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12/08/2014 1 01.03 - APROXIMAÇÕES E ERROS DE ARREDONDAMENTO Aproximações e Erros de Aproximação • Para muitos problemas de engenharia, nós não podemos obter soluções analíticas. • Métodos numéricos rendem resultados aproximados, resultados que são próximos à solução analítica exata. Nós não podemos calcular exatamente os erros associados aos métodos numéricos. – Apenas raramente dados fornecidos são exatos, visto que se originam de medidas. Portanto há provavelmente erro na informação de entrada. – Algoritmos geralmente introduzem erros também, por exemplo, aproximações inevitáveis, etc … – A informação de saída irá então conter erro de ambas as fontes. • Quão confiável estamos em nosso resultado aproximado? • A pergunta é “quanto erro está presente em nosso cálculo e é tolerável?” • Exatidão. Quão próximo um valor calculado ou medido está do valor verdadeiro • Precisão (ou reprodutibilidade). Quão próximo um valor calculado ou medido está de valores previamente calculados ou medidos. • Inexatidão (ou viés). Um desvio sistemático do valor real. • Imprecisão (ou incerteza). Magnitude de dispersão. 12/08/2014 2 Chapter 3 Algarismos Significativos • Número de algarismos significativos indica precisão. Dígitos significativos de um número são aqueles que podem ser usados com confiança, i.e., o número de certos dígitos mais um dígito estimado. 53,800 Quantos algarismos significativos? 5.38 x 104 3 5.380 x 104 4 5.380 x 104 5 Zeros são às vezes usados para localizer o ponto decimal, não algarismos significativos. 0.00001753 4 0.0001753 4 0.001753 4 Definições de Erro Valor Verdadeiro = Aproximação + Erro Et = Valor verdadeiro – Aproximação (+/-) adeirovalor verd o verdadeirerro fracional o verdadeirrelativo Erro %100 adeirovalor verd o verdadeirerro o, verdadeirporcentual relativo Erro t Erro verdadeiro • Para métodos numéricos, o valor verdadeiro será conhecido somente quando nós lidamos com funções que podem ser resolvidas analiticamente (sistemas simples). Em aplicações do mundo real, geralmente não conhecemos a resposta a priori. Então • Abordagem iterativa, exemplo Método de Newton %100 oAproximaçã aproximado Erro a %100 atual oAproximaçã anterior oAproximaçã -anterior oAproximaçã a (+ / -) • Use valor absoluto. • Cálculos são repetidos até que o critério de parade seja satisfeito. • Se o seguinte critério for encontrado você pode ter certeza que o resultado está correto até, pelo menos, n algarismos significativos. sa Tolerancia % pré-especificada baseada no conhecimento de sua solução )%10 (0.5 n)-(2s 12/08/2014 3 Erros de arredondamento em.b expoente Base do Sistema numérico usado mantissa Parte inteiro 10 Figure 3.3 11 Figure 3.4 12 Figure 3.5 12/08/2014 4 Chapter 3 13 156.78 0.15678x103 em um Sistema de ponto flutuante de base 10 Suponha apenas 4 casas decimais para serem armazenadas • Normalizado para remover zeros. Multiplique a mantissa por 10 e diminua o expoente de 1 0.2941 x 10-1 1 2 1100294.0 029411765.0 34 1 0 m Algarimos significativo adicional é retido 14 Portanto, para um sistema base 10 0.1 ≤m<1 para um sistema base 2 0.5 ≤m<1 • Representação por ponto flutuante permite frações e números muito grandes serem expressos no computador. Entretanto, – Números com ponto flutuante ocupam mais espaço. – Demoram mais para processor que números inteiros. – Erros de arredondamento são introduzidos porque a mantissa mantém paenas um número finite de algarismos significativos. 11 m b 15 Corte Exemplo: =3.14159265358 para ser armazenado em um sistema base-10 portando 7 dígitos significativos. =3.141592 erro de corte t=0.00000065 Se arredondado =3.141593 t=0.00000035 • Algumas máquinas usam corte, porque arredondamento soma-se à sobrecarga computacional. Como o número de algarismos significativos é suficientemente grande, o erro resultante de corte é desprezível.
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