Funções parte 3

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Algumas Func¸o˜es Elementares
Diz-se que as func¸o˜es: constante, exponencial, poteˆncia, logaritmo, trigonome´tricas e tri-
gonome´tricas inversas sa˜o func¸o˜es elementares.
1. Polinoˆmios e Func¸o˜es Racionais
Uma func¸a˜o polinomial de grau n e´ uma func¸a˜o f : R→ R do tipo
f(x) = anx
n + an−1xn−1 + · · ·+ a1x+ ao, an 6= 0,
onde os coeficientes ao, a1, · · · , an sa˜o constantes reais, com n ∈ N, chamado de grau do
polinoˆmio quando an 6= 0. Esta func¸a˜o goza das seguintes propriedades:
(a) Domı´nio: (−∞,+∞);
(b) Imagem: pode ser (−∞,+∞) ou uma parte de R. Por exemplo, a imagem da
func¸a˜o x2 + 3 e´ o intervalo [3,+∞);
(c) A func¸a˜o se anula no ma´ximo em n pontos;
(d) A func¸a˜o na˜o e´ limitada nem inferior, nem superiormente, se n e´ ı´mpar, pois
lim
x→∞
anx
n = ±∞.
Se n e´ par, a func¸a˜o pode ser limitado superiormente ou limitado inferiormente. Por
exemplo a func¸a˜o f(x) = 2x4 − 3x3 + 5x + 8 e´ limitada inferiormente, mas na˜o e´
limitada superiormente, pois
lim
x→±∞
(2x4 − 3x3 + 5x+ 8) =∞.
Em particular se n = 1, obtemos o polinoˆmio de grau 1 chamado de func¸a˜o afim:
f(x) = ax+ b, a 6= 0,
se n = 2, obtemos o polinoˆmio de grau 2 chamado de func¸a˜o quadra´tica:
f(x) = ax2 + bx+ c, a 6= 0.
Exemplo 0.1 Encontre a func¸a˜o afim f(x), se f(−2) = 6 e f(6) = 14.
Seja f(x) = ax+ b a func¸a˜o afim. Enta˜o de acordo com as condic¸o˜es do problema, temos{
f(−2) = 6 = a(−2) + b
f(6) = 14 = a(6) + b.
Subtraindo a primeira equac¸a˜o da segunda equac¸a˜o, obtemos 8a = 8, donde a = 1.
Substituindo este valor, em qualquer uma das equac¸o˜es, encontramos b = 8. Desta
forma,
f(x) = x+ 8.
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Exemplo 0.2 Encontre a func¸a˜o quadra´tica f(x), se f(2) = 3, f(0) = 5 e f(1) = 3.
Seja f(x) = ax2 + bx + c a func¸a˜o quadra´tica. Enta˜o de acordo com as condic¸o˜es do
problema, temos 
f(2) = 3 = a(2)2 + b(2) + c
f(0) = 5 = a(0)2 + b(0) + c
f(1) = 3 = a(1)2 + b(1) + c,
isto e´, 
3 = 4a+ 2b+ c
5 = c
3 = a+ b+ c,
donde, da segunda equac¸a˜o obtemos c = 5. Substituindo o valor de c na primeira e
terceira equac¸a˜o do sistema e efetuando as simplificac¸o˜es correspondentes, obtemos o
seguinte sistema; {
1 = −2a− b
−2 = a+ b.
Resolvendo este sistema simples, obtemos, a = 1 e b = −3. Desta forma, a func¸a˜o
quadra´tica requerida e´;
f(x) = x2 − 3x+ 5.
Definic¸a˜o 0.1 A raza˜o entre dois polinoˆmios, isto e´, uma func¸a˜o do tipo
f(x) =
anx
n + an−1xn−1 + · · ·+ a1x+ ao
bmxm + bm−1xm−1 + · · ·+ b1x+ bo , an, bm 6= 0,
chama-se func¸a˜o racional.
Esta func¸a˜o goza das seguintes propriedades,
(a) Domı´nio: R\{x ∈ R; bmxm + bm−1xm−1 + · · ·+ b1x+ bo = 0};
(b) Imagem: pode ser (−∞,+∞) ou uma parte de R;
(c) A func¸a˜o se anula nos pontos onde anx
n + an−1xn−1 + · · ·+ a1x+ ao = 0;
(d) A func¸a˜o pode ou na˜o ser limitada.
Assim por exemplo, as func¸o˜es
f(x) = x+
√
5, f(x) = x3 + 5x, f(x) =
x− 2
3x2 + 4x
, f(x) =
x7 − 2x5 + 6x
3x8 + 4x3 + 2x− 5
sa˜o exemplos de func¸o˜es racionais.
2. Func¸a˜o Exponencial
A func¸a˜o do tipo f(x) = ax, onde a e´ uma constante real positiva e a 6= 1, chama-se
func¸a˜o exponencial, e possue as seguintes propriedades,
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(a) Domı´nio: (−∞,+∞);
(b) Imagem: (0,+∞);
(c) A func¸a˜o na˜o se anula em qualquer ponto do domı´nio, mas os gra´ficos de todas as
func¸o˜es exponenciais passam pelo ponto (0, 1);
(d) A func¸a˜o na˜o e´ limitada superiormente.
(e) ax+y = ax.ay, a−x =
1
ax
, (ax)y = axy.
(f) Para x < y, temos
ax > ay, se a < 1, e ax < ay, se a > 1.
Assim por exemplo, as func¸o˜es
f(x) = 4x, f(x) = ex, f(x) =
(
1
2
)x
,
sa˜o exemplos de func¸o˜es exponenciais.
Figura 1: Todos os gra´ficos da func¸a˜o ax cortam o eixo 0y no ponto y = 1
3. Func¸a˜o Logar´ıtmica
A func¸a˜o do tipo f(x) = loga x, onde a e´ uma constante positiva e a 6= 1 e´ a func¸a˜o
inversa da func¸a˜o exponencial y = ax, chama-se func¸a˜o logar´ıtmica. Em caso de a = e
(nu´mero neperiano1), usamos a seguinte notac¸a˜o: lnx = loge x e chama-se logaritmo
natural ou logaritmo neperiano.
A func¸a˜o logaritmo goza das seguintes propriedades,
1John Neper (1550-1617), matema´tico escoceˆs
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(a) Domı´nio: (0,+∞);
(b) Imagem: (−∞,+∞);
(c) A func¸a˜o se anula em um u´nico ponto, quando x = 1;
(d) A func¸a˜o na˜o e´ limitada.
Assim por exemplo, as func¸o˜es
f(x) = loge x = lnx, f(x) = log1/2 x,
sa˜o func¸o˜es logar´ıtmicas.
Usando as propriedades das func¸o˜es exponenciais, facilmente podemos mostrar:
Figura 2: Todos os gra´ficos da func¸a˜o loga x cortam o eixo 0x no ponto x = 1
• loga xα = α loga x, x > 0, α ∈ R;
• loga xy = loga x+ loga y, x, y > 0;
• loga yx = loga y − loga x;
• loga b. logb a = 1, a, b > 0, a 6= 1, b 6= 1.
4. Func¸a˜o Poteˆncia
A func¸a˜o do tipo f(x) = xα, onde α e´ uma constante real, chama-se func¸a˜o poteˆncia.
Dependendo do valor da constante α temos va´rios casos para ser analisados. Examinemos
somente treˆs casos particulares:
(a) α = 2n, n ∈ N
i. Domı´nio: (−∞,+∞);
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ii. Imagem: [0,+∞);
iii. A func¸a˜o se anula em um u´nico ponto, x = 0;
iv. A func¸a˜o na˜o e´ limitada superiormente.
(b) α = 2n+ 1, n ∈ N
i. Domı´nio: (−∞,+∞);
ii. Imagem: (−∞,+∞);
iii. A func¸a˜o se anula em um u´nico ponto, x = 0;
iv. A func¸a˜o na˜o e´ limitada nem inferiormente e nem superiormente.
(c) α = −(2n), n ∈ N
i. Domı´nio: (−∞, 0) ∪ (0 +∞);
ii. Imagem: (0,+∞);
iii. A func¸a˜o na˜o se anula em nenhum ponto;
iv. A func¸a˜o e´ limitada inferiormente, mas na˜o e´ limitada superiormente.
Figura 3: Todos os gra´ficos da func¸a˜o poteˆncia com α ∈ N passam pela origem de coordenadas
Assim por exemplo, as func¸o˜es
f(x) = x−1/2, f(x) = x1/3, f(x) = x7/4,
sa˜o func¸o˜es poteˆncia.
A func¸ao poteˆncia pode ser escrito como:
ax = eln a
x
= ex ln a, x > 0.
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5. Func¸o˜es Trigonome´tricas
As func¸o˜es do tipo
f(x) = cos x, f(x) = sen x, f(x) = tan x =
senx
cosx
, f(x) = cot x =
cosx
senx
,
sa˜o func¸o˜es trigonome´tricas.
Func¸o˜es seno e Cosseno
Para as func¸o˜es seno e cosseno, temos
(a) Domı´nio: (−∞,+∞);
(b) Imagem: [−1,+1];
(c) As func¸o˜es seno e cosseno se anulam em infinitos pontos; a func¸a˜o seno se anula nos
pontos da forma kpi, e a func¸a˜o cosseno se anula nos pontos da forma pi
2
+kpi, k ∈ Z;
(d) As func¸o˜es seno e cosseno sa˜o limitadas.
Figura 4: Gra´fico da func¸a˜o seno
Usando a fo´rmula
cosx = sen(x+
pi
2
),
na˜o e´ dif´ıcil obter o gra´fico da func¸a˜o y = cosx a partir do gra´fico da func¸a˜o y = senx,
com uma simples translac¸a˜o ao longo do eixo 0x a esquerda um comprimento de
pi
2
.
Quando movimentamos os gra´ficos das func¸o˜es y = senx e y = cosx ao longo do eixo 0x
a direita ou esquerda num intervalo de comprimento 2pi, estes gra´ficos coincidem, o que
corresponde com o fato, das func¸o˜es sen x e cosx serem perio´dicas de per´ıodo 2pi, isto e´,
sen(x± 2pi) = sen x, e cos(x± 2pi) = cos x, para qualquer x ∈ R.
Func¸a˜o Tangente
Para a func¸a˜o tangente, y = tanx =
senx
cosx
, temos
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Figura 5: Gra´fico da func¸a˜o cosseno
Figura 6: Gra´fico da func¸a˜o seno e cosseno
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(a) Domı´nio: (−∞,+∞) \ {pi
2
+ kpi, k ∈ Z};
(b) Imagem: (−∞,+∞);
(c) A func¸a˜o tangente se anula em infinitos pontos da forma kpi, k ∈ Z;
(d) A func¸a˜o tangente e´ ilimitada.
Quando movimentamos o gra´fico da func¸a˜o y = tanx ao longo do eixo 0x a direita ou
esquerda num intervalo de comprimento pi, este gra´fico coincide com o gra´fico da func¸a˜o
y = tan(x± pi), isto significa que a func¸a˜o tanx possue per´ıodo pi.
O gra´fico da func¸a˜o y = tanx e´ mostrado na seguinte figura.
Figura 7: Gra´fico da func¸a˜o y = tanx. A = −pi/2, B = pi/2, C = pi, D = 3pi/2
Func¸a˜o Cotangente
Para a func¸a˜o cotangente, y = cotx =
cosx
senx
, temos
(a) Domı´nio:(−∞,+∞) \ {kpi, k ∈ Z};
(b) Imagem: (−∞,+∞);
(c) A func¸a˜o cotangente se anula em infinitos pontos da forma
pi
2
+ kpi, k ∈ Z;
(d) A func¸a˜o cotangente e´ ilimitada.
Tambe´m observa-se que a func¸a˜o y = cotx possui per´ıodo pi, isto e´,
cot(x± pi) = cot x, para qualquer x.
Os gra´ficos das func¸o˜es:
y = A sen ax, y = A cos ax (A > 0, a > 0) (1)
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Figura 8: Gra´fico da func¸a˜o y = cotx. A = −pi, B = −pi/2, C = pi/2, D = pi
sa˜o muito parecidos com os gra´ficos das func¸o˜es y = senx e y = cosx. Para obter por
exemplo o gra´fico da func¸a˜o y = Asen ax de (1) a partir do gra´fico de y = sen x, e´
necessa´rio multiplicar o comprimento de todas as ordenadas da func¸a˜o y = senx por A e
mudar no eixo 0x a absic¸a do ponto x pela abscissa com ponto
x
a
. A func¸a˜o y = A sen ax
e´ perio´dica de per´ıodo
2pi
a
.
Os gra´ficos das func¸o˜es:
y = A sen(ax+ b), y = A cos(ax+ b), (2)
chamadas de curvas harmoˆnicas simples podem ser obtidos a partir dos gra´ficos das
func¸o˜es (1) fazendo uma translac¸a˜o ao longo do eixo 0x de comprimento
b
a
a es-
querda(considerando b > 0). As func¸o˜es (2) possuem per´ıodos
2pi
a
.
Observamos que os gra´ficos das func¸o˜es
y = A1 sen a1x+ A2 sen a2x+B1 cos a1x+B2 sen a2x,
que sa˜o combinac¸o˜es de func¸o˜es do tipo (1), podem ser construidos somando as ordenadas
dos gra´ficos de cada um dos termos separados. As curvas assim obtidas tambe´m chamam-
se curvas harmoˆnicas.
Por exemplo o gra´fico da func¸a˜o y = 3 sen x+ 2 cos 2x apresenta-se na seguinte figura
Notamos que a func¸a˜o
y = A1 sen a1x+B1 cos a1x (3)
pode ser escrita na forma de (2) e apresenta-se como um movimento harmoˆnico simples.
De fato, escrevemos,
m =
A1√
A21 +B
2
1
,
n =
B1√
A21 +B
2
1
,
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Figura 9: Gra´fico da func¸a˜o y = 3 sen x+ 2 cos 2x
A =
√
A21 +B
2
1 .
temos, obviamente
A1 = mA, B1 = nA, (4)
m2 + n2 = 1,
e
|m| ≤ 1, |n| ≤ 1.
Segue daqui que sempre e´ poss´ıvel encontrar um valor b1, tal que,
cos b1 = m, sen b1 = n. (5)
Substituindo em (3) as expresso˜es obtidas em (4) e (5), obtemos
y = A(cos b1. sen a1x+ sen b1. cos a1x),
isto e´,
y = A sen(a1x+ b1).