Determinantes de Matrizes Quadradas

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1. DETERMINANTES 
O cálculo de determinantes é importante, pois permite identificar a existência da matriz inversa. O estudo da 
matriz inversa é utilizado na Álgebra Linear, em mudança de base de um espaço vetorial e resolução de 
equações matriciais. 
Definição: determinante é um número real ou complexo, associado a uma matriz quadrada, calculado de 
acordo com regras específicas. Somente as matrizes quadradas possuem determinante. 
Notação: det A ou | | ou det[ ] 
2.1 Determinante de matriz quadrada de segunda ordem 
Dada a matriz *
 
 
+. O determinante dessa matriz é 
 |
 
 
| 
Exemplos: 
1- Determine o determinante de *
 
 
+. 
2- Resolva a equação |
 
 
| 
2.2 Determinante de matriz quadrada de terceira ordem (Regra de Sarrus) 
Dada uma matriz de ordem 3, podemos calcular o seu determinante utilizando uma regra prática muito 
simples denominada regra de Sarrus. 
 |
 
 
 
| 
Exemplos: 
1- Calcule o determinante da matriz [
 
 
 
] 
2- Resolva a equação |
 
 
 
| 
2.3 Propriedades dos determinantes. 
1) Somente as matrizes quadradas possuem determinantes. 
2) Se todos os elementos de uma linha ou de uma coluna de uma matriz A são nulos, o determinante de A é 
igual a zero. 
3) A matriz de transposição tem o mesmo determinante da matriz dada ou da matriz original, ou seja, o 
determinante de uma matriz não se altera quando se trocam as linhas pelas colunas. 
4) Se multiplicamos todos os elementos de uma linha (ou coluna) da matriz por uma constante, o 
determinante fica multiplicado por esta constante. 
5) Uma vez trocada a posição de duas linhas (ou colunas), o determinante troca de sinal. 
6) O determinante de uma matriz é igual a zero sempre que encontramos duas linhas ou duas colunas iguais 
ou múltiplas. 
7) det (A.B) = det A . det B 
8) De modo geral: det (A+B) detA + detB 
9) O determinante não se altera se somarmos aos elementos de uma linha (coluna) os elementos 
correspondentes de outra linha multiplicados por uma constante (escalar) diferente de zero. 
10) Se todos os elementos situados de um mesmo lado da diagonal principal de uma matriz quadrada de 
ordem n, forem nulos (matriz triangular), o determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal 
principal. 
11) Se A é matriz quadrada de ordem n e k R, então ( ) . 
Os determinantes aparecem em diversas situações na matemática. No cálculo do produto vetorial, no cálculo 
de áreas, volumes, equações de retas, planos, parábolas, etc. Vejamos algumas situações. 
2.4 Determinante de uma matriz quadrada de ordem maior ou igual a 3. 
O determinante de uma matriz quadrada A, de ordem maior ou igual a 3, pode ser calculado utilizando o 
Teorema de Laplace, o qual leva em consideração o seguinte item: 
Cofator: seja A uma matriz quadrada de ordem . O cofator de um elemento qualquer de A, será 
denotado por ( ) e definido por: 
 ( )
 , onde é o determinante da matriz que se obtém de A, eliminando sua i-ésima linha e 
j-ésima coluna. 
Por exemplo, seja A uma matriz de ordem 4: [
 
 
 
 
 
 
 
 
] 
Neste caso, o cofator do elemento é: 
 ( )
 |
 
 
 
| 
Exemplo: Dada a matriz [
 
 
 
], calcular: . 
 
Teorema de Laplace 
De acordo com o teorema de Laplace, para calcular o determinante de uma matriz quadrada de ordem n, 
escolhe-se arbitrariamente uma linha ou uma coluna e soma-se os produtos dos elementos dessa linha ou 
coluna pelos respectivos cofatores. Assim, se n=4 temos: 
 [
 
 
 
 
 
 
 
 
] 
 ou 
 .... 
OBS.: utilizar a linha ou a coluna com maior número de zeros, pois diminuirá a quantidade de cálculos a 
fazer. 
EXEMPLOS: 
1) Seja a matriz [
 
 
 
 
 
 
 
 
]. Calcule o determinante. 
2) Resolva a equação: |
 
 
| |
 
 
 
| 
2.5 Matriz Adjunta – Matriz Inversa 
Dada uma matriz A, com os cofatores de A podemos formar uma nova matriz, chamada matriz dos cofatores 
de A. E denotada por ̅. 
EXEMPLO: Seja [
 
 
 
]. Calcule a matriz dos cofatores de A. 
Definição: Dada uma matriz quadrada A, chamaremos de matriz adjunta de A à transposta da matriz dos 
cofatores de A, isto é, ( ̅) . 
EXEMPLO: Seja [
 
 
 
]. Calcule ̅ ( ) 
 
Teorema: ̅ ( ) ( ) 
Definição: Dada uma matriz quadrada A de ordem n. Se existir uma matriz B tal que A.B=B.A= , 
dizemos que a matriz B é a matriz inversa de A e indicaremos por . 
 
EXEMPLO: Calcular a matriz inversa de *
 
 
+ 
OBSERVAÇÃO: 
1) Se o det(A)=0, então não existe a matriz inversa . Dizemos então que a matriz é singular ou não 
inversível. 
2) Se o det A 0, então a matriz inversa existe e é única. Dizemos que a matriz é inversível ou 
não-singular. 
3) Quando temos uma matriz quadrada A de ordem 2, para obtermos sua inversa, basta trocamos a 
ordem dos elementos da diagonal principal e dos elementos da diagonal secundária inverter o sinal, 
após dividirmos pelo determinante da matriz A. 
 
Propriedades das Matrizes Inversas 
a) ( ) 
b) 
 
c) ( ) (
 
 
) 
d) ( ) 
e) 
 
 
 
f) ( ) ( ) . 
 
Teorema: Uma matriz quadrada A admite uma inversa se, e somente se det A . 
Neste caso, 
 
 
( ) 
 
EXEMPLO: Calcule as inversas das matrizes (
 
 
) (
 
 
). 
Inversão de uma matriz por meio de operações elementares. 
- Operações elementares de uma matriz 
 - Permutação das linhas de ordem i e j (permutação de duas linhas ou de duas colunas). 
 - Multiplicação de todos elementos da linha (ou coluna) de ordem i por k . 
 - Substituição da linha de ordem i pela sua soma com a linha de ordem j multiplicada por k 
OBSERVAÇÃO: 
1) Sejam A e B duas matrizes de mesma ordem. A matriz B é equivalente à matriz A ( ), se for 
possível transformar A em B por meio de uma sucessão finita de operações elementares. 
2) Toda matriz inversível pode ser transformada, mediante um número finito de operações elementares, 
na matriz I. 
A mesma sequência de operações elementares que transforma uma matriz A em , transforma em 
 . 
[ ]
 
→ [ 
 ] 
 
 
EXEMPLOS: 1) Determine a matriz inversa, caso existir, de cada uma das matrizes dadas: 
a) [
 
 
 
] b) *
 
 
+ c) [
 
 
 
 
 
 
 
 
] d) [
 
 
 
] 
 
2)Sejam A, B e C matrizes quadradas, de mesma ordem e inversíveis. Resolva as equações matriciais nas 
quais X é a variável. 
a) ABX=C b)