Trabalho de Revisão Álgebra

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Profªa Magda Vieira da Silva Oliveira 
 
TRABALHO INDIVIDUAL AVALIATIVO DE REVISÃO PARA P1 
 
Data de entrega: Dia da prova 
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1. Seja V=ℝ3 e S={(x,y,2-3x) ℝ3}. Mostre que S é subespaço de V. 
2. Verifique se S é subespaço de V, sendo V=ℝ3 e S={(x,y,z) ℝ3; z=x-2y}. 
3. Mostre que S é subespaço de V. Seja V=ℝ2 e S={(x,y) ℝ2; x=√𝑦}. 
4. Verifique se R3 é soma direta dos seguintes subespaços F={(x,y,z)R3/x-y+z=0) e G={(x,y,z) R3/ x=0 e 
y=0}. Justifique sua resposta. 
 
5. Seja F={(x,y,z) R3/ -2x+y+z=0) e G={(x,y,z) R3/ 2x+3y+z=0} subespaços vetoriais do R3, determine: 
 
a) F+G b) FG c) Verifique se F e G é soma direta. Justifique sua resposta. 
 
6. Escrever o vetor v=(-2,5,1) como combinação linear dos vetores u=(1,1,1), w=(2,3,1) e t=(-1,1,2). 
 
7. Seja v=(2,-1,2), u=(-2,1,1), w=(2,-1,-3) e t=(0,0,2) em R3. Determine: 
a) Uma base para o conjunto {v, u, w, t} b)A dimensão desta base 
 
8. Determinar o subespaço do Rn gerado pelos conjuntos de vetores 
a) {(3,2,-1), (-2,1,2)} b) {(0,1,1), (1,1,0), (1,0,-1)} 
 
9. Dado o subespaço vetorial W={(x,y,z) R3/y+2z=0}. Determine: 
a) Um conjunto de geradores para W b) Uma base para W c) A Dimensão da base 
 
10. Dar um sistema de geradores para cada um dos seguintes sub-espaços do R3: 
I) U={(x,y,z)/x-2y=0} 
II) V= {(x,y,z)/x+y=0 e x-2y=0} 
III) W={x,y,z)/x+2y-3z=0. 
IV) UV 
V) V+W 
11. Verificar quais dos seguintes conjuntos são linearmente independentes: 
a) {(1,1,0), (1,4,5),(3,6,5)} 
b) {(1,2,3),(1,4,9),(1,8,27)} 
c) {(-2,3),(4, 6)} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profªa Magda Vieira da Silva Oliveira 
 
OBSERVAÇÃO 
 
I) Para verificação se é espaço vetorial 
Operações usuais: adição e multiplicação por escalar: 
{
∀𝑣, 𝑣 ∈ 𝑉 ⇔ 𝑢 + 𝑣 ∈ 𝑉
 ∀𝛼 ∈ ℝ 𝑒 ∀𝑢 ∈ 𝑣 ⇔ 𝛼𝑢 ∈ 𝑣
 
AXIOMAS: 
A) Em relação à adição: 
A1) Associativa da adição:  u,v,w ∈ V: (u+v)+w = u+(v+w) 
A2) Comutativa da adição: u,v ∈ V segue que: u+v=v+u 
A3) Elemento neutro: 0V (elemento nulo) tal que para todo v ∈ V: 0 + v = v 
A4) Elemento simétrico: Para cada v ∈ V,  (– v) ∈ V (elemento oposto) tal que v+(–v)=0 
 
M) Em relação à multiplicação por escalar: 
M1) Associativa da multiplicação: ,  ∈ ℝ e todo v ∈ V ⇔ (.).v = .(.v) 
M2) Distributiva de vetor em relação a adição de escalar: ,  ∈ ℝ e todo v ∈ V ⇔ (+).v = .v+.v 
M3) Distributiva de escalar em relação a adição de vetores: ∈ ℝ e  v,w ∈ V ⇔ .(v+w) = .v + .w 
M4) Elemento neutro multiplicativo:  v ∈ V ⇔ 1.v = v 
 
II) Para verificar (mostrar) se S é subespaço de V temos que averiguar as seguintes condições: 
i) Verificar se S∅  verificar se 0  S 
ii)  v,w S, então v+w S. 
iii)   ℝ e  v S, então .v S. 
Se todas as condições forem válidas, S é subespaço. 
 
III) Para verificar se é soma direta de U e V 
É soma direta U e W (V=U W)  Existir V=U+W e U W ={0}. 
 
IV) Para verificar se vetores são linearmente dependente e Linearmente independente 
a) As afirmações são válidas para vetores ℝn 
• Se poderem ser escritos como combinação linear  LD 
• Se não poderem ser escritos como combinação linear  LI 
 
b) Válidas para vetores no ℝ2 . 
1) O vetor nulo é LD. 
2) O { v }, com v≠0 é LI. 
3) Dois vetores { u, v} , u≠0 e v≠0, são LD se os vetores forem paralelos (são múltiplos escalares). 
(u=(a,b) e v=(x,y) são LD se 
𝑎
𝑥
=
𝑏
𝑦
 ) 
Caso contrário são LI (não paralelos, não são múltiplos). 
4) Três ou mais vetores são sempre LD. 
 
c) Válidas para vetores no ℝ2 no ℝ3. 
 1) O vetor nulo é LD. 
2) O { v }, com v≠0 é LI. 
3) Dois vetores { u, v }, com u≠0 e v≠0, são LD se os vetores forem paralelos (são múltiplos escalares). (u=(a,b,c) 
e v=(x,y,z) são LD se 
𝑎
𝑥
=
𝑏
𝑦
=
𝑐
𝑧
. ). Caso contrário são LI (não paralelos, não são múltiplos). 
4) Três vetores { u, v , w}, são sempre LD se forem coplanares. 
(Três vetores u, v e w são LD se o det [u,v,w] =0). Caso contrário são LI (não coplanares). 
5) Quatro ou mais vetores são sempre LD. 
 
V) Dizemos que B é uma base desse espaço se: 
a) B é um conjunto LI. 
b) B gera o espaço. 
 Outra forma de Dizer que B é uma base desse espaço  Usar o dispositivo prático.