor do que a onda triangular. Isto e´, o instantes de amostragem na˜o sa˜o uniformemente espac¸adas.
Este problema pode ser evitado utilizando um dispositivo que amostra e mante´m o valor, como se fosse
um flip-flop analo´gico. Na pra´tica, como a banda de x(t) e´ muito menor do que fs, o valor de x(t) varia
pouco dentro de uma janela, ou seja, x(kTs) ≈ x(kTs + τk).
• Assumindo espac¸amento uniforme entre as amostras, a largura do k-e´simo pulso e´:
τk = τ0[1 + µx(kTs)] (13)
onde τ0 e´ a largura me´dia dos pulsos
2 e µ e´ o ı´ndice de modulac¸a˜o.
• E´ necessa´rio impor a seguinte restric¸a˜o:
0 ≤ [1 + µx(kTs)] ≤ Ts
τ
(14)
pois a largura dos pulsos na˜o pode ser negativa e na˜o pode ser maior do que o tamanho de uma janela.
• Na˜o e´ fa´cil determinar o espectro do sinal PWM. Uma forma de entender o seu espectro e´ considerar que
os pulsos (com largura varia´vel) esta˜o centrados nos instantes kTs (ao inve´s de iniciar nestes instantes) e
2Na˜o confundir τ0 com o valor de τ quando k = 0
5
0 1 2 3 4 5 6 7 8
-1
-0.5
0
0.5
1
x(t
)
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
PW
M
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
PP
M
Figure 3: Exemplo de gerac¸a˜o de sinais PWM e PPM. Em vermelho a mensagem transmitida.
tem largura de pulso τk. Desta forma podemos escrever a se´rie de Fourier deste sinal como sendo:
xPWMp (t) = Afsτ0[1 + µx(t)] +
∞∑
n=1
2A
pin
sin[nφ(t)] · cos(2pinfst) (15)
onde φ(t) = pifsτ0[1 + µx(t)]. Desta equac¸a˜o percebemos que o sinal modulado e´ composto da mensagem
mais termos que esta˜o centrados em nfs. Estes termos sa˜o semelhantes a uma modulac¸a˜o PM pois tem
o formato de sin(φ(t)). caso x(t) seja uma senoide, por exemplo, ter´ıamos o espectro de uma modulac¸a˜o
FM tonal em cada nfs.
• Assim, seria poss´ıvel recuperar a mensagem com um filtro passa baixas, desde que os termos na˜o se
sobreponham significantemente. A sobreposic¸a˜o seria desprez´ıvel para τ0 << Ts.
6.3.2 Modulac¸a˜o PPM
• A modulac¸a˜o PPM e´ utilizada quando e´ fa´cil gerar dois n´ıveis do sinal mas e´ caro sustentar um dos n´ıveis.
Encontramos um exemplo desta situac¸a˜o em comunicac¸o˜es o´ticas, onde e´ poss´ıvel gerar pulsos de luz
(estado alto) e escuro (estado baixo), mas e´ energeticamente caro sustentar o estado alto.
• Nesta modulac¸a˜o, a amplitude e a largura do pulso sa˜o constantes. A largura de pulso geralmente e´ a
menor poss´ıvel.
• Uma condic¸a˜o para que esta modulac¸a˜o funcione e´ que o tempo de subida tr do pulso seja o mais curto
poss´ıvel. O tempo de subida e´ o tempo que o sinal leva para ir do n´ıvel baixo para o n´ıvel alto. De forma
superficial, a banda do sinal PPM e´ :
BPPMT ≥
1
2tr
(16)
• Assim como a remoc¸a˜o da portadora no caso AM, marcar somente o instante onde o pulso PWM terminaria
economiza a energia de transmissa˜o. Por outro lado, assim como a remoc¸a˜o da portadora, a auseˆncia do
6
instante de in´ıcio do pulso PWM elimina uma refereˆncia de tempo, ou seja, o sincronismo das janelas de
tempo.
• Uma forma de obter o sincronismo e´ deslocar lentamente a refereˆncia de in´ıcio das janelas ate´ que haja
somente um pulso por janela. Um erro de sincronismo causaria a adic¸a˜o de um erro constante na detecc¸a˜o,
que poderia ser eliminado com um bloqueador de n´ıvel DC.
• Outra forma de obter o sincronismo e´ medir o valor me´dio do sinal apo´s demodulac¸a˜o. Este valor pode
ser usado para corrigir a refereˆncia de in´ıcio das janelas caso a mensagem tenha valor me´dio igual a zero.
6.3.3 Demodulac¸a˜o
• A demodulac¸a˜o dos sinais PWM pode ser feita isolando o termo espectral em torno de f = 0 ou atrave´s
da conversa˜o do sinal PWM para o sinal PAM.
• A conversa˜o pode ser feita com um integrador cujo valor de sa´ıda e´ resetado a cada in´ıcio de pulso. Um
amostrador manteria o sinal na sa´ıda deste integrador pela durac¸a˜o de uma ja queue quer equivale a usar
um pulso p(t) = Π
(
t
Ts
)
.
• Apo´s a obtenc¸a˜o do sincronismo, um sinal PPM pode ser convertido para um sinal PWM utilizando um
gerador de pulsos retangulares que cai ao estado baixo na presenc¸a do pulso PPM.
6.4 Exerc´ıcios
Questo˜es 1 7 8 9
Problemas 6.1.6 6.1.7 6.1.10 6.2.4 6.2.6 6.3.1 6.3.3
7