Aplicações ao esboço de graficos de uma função

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Aplicac¸o˜es ao Esboc¸o de Gra´ficos de uma Func¸a˜o 1
0.1 Aplicac¸o˜es ao Esboc¸o de Gra´ficos de uma Func¸a˜o
Vamos aplicar o que aprendemos sobre a derivada para esboc¸ar gra´ficos de uma func¸a˜o de modo mais preciso.
Roteiro:
1. Descrever o Dom(f)
2. Determinar os intervalos de crescimento e de decrescimento.
3. Estudar a concavidade e destacar os pontos de inflexa˜o.
4. Calcular os limites laterais de f , em p, nos casos:
(a) p /∈ Dom(f), mas p e´ extremo de um intervalo que compo˜e o Dom(f)
(b) p ∈ Dom(f), mas f na˜o e´ cont´ınua em p.
5. Calcular os limites para x→ +∞ e x→ −∞
6. Determinar ou localizar as ra´ızes de f .
Observac¸a˜o 0.1. Os itens 4 e 5 procuram a existencia de assintotas vertical e horizontal respectivamente.
Ale´m disso, para fornecer mais informac¸o˜es ao gra´fico podemos determinar as assintotas obliquas caso exis-
tam.
Exemplo 0.1. Esboce o gra´fico de
f(x) = x3 − x2 − x+ 1
Soluc¸a˜o:
Domı´nio de f :
Dom(f) = R.
Ca´lculo da Derivada:
• f(x) = x3 − x2 − x+ 1
• f ′(x) = 3x2 − 2x− 1
• f ′′(x) = 6x− 2
Zeros de f ′(x):
3x2 − 2x− 1 = 0
Resolvendo a equac¸a˜o:
x1 = 1 e x2 = −1/3
Estudo do Sinal de f ′(x):
• x < −1/3⇒ f ′(x) > 0⇒ f e´ est. crescente
• −1/3 < x < 1⇒ f ′(x) < 0⇒ f e´ est. decrescente
• x > 1⇒ f ′(x) > 0⇒ f e´ est. crescente
Estudo do Sinal de f ′′(x):
• x < 1/3⇒ f ′′(x) < 0⇒ f e´ concova p/ baixo
• x > 1/3⇒ f ′′(x) > 0⇒ f e´ concova p/ cima
2
Ca´lculo dos lim
x→±∞
f(x)
lim
x→+∞
f(x) = lim
x→+∞
(
x3 − x2 − x+ 1
)
= lim
x→+∞
x3
(
1−
1
x
−
1
x2
+
1
x3
)
= +∞
lim
x→−∞
f(x) = lim
x→−∞
(
x3 − x2 − x+ 1
)
= lim
x→−∞
x3
(
1−
1
x
−
1
x2
+
1
x3
)
= −∞
Ra´ızes de f :
Observe que
f(x) = x3 − x2 − x+ 1
= x2(x− 1) + (−1)(x− 1)
= (x2 − 1)(x− 1) = (x+ 1)(x− 1)2
Enta˜o,
−1 e 1(1 e´ ra´ız dupla)
Esboc¸o do Gra´fico
Tabela Auxiliar:
x y
1 0
−1 0
−1/3 32/27
1/3 16/27
0 1
Aplicac¸o˜es ao Esboc¸o de Gra´ficos de uma Func¸a˜o 3
Exemplo 0.2. Esboce o gra´fico de
f(x) =
x4 + 1
x2
Soluc¸a˜o:
Domı´nio de f
Dom(f) = R− {0}
Ca´lculo da Derivada:
• f(x) = x2 + x−2
• f ′(x) = 2x− 2x−3 =
2(x4−1)
x
3 = 2
(
x
2
+1
x
2
)(
x
2
−1
x
)
• f ′′(x) = 2 + 6x−4 = 2x
4
+6
x
4
Estudo do Sinal de f ′(x):
• x < −1⇒ f ′(x) < 0⇒ f e´ est. decrescente
• −1 < x < 0⇒ f ′(x) > 0⇒ f e´ est. crescente
• 0 < x < 1⇒ f ′(x) < 0⇒ f e´ est. decrescente
• x > 1⇒ f ′(x) > 0⇒ f e´ est. crescente
Estudo do Sinal de f ′′(x):
f ′′(x) > 0
Na˜o ha´ ponto de inflexa˜o.
Ca´lculo dos limites laterais de f em 0:
• lim
x→0+
f(x) = lim
x→0+
x2 + 1
x
2 = +∞
• lim
x→0−
f(x) = lim
x→0−
x2 + 1
x
2 = +∞
Ca´lculo dos lim
x→±∞
f(x)
• lim
x→+∞
f(x) = lim
x→+∞
x2 + 1
x
2 = +∞
• lim
x→−∞
f(x) = lim
x→−∞
x2 + 1
x
2 = +∞
Ra´ızes de f : Observe que
f(x) =
x4 + 1
x2
= x2 +
1
x2
Enta˜o na˜o existem ra´ızes de f .
Esboc¸o do Gra´fico
Observe que, quando x → +∞ ou x → −∞ , o gra´fico de f se aproxima por cima do gra´fico da func¸a˜o
y = x2.
4
Tabela Auxiliar
x y
-1 2
1 2
Exemplo 0.3. Esboce o gra´fico de
f(x) = xe−x
Soluc¸a˜o:
Domı´nio de f
Dom(f) = R.
Ca´lculo da Derivada:
• f(x) = xe−x
• f ′(x) = e−x − xe−x = (1− x)e−x
• f ′′(x) = −e−x − (1− x)e−x = (x− 2)e−x
Pontos Cr´ıticos
(1− x)e−x = 0 =⇒ (1− x) = 0 =⇒ x = 1.
Estudo do Sinal de f ′(x):
−
-
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
HH
+
q
1
• x < 1⇒ f ′(x) > 0⇒ f e´ estritamente decrescente;
• x > 1⇒ f ′(x) < 0⇒ f e´ estritamente crescente.
Estudo do Sinal de f ′′(x):
−
-
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
+
q
2
Aplicac¸o˜es ao Esboc¸o de Gra´ficos de uma Func¸a˜o 5
• x < 2⇒ f ′′(x) < 0⇒ f e´ concava para baixo;
• x > 2⇒ f ′′(x) > 0⇒ f e´ concava para cima.
Logo, x = 2 e´ um ponto de inflexa˜o.
Ca´lculo dos lim
x→±∞
f(x)
• lim
x→+∞
f(x) = lim
x→+∞
x
e−x
= 0 (pela Regra de L’Hospital)
• lim
x→−∞
f(x) = lim
x→−∞
x
e−x
= +∞
Ra´ızes de f :
f(x) = xe−x =⇒ xe−x = 0 =⇒ x = 0.
Esboc¸o do Gra´fico
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