Conteudo Av 01 Calculo I Eng Producao CRG Valor Absoluto e Funções

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Funções – Cálculo Diferencial e Integral I – Professor Marcelo Alberti 
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“Aquilo que ouço, esqueço. 
Aquilo que vejo, recordo. 
Aquilo que faço, entendo.” 
 (Confucio) 
EP 14/03/2018 
Números Desigualdades e Valores Absolutos 
O Cálculo baseia-se no sistema de números reais. 
Vamos ver alguns conjuntos numéricos 
Números Naturais: 
Números Inteiros: 
Números Racionais: 
 
 
 
Os números racionais são razões de números inteiros. 
Como exemplo temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ocorre também as dízimas periódicas, que são escritas como razão de inteiros, portanto são 
números racionais: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estes números tem representação decimal infinita, e que se repete, os algarismos que se 
repente é chamado de período. 
Alguns números não podem ser escritos como razão de inteiros, e estes números formam o 
conjunto dos Números Irracionais ( ). Dentre eles, temos: 
 
 
A representação decimal dos números irracionais, é infinita, e não se repete. 
 
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Números Reais 
O conjunto dos Números Reais ( ), é união dos números racionais com os números 
Irracionais, isto é, . 
- Os números reais podem ser representados por pontos sobre uma reta. A direção 
positiva é indicada por uma flecha. È marcado um ponto de referência O, chamado, 
origem, que corresponde ao número real 0. 
- Cada número real positivo é representado pelo ponto da reta que está a unidades 
de distância, à direita, da origem. 
- Cada número real negativo – é representado pelo ponto da reta que esta a unidades 
de distância, à esquerda, da origem. 
- Todo número real é representado por um ponto sobre a reta, e todo ponto sobre a reta 
corresponde a um único número real. 
- O número real associado ao ponto é chamado coordenada de . 
EP 16/03/2018 
- Os números reais são ordenados. Ou seja, 
 Dizemos que e escrevemos se for um número positivo. 
Geometricamente, isso significa que está à esquerda de sobre a reta real. 
Dizemos que e escrevemos , se for um número positivo. 
Geometricamente, isso significa que está à direita de sobre a reta real. 
O símbolo , significa que ou , e dizemos que 
 
Conjunto é uma coleção de objetos, chamados elementos do conjunto. Se S for um conjunto 
e é um elemento de S, escrevemos, . Caso b não seja elemento de S, escrevemos, 
 . 
 
A intersecção de dois conjuntos, S e T, é o conjunto , que consiste em todos os 
elementos que estão em S e em T. ( em outras palavras, é a parte comum de S e T). 
 
O conjunto vazio, denotado por , é o conjunto que não contém elemento algum. 
 
 
 
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Intervalos 
Certos conjuntos de números reais, são denominados intervalos. 
Se , o intervalo aberto de até consiste em todos os números reais entre e e é 
denotado pelo símbolo . Na notação de conjuntos, temos: 
 
Graficamente, para indicar um intervalo aberto, se usa bolinhas vazias. 
 
 
Se , o intervalo fechado de até consiste em todos os números reais entre e , 
incluindo e , e é denotado pelo símbolo . Na notação de conjuntos, temos: 
 
Graficamente, para indicar intervalo fechado se usa bolinhas cheias. 
 
Tabela de Intervalos: 
 
 
 
 
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Desigualdades: 
Regras para desigualdades: 
1. Se , então . 
2. Se e , então . 
3. Se e , então . 
4. Se e , então . 
5. Se , então 
 
 
 
 
 
. 
 
Exemplo 1: Resolva a inequação . 
 
Exemplo 2: Resolva as inequações . 
EP 17/03/2018 
Exemplo 3: Resolva a inequação . 
 
Exemplo 4: Resolva a inequação . 
 
Exemplo 5: Resolva a inequação 
 
 
 
 
 
 
 
EP 21/03/2018 
Valor Absoluto 
O valor absoluto de um número , denotado por , é a distância de até 0 na reta real. E 
representa o maior número do conjunto , ou equivalentemente, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Propriedades: 
Sejam e números reais quaisquer e um número inteiro. Então: 
1- 
 
2- 
 
3- 
 
 
 
 
 
 
 
4- 
 
Se , 
5- se e somente se 
 
6- se e somente se 
 
7- se e somente se ou 
 
Desigualdade Triangular: Se e forem quaisquer números reais, então 
 
 
Distância: A distância entre os números reais e é . 
Exemplos: 1) A distância entre – e é: 
 
2) A distância entre e é: 
 
 
 
Plano Coordenado 
Um par ordenado de números reais é uma dupla de números reais , tais que 
 se e somente se . 
 
 
 
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Consideremos duas retas perpendiculares: uma horizontal (orientada positivamente para a 
direita) e a outra vertical (orientada positivamente para cima). 
 
 
 
 
 
 
Sejam os pontos e , então a distância entre e é: 
 
Propriedades: 
i) 
ii) d se e somente se, . 
iii) 
iv) 
 
Exemplo: A distância entre os pontos e é:______ 
EP 23/03/2018 
Retas 
A inclinação (ou coeficiente angular) de uma reta não vertical que passa pelos pontos 
 e é 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: A inclinação de uma reta vertical não esta definida. 
 
Equação de uma reta na forma Ponto-inclinação 
Uma equação da reta passando pelo ponto e tendo inclinação é 
 
 
 
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Exemplo: 
1) Determine uma equação da reta que passa por com inclinação 
 
 
. 
2) Determine uma equação da reta que passa pelos pontos e . 
 
Equação de uma reta na forma Inclinação-Intersecção com o Eixo y 
Uma equação da reta com inclinação e intersecção com o eixo y em é: 
 
Equação da reta na forma Geral é dada por: . 
 
Exemplo 1: Represente no plano coordenado o gráfico da reta 
 
Exemplo 2: Represente graficamente a inequação 
 
Retas Paralelas e Perpendiculares 
1) Duas retas não verticais são paralelas se e somente se tiverem a mesma inclinação. 
2) Duas retas com inclinações e são perpendiculares se e somente se 
 ; isto é, suas inclinações são recíprocas opostas: 
 
 
 
 
 
Trigonometria 
 A medida de um ângulo em radianos é dada pela razão: 
 
 
 
 
Como o comprimento de um semicírculo de é . Então, isto é, 
 
 
 
 
 
 
 
 
No plano coordenado consideremos um círculo de raio 1 orientado no sentido anti-horário. 
 
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A equação da circunferência é: 
Portanto, o comprimento da circunferência é: 
 
Considere o ângulo . 
Definição: O seno do ângulo é: 
 
O cosseno do ângulo é: 
 
A tangente do ângulo é: 
 
 
 
 
 
 
 
A cotangente do ângulo é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Identidade Fundamental da Trigonometria 
 
 
Definição: A secante do ângulo é: 
 
 
 
 
 
 
 
A cossecante do ângulo é: 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedades: 
 
 
 
 
 
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EP - 24/03/2018 
Observação: 
 
 
Adição de Arcos: 
1) 
2) 
3) 
 
 
 
Lei dos Senos 
Seja um triângulo de vértices e , assim seus lados são e e os respectivos ângulos 
são e . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lei dos Cossenos 
 
 
 
 
Área de um Triângulo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Funções 
Definição: Uma função é uma lei (regra) que associa, a cada elemento em um conjunto 
D, exatamente um elemento, chamado , em um conjunto E. 
Indicamos: 
 
Exemplos de funções: 
(1) A área de qualquer círculo está em função do seu raio. 
 
(2) O volume de uma esfera está em função do seu raio. 
 
 
 
 
(3) [ Lei de Boyle ] O volume de uma massa gasosa é inversamente proporcional a pressão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
(4) [ Lei de Poiseville ] O fluxo sanguíneo através de um vaso sanguíneo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definição: O conjunto de todos é chamado domínio da função . Denotamos: 
 . 
 
Definição: O conjunto de todos é chamado contradomínio da função . Denotamos: 
 
 
Definição: A imagem de é o conjunto de todos os valores possíveis de obtidos 
quando varia por todo o domínio. Denotamos: 
 
 
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O número é o valor de em e é lido “ de ”. 
O símbolo que representa um número arbitrário no domínio de uma função é denominado 
uma variável independente. 
Um símbolo que representa um número na imagem de é denominado uma variável 
dependente. 
 
Observação: . 
 
Observação: Duas funções são iguais se tem o mesmo domínio e a mesma regra. 
 
Definição: O gráfico de uma função é o conjunto 
 
 
Exemplo 1: A área de um círculo de raio , é . 
 
 
Exemplo 2: . 
 
 
 
Exemplo 3: Determine o domínio da função . 
 
Exemplo 4: Encontre o domínio da função 
 
 
. 
 
Exemplo 5: Ache o domínio de 
 
 
. 
 
Exemplo 6: Determine o domínio da função 
 
 
 
 
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Funções definidas por partes 
 
São funções definidas por fórmulas distintas em diferentes partes de seu domínio. 
 
Exemplo 7: Uma função é definida por 
 
 
 
 
Avalie . 
 
Exemplo 8: Esboce o gráfico da função 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Função Módulo 
 É a função definida por 
 
 
 . 
 
 
 
Exemplo 9: Esboce o gráfico da função valor absoluto . 
 
Exemplo 10: Esboce o gráfico da função . 
 
Simetria 
Se uma função satisfaz para todo número em seu domínio, então é 
chamada função par. 
 
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O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo y. 
 
Se satisfaz para cada número em seu domínio, então é chamada 
função ímpar. 
O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem. 
 
Exemplo 11: Determine se a função é par, ímpar ou nenhum dos dois. 
 
 
 
 
 
Funções Crescentes e Decrescentes 
Uma função é chamada crescente em um intervalo I se: 
 quando em I 
Uma função é chamada decrescente em um intervalo I se: 
 quando em I 
 
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Considerando a função do gráfico acima temos: 
- No intervalo , , quando , portanto, a função é crescente no 
intervalo ; 
- No intervalo , , quando , portanto, a função é decrescente no 
intervalo ; 
- No intervalo , , quando , portanto, a função é crescente no 
intervalo ; 
 
FUNÇÕES ESSENCIAIS 
Função Linear 
Uma função linear é toda função da forma, 
 
Onde é uma função de , ou seja, . 
O gráfico de uma função linear é uma reta. 
Na função linear, , temos que é o coeficiente angular da reta e é a 
intersecção com o eixo . 
Uma característica relevante das funções lineares, é que elas variam a uma taxa constante. 
O Domínio de uma função linear é o conjunto dos números reais. 
Se (coeficiente angular da reta é positivo), a função é crescente para todo real. 
Se (coeficiente angular da reta é negativo), a função é decrescente para todo real. 
Se (coeficiente angular da reta é nulo), a função é constante para todo real. 
 
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Polinômios 
Uma função P é denominada polinômio se 
 
 
 
 
Onde é um número inteiro não negativo e os números 
 são constantes chamados coeficientes do polinômio. 
O domínio de qualquer polinômio é . 
Se o coeficiente dominante , então o grau do polinômio é . 
- Um polinômio de grau 1, é da forma , que é uma função linear. 
- Um polinômio de grau 2, é da forma 
 , e é chamado função quadrática. 
O gráfico de uma função quadrática é sempre uma parábola obtida pelas translaçõesda 
parábola . 
A parábola abre-se (tem concavidade voltada) para cima se e para baixo quando 
 - Um polinômio de grau 3 tem a forma 
 , e é chamado função cúbica. 
 
Funções Potência 
Uma função da forma , onde é uma constante, é chamada função potência. 
Temos alguns casos: 
 , onde é um inteiro positivo. 
Os gráficos de são polinômios com somente um termo. 
Abaixo os gráficos de , para , observe que todos passa m pela 
origem. 
 
 
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 , onde é um inteiro positivo. 
A função 
 
 é uma função raiz. 
Para , ela é a função raiz quadrada , cujo domínio é e cujo gráfico é a 
parte superior da parábola , como indicado na figura abaixo: 
 
Para temos a função raiz cúbica 
 
, cujo domínio é e cujo gráfico é a 
cúbica , como indicado na figura abaixo: 
 
O gráfico de 
 
, será: 
Similar ao de , para par. 
Similar ao de 
 
, para ímpar. 
 
 . 
 A função 
 
 
 é a função recíproca. O gráfico de uma função recíproca 
 
 
, 
ou , é uma hipérbole com os eixos coordenados como suas assíntotas. 
 
 
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Funções Racionais 
Uma função racional é a razão de dois polinômios: 
 
 
 
 
Onde e são polinômios. 
O domínio consiste em todos os valores de tais que . 
A função 
 
 
 é uma função racional com domínio , cujo gráfico esta 
abaixo: 
 
Funções Algébricas 
Uma função é chamada função algébrica se puder ser construída por meio de operações 
algébricas (como adição, subtração, multiplicação, divisão e extração de raízes) a partir de 
polinômios. 
Toda função racional é uma função algébrica. 
Alguns exemplos: 
 
 
 
 
 
 
Os gráficos de funções algébricas podem assumir diversas formas, como por exemplo: 
 
 
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Funções Exponenciais 
As funções exponenciais são da forma , em que é uma constante positiva. 
O domínio de uma função exponencial é , e a imagem é . 
Essas funções são úteis na modelagem de muitos fenômenos naturais, como crescimento 
populacional (se e decaimento radioativo (se . 
 
 
Funções Logarítmicas 
As funções logarítmicas , onde a base é uma constante positiva, são inversas 
das funções exponenciais. 
O domínio é e a imagem é . 
 
Exemplo 1: Classifique as funções a seguir em um dos tipos discutidos. 
a) b) 
c) 
 
 
 d) 
 
 
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Transformações de FUNÇÕES 
Deslocamentos Verticais e Horizontais (Translações): 
 , desloque o gráfico de em unidades para cima; 
 , desloque o gráfico de em unidades para baixo; 
 , desloque o gráfico de em unidades para a direita; 
 , desloque o gráfico de em unidades para a esquerda; 
 
 
 
 
Reflexões e Expansões Horizontais e Verticais: 
 
 , expanda o gráfico de verticalmente por um fator de ; 
 , comprima o gráfico de verticalmente por um fator de ; 
 , comprima o gráfico de horizontalmente por um fator de ; 
 , expanda o gráfico de horizontalmente por um fator de ; 
 , reflita o gráfico de em torno do eixo ; 
 , reflita o gráfico de em torno do eixo ; 
 
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Exemplo 2: Dado o gráfico de , use transformações para obter os gráficos de 
 , , 
 , e . 
 
 
Exemplo 3: Esboce o gráfico das funções: 
a) . b) 
c) d) 
Solução: a) 
 
 
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b) 
 
c) 
 
d) 
 
 
 
 
 
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Combinações de Funções 
Duas funções g podem ser combinadas como: 
 
 
 
 
E são definidas como: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se o domínio de é e o domínio de é , então: 
 
 
 
 
 
 
 
Definição : Dadas duas funções , a função composta (também chamada 
composição de ) é definida por 
 
O domínio de é o conjunto de todos os no domínio de tais que está no domínio 
de . 
 
Exemplo 4: Se e , encontre as funções compostas e . 
Exemplo 5: Se e , encontre cada uma das funções e seus 
domínios: 
a) b) c) d) 
Exemplo 6: Encontre se 
 
 
, e . 
Exemplo 7: Dada a função , encontre as funções e tal que 
 . 
 
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Funções Exponenciais 
Uma função exponencial é uma função da forma , onde é uma constante 
positiva. 
Lembremos que: 
 
 
 
 
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As funções são definidas de três forma, de acordo com a sua base. 
 
 
Propriedades dos Expoentes 
Se e forem números positivos e e , quaisquer números reais, então 
1. 2. 
 
 
 
3. 4. 
 
Exemplo 1: Esboce o gráfico da função e determine seu domínio e imagem. 
O Número 
O número é o número de Euler, na qual é a base da função exponencial, na qual a inclinação 
da reta tangente a curva da função exponencial de base , , no ponto , é 
 . 
Temos que a inclinação das retas tangentes em , é para e para 
 
 
Podemos chamar a função de função exponencial natural. 
 
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Exemplo 2: Faça o gráfico de 
 
 
 e diga qual o domínio e a imagem. 
 
 
Funções Inversas e Funções Logarítmicas 
Definição 1: Uma função é chamada função injetora se ela nunca assume o mesmo valor 
duas vezes; isto é, 
 
Teste da Reta Horizontal 
Uma função é injetora se nenhuma reta horizontal intercepta seu gráfico em mais de um 
ponto. 
 
 
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Definição 2: Seja uma função injetora com domínio A e imagem B. Então, a sua função 
inversa tem domínio imagem A e é definida por 
 
Para todo em B. 
 
 
 
 Como a letra x é usada tradicionalmente para a variável independente, podemos escrever: 
 
Assim, temos as equações de cancelamento:Funções – Cálculo Diferencial e Integral I – Professor Marcelo Alberti 
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Como achar a Função Inversa de uma Função Injetora 
Passo 1: escreva 
Passo 2: Isole x nessa equação, escrevendo-o em termos de (se possível). 
Passo 3: Para expressar como uma função de , troque por . A equação resultante é 
 . 
 
Exemplo 3: Encontre a função inversa de 
O gráfico de é obtido refletindo-se o gráfico de em torno da reta 
 
Exemplo 4: Esboce os gráficos de e de sua função inversa usando o mesmo 
sistema de coordenadas. 
 
Funções Logarítmicas 
Se e , a função exponencial é crescente ou decrescente, e portanto, 
injetora pelo teste da reta horizontal. Assim, existe uma função inversa , chamada função 
logarítmica com base denotada por . 
Assim, como 
 
Temos: 
 
 
Pelas equações de cancelamento, temos: 
 
 para todo 
 para todo 
A função logarítmica tem domínio e a imagem . 
O gráfico é a reflexão do gráfico de em torno da reta . 
 
 
 
 
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Propriedades de Logaritmos 
Se forem número positivos, então 
1. 
2. 
 
 
 
3. 
 
 
Exemplo 5: Use as propriedades de logaritmos para calcular . 
 
Logaritmos Naturais 
O logaritmo na base é chamado logaritmo natural e tem uma notação especial: 
 
Propriedades: 
 
 
 
 
Exemplo 6: Encontre se . 
Exemplo 7: Resolva a equação . 
Exemplo 8: Expresse 
 
 
 como um único logaritmo. 
Exemplo 9: Esboce o gráfico da função . 
 
Fórmula de Mudança de Base 
Para todo número positivo , temos: