REDE DE FLUXO

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CENTRO UNIVERSITÁRIO LUTERANO DE SANTARÉM – CEULS/ULBRA 
 
 
 
 
 
 
 
REDE DE FLUXO 
 
 
 
Antônio Rodrigo do Carmo Moreira 
Dalila de Sá Nunes 
Jefferson Luiz Paz Oliveira 
Karen Mikele Barreto dos Santos 
 
 
 
 
 
 
 
 
SANTARÉM 
2017 
CENTRO UNIVERSITÁRIO LUTERANO DE SANTARÉM – CEULS/ULBRA 
 
 
 
 
 
Antônio Rodrigo do Carmo Moreira 
Dalila de Sá Nunes 
Jefferson Luiz Paz Oliveira 
Karen Mikele Barreto dos Santos 
 
 
 
 
 
Trabalho realizado para obtenção de nota parcial 
na Avaliação de Grau 2, na disciplina de Mecânica 
dos solos, ministrada pelo professor José Renato 
Lima Aguiar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SANTARÉM 
2017
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1. INTRODUÇÃO 
Às vezes o engenheiro se defronta com situações em que é necessário 
controlar o movimento de água através do solo e, evidentemente, proporcionar uma 
proteção contra os efeitos nocivos deste movimento. 
Do ponto de vista prático, a água pode ser considerada incompressível e 
sem nenhuma resistência ao cisalhamento, o que lhe permite, sob a ação de altas 
pressões, penetrar em microfissuras e poros, e exercer pressões elevadas que 
levam enormes maciços ao colapso. 
Um aspecto importante em qualquer projeto em que se tenha a presença de 
água é a necessidade do reconhecimento do papel que os pequenos detalhes da 
natureza desempenham. Assim, não basta apenas realizar verificações 
matemáticas, mas também recorrer a julgamentos criteriosos dessas 
particularidades, pois que elas nem sempre podem ser suficientemente 
quantificadas. 
 
1.1. Fluxos bi e tridimensionais 
Quando o fluxo de água ocorre sempre na mesma direção diz-se que o fluxo 
é unidimensional. Sendo uniforme a areia, a direção do fluxo e o gradiente são 
constantes em qualquer ponto. 
Quando as partículas de agua se deslocam segundo qualquer direção, o 
fluxo é tridimensional. A migração de água para um poço é um exemplo de fluxo 
tridimensional de interesse para a engenharia. 
Quando as partículas de agua seguem caminhos curvos, mas contidos em 
planos paralelos, o fluxo é bidimensional. É o caso da percolação pelas fundações 
de uma barragem. Em virtude da ocorrência frequente deste tipo de fluxo em obras 
de engenharia e de sua importância na estabilidade das barragens, o fluxo 
bidimensional merece especial atenção. 
O estudo de fluxo bidimensional é muito facilitado pela representação gráfica 
dos caminhos percorridos pela agua e da correspondente dissipação de carga. Esta 
representação é conhecida como REDE DE FLUXO (“flow net”). 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2. CARACTERÍSTICAS DA REDE DE FLUXO 
 
2.1. Estudo da percolação com redes de fluxo 
 
Analisando a imagem, qualquer gota de água que penetre na face interior da 
areia se dirige à face superior segundo uma linha reta. A esta linha chamamos de 
linha de fluxo. As próprias paredes verticais do permeâmetro são linhas de fluxo. 
Tracemos algumas linhas e fluxo, por exemplo, a cada 2 cm de largura. Formam-se 
4 faixas limitadas por linha de fluxo, que recebem o nome de canais de fluxo. A 
vazão por cada canal de fluxo é igual à dos demais, pois tem a mesma largura. 
Consideremos, agora, as cargas. Em qualquer ponto da superfície inferior, 
as cargas totais são iguais. Pode-se dizer, portanto, que a linha que a representa é 
uma linha equipotencial. Da mesma forma, a linha superior é uma linha 
equipotencial. A diferença de carga, de 6 cm neste exemplo, dissipa-se linearmente 
ao longo da linha de percolação. Em todos os pontos a 2 cm da face inferior, já 
ocorreu uma dissipação de 2 cm de carga, pois, sendo o gradiente igual a 0,5, a 
cada 1 cm de percurso corresponde uma perda de potencial de 0,5 cm. 
A definição básica de que as linhas de fluxo devem determinar canais de 
igual vazão e que as equipotenciais devem determinar faixas de perda de potencial 
de igual valor leva ao fato que, no fluxo unidimensional, a rede resultante seja 
constituída de retângulos. Entretanto, tanto para o traçado da rede como para os 
cálculos, é conveniente escolher espaçamentos iguais entre as linhas, formando 
quadrados. 
A rede fluxo define: 
 Número de canais de fluxo: Nf 
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 Número de faixas de perda de potencial: Nd 
 Dimensões de um quadrado genérico: b – largura do canal de fluxo e l – distância 
entre equipotenciais. 
Traçada a rede fluxo, as seguintes informações são obtidas: 
i) Perda de carga entre equipotenciais 
A construção com igual espaçamento entre as linhas equipotenciais teve 
como objetivo que a perda de carga em cada faixa de perda de potencial fosse a 
mesma. Então, em cada uma, a perda é: 
 
ii) Gradiente 
O gradiente vale: 
 
No exemplo da figura, ele vale: 
 
iii) Vazão 
Para o cálculo de vazão, consideremos um elemento qualquer da rede. A 
vazão por este elemento vale, pela Lei de Darcy: 
 
 
Em todos os elementos ao longo do canal de fluxo a que pertence este 
elemento, a vazão é a mesma. Por outro lado, nos outros canais, a vazão também é 
a mesma, pois o princípio de construção da rede foi justamente o de se constituírem 
canais com a mesma vazão. A vazão total vale, portanto: 
 
 
No exemplo da figura: 
 
 
 
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3. DIMENSIONAMENTO E TRAÇADOS DA REDE DE FLUXO 
 
No caso de fluxos bidimensionais, as redes de fluxo devem traçadas 
mantendo-se os mesmos princípios: canais de igual vazão e zonas de igual perda de 
potencial. 
 
 
 
A areia está contida pelas telas AB e CD, que são ortogonais ás paredes do 
permeâmetro. As distancias AB e CD são iguais a 10 cm, o arco Ac mede 12 cm e o 
arco BD mede 24 cm. Para o traçado da rede de fluxo, consideremos o seguinte: 
 
 Linhas de fluxo 
A face interna do permeâmetro, o arco AC, é uma linha de fluxo. Nela, o 
gradiente é igual a 6/12=0,5. 
A face externa, o arco BD, também é uma linha de fluxo, ao longo da qual o 
gradiente é igual a 6/24=0,25. 
Todas as outras linhas de fluxo serão arcos de círculos concêntricos. Como 
o comprimento de cada arco é diferente, também são os gradientes. Sendo 
constante o coeficiente de permeabilidade, conclui-se que as velocidades de 
percolação serão diferentes, sendo menores junto a superfície externa (menor i) do 
que junto à face interna. 
Nas redes de fluxo, o que se pretende das linhas de fluxos é que elas 
delimitem canais de fluxo de igual vazão. Ora, se a velocidade é menor junto à 
superfície externa, é necessário que os canais próximos a ela sejam mais largos do 
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que os canais junto à superfície interna. As linhas de fluxo deverão estar mais 
próximas entre si junto à superfície interna. 
 
 Análise de equipotenciais 
A diferença de carga que prova a percolação é de 6 cm. Esta carga se 
dissipa linearmente ao longo de cada linha de fluxo. Se se optar por traçar linhas 
equipotenciais que definam faixas de perda de potencial iguais a 0,5 cm, existirão 12 
faixas (6/0,5=12). Ao longo da superfície externa do permeâmetro o afastamento 
entre as equipotenciais será de 2,0cm. Em qualquer outa linha de fluxo, seu 
comprimento será dividido em 12 partes iguais. As equipotenciais serão, então, retas 
convergentes. 
Esta construção determina que as equipotenciais sejam ortogonais às linhas 
de fluxo, como deve ocorrer em qualquer rede de fluxo em materiais de 
permeabilidade homogênea. 
 
 Escolha das linhas de fluxo 
Os canais de fluxo devem ter a mesma vazão. Além disto, é útil que as 
linhas de fluxo formem com as equipotenciais figuras aproximadamente quadradas. 
Assim, a primeira linha de fluxo a partir da superfície interna deve estar afastada 
dela um pouco mais do que1cm, pois as equipotenciais junto a superfície interna 
estão distantes de 1 cm. 
Á medida que se afasta da face interna, a distância entre as linhas de fluxo 
deve aumentar, pois as equipotenciais se afastam. Junto à superfície externa, o 
espaçamento se aproxima de 2 cm. No detalhe da figura, se constata que, com esta 
construção, o número de canais de fluxo é igual a 5,7, número fracionário porque o 
ultimo canal tem largura da ordem de 0,7 da distância entre as equipotenciais. Neste 
canal, a vazão é igual a 70% das vazões que ocorrem nas demais. 
Observe como faz sentido as linhas de fluxo se afastarem quando as 
equipotenciais se afastam. Maior afastamento das equipotenciais indica menor 
gradiente. Como se pretende a mesma vazão em todos os canais, o menor 
gradiente deve ser compensado com uma maior largura do canal. Analisando-se a 
vazão em cada canal pela Lei de Darcy, tem-se: 
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A vazão em todos os canais será a mesma se a relação b/l for constante. 
Resumindo, a rede de fluxo é um procedimento gráfico que consiste, 
basicamente, em traçar na região em que ocorre o fluxo, dois conjuntos de curvas 
conhecidas com linhas de escoamento ou de fluxo, que são as trajetórias das 
partículas do líquido e por linhas equipotenciais ou linhas de igual carga total. 
O trecho compreendido entre duas linhas de fluxo consecutivas quaisquer é 
denominado canal de fluxo e representa um acerta porção ∆Q da quantidade total Q 
de água que se infiltra. Portanto, a vazão em cada canal de fluxo é constante e igual 
para todos os canais. 
A perda de carga ∆h entre as linhas equipotenciais adjacentes denomina-se 
queda de potencial. 
No caso de solos isotrópicos e homogêneos, as linhas de fluxo e 
equipotenciais formam figuras que são basicamente “quadrados”, em destaque na 
Figura 1.10. A mesma vazão percola entre dois pares adjacentes de linhas de fluxo. 
A perda de carga entre linhas equipotenciais sucessivas é a mesma. 
O método mais comum na resolução de problemas de fluxo bidimensional 
consiste na construção da REDE DE FLUXO, representação gráfica da solução da 
equação diferencial. 
 
3.2. Métodos para traçado das redes de fluxos 
 
Os métodos para determinação das redes de fluxos são: 
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i. Soluções analíticas, resultantes da integração da equação diferencial do 
fluxo. Somente aplicável em alguns casos simples, dada a complexidade do 
tratamento matemático quando se compara com outros métodos. 
ii. Analogias, método baseado na semelhança ou analogia entre a rede de fluxo 
e um campo elétrico ou um campo de tensões. De fato, as leis de Ohm e de Hooke 
têm a mesma forma que a lei de Darcy. Assim, conhecida a solução de um 
problema de eletricidade ou de elasticidade, pode-se, por analogia, conhecer a 
solução de um problema de percolação de água em um meio permeável. 
iii. Métodos reduzidos, construídos normalmente no interior de um tanque com 
paredes transparentes, permitem uma melhor visualização das redes de 
percolação e têm sido amplamente usados nas investigações das linhas de 
corrente em barragens de terra. 
iv. Solução gráfica é o mais rápido e prático de todos os métodos, como 
veremos adiante. 
 
3.3. Traçado de redes fluxo de fluxos 
 
O método mais comum de determinação de redes de fluxo é a construção 
gráfica. A sua obtenção desta maneira tem inclusive a vantagem de despertar a 
sensibilidade de quem a constrói para o problema em estudo. 
A construção gráfica é feita por tentativas a partir da definição das linhas 
limites. Por exemplo, no caso da pranchada, a linha contornando a pranchada e o 
fundo da camada permeável são linhas de fluxo e a superfície do terreno representa 
as linhas equipotenciais inicial e final. Naturalmente, recomendações feitas por 
Casagrande (1937), que foi um dos primeiros estudiosos do assunto: 
“Aproveite todas as oportunidades para estudar o aspecto de redes de fluxos 
bem construídas; quando a representação gráfica estiver bem assimilada, tente 
desenhá-las sem olhar o desenho original; repita a tentativa até ser capaz de 
reproduzir a rede de maneira satisfatória. 
Para o traçado de uma nova rede, três ou quatro canais de fluxo são 
suficientes na primeira tentativa; o emprego de muitos canais de fluxo distrai a 
atenção dos aspectos mais importantes da rede. 
Sempre observe a aparência de toda a rede. Não se ocupe de acertar 
detalhes antes de toda a rede estar aproximadamente correta. 
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Há uma tendência de se errar em traçar transições muito abruptas entre 
trechos aproximadamente retilíneos e trechos curvos das linhas equipotenciais ou de 
fluxo. Lembre-se sempre que as transições são suaves, com formatos semelhantes 
aos de elipses ou de parábolas. O tamanho dos quadrados em cada canal varia 
gradualmente.” 
Num primeiro contato com o assunto, custa-se a acreditar que várias 
pessoas, traçando redes para um problema, cheguem ao mesmo resultado, mas se 
as redes forem bem traçadas, isso acontece. 
 
4. EXEMPLO PRÁTICO DE APLICAÇÃO 
 
4.1 Percolação sob pranchada (cortina de estacas-pranchas) 
A figura a seguir mostra uma rede de fluxo correspondente à percolação sob 
uma pranchada penetrante numa camada de areia, sendo o nível d’agua rebaixado 
num dos lados por bombeamento. 
O contorno da pranchada, de um dos lados, e a superfície inferior da camada 
permeável, do outro, são duas linhas de fluxo. Traçadas algumas outras linhas de 
fluxo, observa-se que esta rede tem canais de fluxo com espessuras variáveis ao 
longo de seu desenvolvimento, pois a seção pela qual a água penetra no terreno, 
por exemplo. (Rede de fluxos sob pranchas) 
 
 
Em virtude disso, ao longo de um canal de fluxo, a velocidade da agua é 
variável. Quando o canal se estreita, devendo ser constante a vazão, a velocidade 
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tem que ser maior. Logo, o gradiente é maior. Em consequência, sendo constante a 
perda de potencial de uma linha para a outra, o espaçamento entre equipotenciais 
deve diminuir. A relação entre linhas de fluxo e equipotenciais se mantém constante. 
Por outro lado, a superfície livre do terreno, tanto a montante como a 
jusante, são equipotenciais. Consideremos um ponto qualquer numa equipotencial. 
A partir deste ponto, o gradiente é máximo pelo caminho normal às equipotenciais. 
Em solos isotrópicos, o fluxo segue o caminho de maior gradiente, da mesma forma 
que, colocando-se uma esfera numa certa cota de um talude, ela rola pelo caminho 
mais íngreme. 
Na figura, as equipotenciais podem ser consideradas 
como curva de nível do terreno: a esfera rolará até a cota mais 
baixa pelo caminho mais íngreme, que é normal às curvas de 
nível. Portanto, as linhas de fluxo são normais às 
equipotenciais. 
A análise feita mostra que, neste caso, representativo de uma situação 
genérica de fluxo bidimensional, as duas condições de redes de percolação devem 
se manter: as linhas equipotenciais e as de fluxo se interceptam 
perpendicularmente, e, em cada figura formada, a distância média entre 
equipotenciais deve ser da mesma ordem de grandeza da distância média entre as 
linhas de fluxo. 
 
4.2 Percolação pelo solo de fundação de uma barragem de concreto 
 
 
Linhas de fluxo: o contorno submerso da barragem e a superfície inferior 
impermeável são linhas de fluxo. Entre estas são traçadas outras Linhas de Fluxo. 
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Linhas Equipotenciais: as superfícies livres do terreno são equipotenciais. 
Entre estas são traçadas outras Linhas Equipotenciais. 
Definição da rede de fluxo: as duas condições básicas das redes de fluxo 
devem ser atendidas: as Linhas de fluxo e as Linhas Equipotenciais se interceptam 
perpendicularmente e, em casa elemento da rede,a relação entre as distancias 
medias entre as Linhas equipotenciais e as distâncias media entre as Linhas de 
fluxo de ser constante (de preferência igual a 1). 
Vazão: 
 
 
Gradientes: a diferença de carga entre Linhas equipotenciais consecutivas 
 
O valor de dividido pela distância entre Linha Equipotencial é o gradiente 
no elemento da rede . 
 
O gradiente é maior nos menores elementos (próximos a superfície da 
barragem). Deve ser verificada a condição de gradiente critico junto ao pé de jusante 
(fluxo ascendente sob gradiente mais elevado). 
Cargas e pressões: estabelecida um NR, para cada ponto temos a carga 
altimétrica e a carga total (descontando da carga inicial o somatório de até o 
ponto). A piezométrica é a diferença entre cargas total e altimétrica. 
 
A pressão neutra é a carga piezométrica em termos de pressão: 
 
 
 
4.3 Percolação pelo interior de barragens de terra 
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 Neste caso tem-se uma condição de contorno indefinida, a linha de 
fluxo superior não é previamente conhecida. O problema é indeterminado. 
 O primeiro passo é a estimativa da linha de fluxo superior – LFS (ou 
também chamada linha freática superior). Existem na literatura vários métodos para 
esta estimativa, função principalmente da geometria do talude de jusante e da 
presença ou não de filtros. 
 Na análise deste caso consideram-se validas as hipóteses de Dupuit: 
Para pequenas inclinações da LFS as linhas de fluxo podem ser consideradas 
horizontais e as equipotenciais verticais; o gradiente hidráulico é a inclinação da LFS 
no ponto considerado. 
 O traçado do restante da rede de fluxo e os cálculos decorrentes 
seguem os mesmos procedimentos e recomendações dos casos anteriores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4.4 Outros exemplos 
 
 
 
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5. CONCLUSÃO 
O estudo de fluxo de água nos solos é de vital importância para o 
engenheiro, pois a água ao se mover no interior de um maciço de solo exerce em 
suas partículas sólidas forças que influenciam o estado de tensão do maciço. Os 
valores de pressão neutra e como isso os valores de tensão efetiva em cada ponto 
do maciço são alterados em decorrência de alterações de regime de fluxo. De uma 
forma geral, os conceitos de fluxo de água nos solos são aplicados nos seguintes 
problemas de grande relevância para a Engenharia Geotécnica: 
 Estimativa da vazão de água (perda de água do reservatório da barragem), 
através da zona de fluxo; 
 Instalação de poços de bombeamento e rebaixamento do lençol freático; 
 Problemas de colapso e expansão em solos não saturados; 
 Dimensionamento de sistemas de drenagem; 
 Dimensionamento de “liners” em sistemas de contenção de rejeitos; 
 Previsão de recalques diferidos no tempo (adensamento de solos moles – 
baixa permeabilidade); 
 Análise da influência do fluxo de água sobre a estabilidade geral da massa de 
solo (estabilidade de taludes); 
 Análise da possibilidade da água de infiltração produzir erosão, arraste de 
material sólido no interior do maciço, “piping”, etc. 
É necessário ressaltar, que o traçado das redes de fluxo exige um certo 
traquejo prévio do engenheiro, o qual deve ser adquirido pela experiência. Para que 
obtenha essa experiência aconselha-se o treinamento à vista de redes já traçadas. 
Que o estudante os reproduza por si mesmo, mantendo-se consciente das regras 
citadas por Casagrande, cuja a obediência é necessária para que a solução seja 
correta. 
 
 
 
 
 
 
 
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REFERÊNCIAS 
 
CAPUTO, Homero Pinto: Mecânica dos solos e suas aplicações. 6° edição, Rio 
de Janeiro: LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 1987. 
 
PINTO, C.S. Curso básico de mecânica dos solos em 16 aulas. 3ª edição, São 
Paulo: Oficina de Textos, 2009. 
 
VARGAS, Milton: Introdução à Mecânica dos Solos. – São Paulo: MCgraw-Hill do 
Brasil, Ed. Da Universidade de São Paulo, 1977. 
 
HIDRÁULICA DOS SOLOS. Disponível em: 
<http://www.ufjf.br/nugeo/files/2009/11/ms2_unid01.pdf>. Acesso em 20 de Maio de 
2017.