Prova 2° estágio - Cálculo I UFCG (2015.2)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE 
CENTRO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA 
UNIDADE ACADÊMICA DE MATEMÁTICA 
DISCIPLINA: Cálculo Diferencial e Integral I TURNO: Manhã_ _ 
PROFESSOR: _____________________________________________ DATA: __________ 
ALUNO:________________________________________________ NOTA: __________ 
 
Segunda Avaliação – 2015.2 
1) (1.0 Ponto) Use a definição de derivada para calcular f´(x), sendo: 
𝑓(𝑥) =
1
𝑥 + 2
 
2) (4.0 Pontos) Derive as seguintes funções: 
a) 𝑦 =
(𝑥−1)(𝑥2+𝑥+1)
𝑥3
 
b) 𝑓(𝑥) = ⁡(sec 𝑥 + 𝑡𝑔𝑥)(sec 𝑥 − 𝑡𝑔𝑥) 
c) 𝑔(𝑡) = (
1+𝑐𝑜𝑠𝑡
𝑠𝑒𝑛𝑡
)
3
 
d) 𝑦 = 𝑙𝑛(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥) + 3(𝑥
2+𝑥) 
3) (2.0 Pontos) Encontre a equação da reta tangente e da reta normal à curva no 
ponto indicado. 
2𝑥𝑦 + 𝜋 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝑦 = 2𝜋⁡,⁡⁡⁡ (1,
𝜋
2
)
4) (1.0 Ponto) A água escoa de um reservatório de concreto cônico (vértice para 
baixo), com raio da base de 45 m e altura de 6 m, a uma taxa de 50 m³/min. Com 
que taxa o nível de água estará diminuindo quando este for de 5 m de 
profundidade? 
5) (2.0 Pontos) Dada a função: 
𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥 + 3 
a) Determine intervalos onde f é crescente e os intervalos onde f é decrescente; 
b) Identifique onde os extremos de f ocorrem; 
c) Determine onde o gráfico de f é côncavo para cima e onde é côncavo para 
baixo; 
d) Esboce a forma geral do gráfico de f. 
Observações: 
(i) Não é permitido o uso de aparelhos eletrônicos, tais como: calculadoras, 
celulares, smartphones, entre outros. Use apenas caneta, lápis, borracha e/ou 
régua; 
(ii) Para efeito de correção, serão aceitas apenas as questões que estiverem 
devidamente justificadas, de modo claro e legível.