01_03_aproximações_e_erros_de_arredondamento

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12/08/2014
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01.03 -
APROXIMAÇÕES E 
ERROS DE 
ARREDONDAMENTO
Aproximações e Erros de Aproximação
• Para muitos problemas de engenharia, nós não podemos obter 
soluções analíticas.
• Métodos numéricos rendem resultados aproximados, 
resultados que são próximos à solução analítica exata. Nós não 
podemos calcular exatamente os erros associados aos métodos 
numéricos.
– Apenas raramente dados fornecidos são exatos, visto que se originam 
de medidas. Portanto há provavelmente erro na informação de entrada.
– Algoritmos geralmente introduzem erros também, por exemplo, 
aproximações inevitáveis, etc …
– A informação de saída irá então conter erro de ambas as fontes.
• Quão confiável estamos em nosso resultado aproximado?
• A pergunta é “quanto erro está presente em nosso cálculo e é 
tolerável?”
• Exatidão. Quão próximo um valor calculado 
ou medido está do valor verdadeiro
• Precisão (ou reprodutibilidade). Quão próximo 
um valor calculado ou medido está de valores 
previamente calculados ou medidos.
• Inexatidão (ou viés). Um desvio sistemático do 
valor real.
• Imprecisão (ou incerteza). Magnitude de 
dispersão.
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Chapter 3
Algarismos Significativos
• Número de algarismos significativos indica precisão. Dígitos 
significativos de um número são aqueles que podem ser usados com 
confiança, i.e., o número de certos dígitos mais um dígito estimado.
53,800 Quantos algarismos significativos?
5.38 x 104 3
5.380 x 104 4
5.380 x 104 5
Zeros são às vezes usados para localizer o ponto decimal, não algarismos 
significativos.
0.00001753 4
0.0001753 4
0.001753 4
Definições de Erro
Valor Verdadeiro = Aproximação + Erro
Et = Valor verdadeiro – Aproximação (+/-)
adeirovalor verd
o verdadeirerro fracional o verdadeirrelativo Erro 
%100
adeirovalor verd
o verdadeirerro o, verdadeirporcentual relativo Erro t 
Erro verdadeiro
• Para métodos numéricos, o valor verdadeiro 
será conhecido somente quando nós lidamos 
com funções que podem ser resolvidas 
analiticamente (sistemas simples). Em 
aplicações do mundo real, geralmente não 
conhecemos a resposta a priori. Então
• Abordagem iterativa, exemplo Método de 
Newton
%100
oAproximaçã
aproximado Erro a 
%100
atual oAproximaçã
anterior oAproximaçã -anterior oAproximaçã a 
(+ / -)
• Use valor absoluto.
• Cálculos são repetidos até que o critério de parade seja 
satisfeito.
• Se o seguinte critério for encontrado
você pode ter certeza que o resultado está correto até, 
pelo menos, n algarismos significativos.
sa   Tolerancia % pré-especificada baseada no conhecimento de 
sua solução
)%10 (0.5 n)-(2s 
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Erros de arredondamento
em.b expoente
Base do Sistema numérico 
usado
mantissa
Parte inteiro
10
Figure 3.3
11
Figure 3.4
12
Figure 3.5
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Chapter 3 13
156.78  0.15678x103 em um Sistema de 
ponto flutuante de base 10
Suponha apenas 4 casas 
decimais para serem armazenadas
• Normalizado para remover zeros. Multiplique a 
mantissa por 10 e diminua o expoente de 1
0.2941 x 10-1
1
2
1100294.0
029411765.0
34
1
0 

m
Algarimos significativo 
adicional é retido 14
Portanto,
para um sistema base 10 0.1 ≤m<1
para um sistema base 2 0.5 ≤m<1
• Representação por ponto flutuante permite 
frações e números muito grandes serem 
expressos no computador. Entretanto,
– Números com ponto flutuante ocupam mais espaço.
– Demoram mais para processor que números inteiros.
– Erros de arredondamento são introduzidos porque a 
mantissa mantém paenas um número finite de 
algarismos significativos.
11  m
b
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Corte
Exemplo:
=3.14159265358 para ser armazenado em um sistema 
base-10 portando 7 dígitos significativos.
=3.141592 erro de corte t=0.00000065
Se arredondado
=3.141593 t=0.00000035
• Algumas máquinas usam corte, porque 
arredondamento soma-se à sobrecarga computacional. 
Como o número de algarismos significativos é 
suficientemente grande, o erro resultante de corte é 
desprezível.