Determinantes e Matrizes Quadradas

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Ou ainda, podemos representar pela matriz 
ampliada do sistema:
Considere o conjunto das matrizes
quadradas de elementos reais. Seja A = [aij
]n×n uma matriz desse conjunto. O
determinante da matriz A é um número
real que associamos à A operando com
todos os elementos da matriz. Notação:
det A ou |A|.
Determinantes são funções muito
especiais e estão relacionadas a diversos
problemas como: solução de sistemas
lineares, matriz inversa, área de
paralelogramo, volume de paralelepípedo,
entre outros. 
Matriz Quadrada de Ordem n: Para
calcular o determinante de matrizes
quadradas de ordem n, vamos utilizar o
Desenvolvimento de Laplace, que é uma
fórmula de recorrência que nos permite
calcular o determinante a partir de
determinantes de submatrizes quadradas
de ordem n − 1.
Pensando então no sistema AX = B, se
soubermos que a matriz A é invertível e
soubermos como calcular sua inversa ,
então podemos resolver o sistema da
seguinte forma:
Podemos representar este sistema linear
através de uma equação matricial do tipo
AX = B, onde
DETERMINANTES
Matriz Quadrada de Ordem 1: 
Matriz Quadrada de Ordem 2: 
Matriz Quadrada de Ordem 3: 
Sendo que esse determinante pode ser
calculado utilizando a Regra de Sarrus.
Para isso, é preciso repetir as duas colunas
do lado direito da matriz e realizar os
produtos na diagonal respeitando uma
regra de sinal, como representado abaixo.
onde Aij é a submatriz da inicial de onde a
i-ésima linha e a j-ésima coluna foram
retiradas (exatamente a linha e a coluna
do elemento aij que multiplica o
determinante dessa submatriz). O sinal de
cada parcela alterna: é positivo quando a
soma da linha com a coluna eliminadas
for par e negativo quando for ímpar. Em
outras palavras, se eliminarmos a linha i e
a coluna j, então o sinal da parcela é (−1)^
i+j . 
Se todos os elementos de uma linha (ou
coluna) de uma matriz A são nulos, então
det A = 0. 
det A = det .
Se multiplicarmos uma linha da matriz por
uma constante, o determinante fica
multiplicado por esta constante. 
Ao permutarmos duas linhas (ou duas
colunas) de uma matriz, o determinante
muda de sinal. 
Se uma matriz tem duas linhas (ou colunas)
iguais, então seu determinante é zero.
O determinante não se altera se
somarmos a uma linha (ou coluna) uma
outra linha (ou coluna) multiplicada por
uma constante.
Se A for uma matriz triangular n×n
(triangular superior, triangular inferior ou
diagonal), então det A é o produto das
entradas na diagonal principal da matriz,
ou seja, det A = a11 * a22 * · · · * ann. 
det(A * B) = det A * det B.
Se A é invertível, então como det In = 1,
usando as propriedades dos
determinantes, temos:
1 = det In = det(A * A ) = det A · det A 
.
Então, concluímos que se A tem inversa
temos: 
det A 0.
det = 
De maneira geral, para encontrar a inversa
de uma matriz quadrada A por
escalonamento, basta escrever a matriz A
dada e ao lado a matriz identidade
então, realizamos o escalonamento da
matriz [A| I ] até obter [ I |A ], ou seja:
Dada uma matriz quadrada A, chamamos
de matriz adjunta de A a matriz
transposta da matriz dos cofatores de A.
PROPRIEDADES DE DETERMINANTES
MATRIZ INVERSA (ESCALONAMENTO)
MATRIZ INVERSA (ADJUNTA)
Isso nos fornece um novo método de
calcular a inversa de uma matriz: