Calculo 1 - primeira lista

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UFPB - Universidade Federal da Paraíba
CCEN - Centro de Ciências Exatas e da Natureza
Departamento de Matemática
Primeira Lista de Cálculo I
1 - Resolva as desigualdades abaixo:
a) (2x+ 1)(x+ 3) < 0;
b) x−3
x2+1
< 5;
c) (2x− 1)(x2 + 1) > 0;
d) x(2x− 1)(x+ 1) > 0;
e) x2−4
x2+4
> 0;
f) x3 − x ≤ 0;
g) x4 < x2;
h) x2 + x+ 1 > 0;
i)
√
x− 1 < √2− x
2 - Simplifique as expressões abaixo:
a) x2−1
x−1
b) 4x2−9
2x+3
c) (x+h)
2−x2
h
d) x
4−p4
x−p
e)
1
x2
− 1
9
x− 3
3) Sabendo que dado um polinômio qualquer ax2+ bx+ c do 2o grau, temos que se x1
e x2 são suas raízes reais, podemos rescrevê-lo da forma:
ax2 + bx+ c = a(x− x1)(x2).
Com base nessa afirmação, fatore os polinômios abaixo, :
a) x2 − 3x+ 2; b)x2 − 25; c) 4x2 − 9; d) 2x2 − 3x+ 1
3 - Resolva as equações:
1
a) |x| = 2; b) |2x+ 3| = 0; c) |x+ 1| = 3; d) |1− 2x| = |3x+ 5|; e) |x| = 2x+ 1
4 - Elimine os módulos.
a) |x+ 1|+ |x|; b) |2x− 1| − |x− 1|; c) |x− 2| − |x2|; d) |x|+ |2x+ 3| − |x+ 2|
5 - Dê o conjunto solução de cada uma das inequações modulares abaixo e os expresse
em forma de intervalos:
a) |x| ≤ 1
b) |2x− 1| < 3
c) |x+ 3| > 1
d) |3x+ 3| ≤ 1
3
6 - Considere a função f(x) = 3x−1
x−7 e encontre os valores pedidos abaixo:
a) 5f(−1)−2f(0)+3f(5)
7
; b) f(3x− 2); c) f(h)−f(0)
h
; d) f(f(5));
7 - Determine o domínio e imagem das seguintes funções e verifique se elas são injetivas,
sobrejetivas, ou bijetivas.
a) y = x2; b) y = 1
x−1 ; c)
√
x2 − 4; d) √ x
x+1
; e) 1
x2−a2 ;
8 - Construa o gráfico das seguintes funções:
a) y = x2 + 8x+ 14
b) y = x3
c) y = (x− 2)2
d) y = |x|, x ∈ [−3, 3]
e) y = −x2 + 4x− 1
f) f(x) = −2
x+3
g) f(x) = 0 se x < 0, f(x) = 1
2
se x = 0 e f(x) = 1 se x > 0
h) f(x) = x3 se x ≤ 0, f(x) = 1 se 0 < x < 2 e f(x) = x2 se x ≥ 2.
i) f(x) = |4− x2|
j) f(x) = |2x+1|
2x+1
2
9 - Calcule o valor de f ◦ g e g ◦ f nas funções dadas abaixo:
a) f(x) = x2 e g(x) = x− 1
b) f(x) = a+ bx e g(x) = x+ a
c) f(x) = |x| e g(x) = |x2 − 3x|
10 - Seja f(x) = ax+ b. Quais os valores de a e b para obtermos f ◦ f = 4x− 9.
11 - Dadas as funções f(x) = x2 − 1 e g(x) = 2x− 1, determine:
a) Determine o domínio, imagem e construa o gráfico de f e g.
b) Calcule f + g, f − g, f.g, f ◦ g e g ◦ f .
12 - Determine quais funções abaixo são ímpares e quais são pares:
a) f(x) = x4 − 2x2 + 1
b) f(x) = |x|
c) f(x) = x−1
x+1
d) f(x) = −x
13 - Em cada exercício abaixo, determine a fórmula da função inversa e construa o
gráfico da função dada e de sua inversa.
a) y = 3x+ 4
b) y = 1
x−a
c) y = x2 − 4
d) y =
√
x− 1
e) y = x−a
x+a
14 - Construa o gráfico das seguintes funções:
a) y = 10
1
x
b) y = −2x
c) y = ln(−x)
3
d) y = ln(x+ 1)
15 - Construa o gráfico das seguintes funções trigonométricas:
a) y = sen(kx), com k = 2, 3, 1
2
, 1
3
;
b) y = kcos(x) com k = 2, 3, 1
2
, 1
3
;
c) y = cos(x+ pi
2
)
d) y = sen(x− pi
2
)
e) y = tg(x
2
)
4