Lista de Calculo

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
INSTITUTO DE BIOFÍSICA CARLOS CHAGAS FILHO 
MÉTODOS MATEMÁTICOS EM BIOLOGIA -2010/1 
1ª. Lista de exercícios 
1) Escreva a expressão analítica das funções que têm as seguintes “receitas” 
matemáticas: 
a. Primeira função, y=f(x): 
1º. Passo: tome x e quadre; 
2º. Passo: calcule o logaritmo neperiano do resultado do 1º. passo; 
3º. Passo: calcule o logaritmo na base 10 do cubo de x e some ao 
resultado do 2º. Passo; 
4º. Passo: some ao resultado obtido até aqui o seno da metade do 
arco x. 
Resposta 
)2/(lnlog)( 23 xsenxxxf 
 
 
b. Segunda função, y=g(t): 
1º. Passo: tome t e calcule seu logaritmo neperiano; 
2º. Passo: quadre o resultado do 1º. Passo; 
3º. Passo: some o resultado até aqui obtido com a tangente de do 
quadrado de t; 
4º. Passo: some finalmente o cubo da cotangente de t. 
Resposta 
322 )(cot)()(ln)( tttgttg 
 
 
c. Terceira função, y=h(u) 
1º. Passo: tome u e calcule seu logaritmo neperiano; 
2º. Passo: quadre o resultado do 1º. passo; 
3º. Passo: calcule agora o seno do resultado até aqui obtido; 
4º. Passo: some, finalmente, o quadrado do seno do valor calculado 
para o logaritmo neperiano de u ao resultado obtido até aqui. 
Resposta 
  usenusenuh ln)(ln)( 22 
 
 
2) Converta as expressões analíticas das funções abaixo indicadas em “receitas” 
matemáticas: 
a. 
x
x
xF



1
1
log)(
 
b.    )ln()()(ln)( 2232 usenutgusenufy  
 
c. 
)
1
(
1
)(
2x
sen
xF 
 
 
3) Seja 
1)(  xxfy
. Calcule: 
a. 
)( baf 
; 
b. 
)()( bfaf 
; 
c. 
)()( bfaf
); 
d. 
)(/)( bfaf
 
Resposta 
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1. 
1)(  babaf
; 
2. 
2)()(  babfaf
 
3. 
1)1)(1()()(  baabbabfaf
; 
4. 
)1/()1()(/)(  babfaf
 
 
4) Dados 
xxf 1)(
 e 
xxg 1)(
, calcule: 
a. 
)2(/)2( gf
 
b. 
 )2(gf
 
c. 
 )2(fg
 
d. 
)()( agaf 
 
 
Resposta 
1. 
3)2(/)2( gf
; 
2. 
  0)2( gf
 
3. 
  2)2( fg
; 
4. 
( ) ( ) 0f a g a  
 
 
5) Seja a função 
2)( xxfy 
. Prove que: 
a. 
))(()()( xyxyxfyf 
 
b. 
22)()( hxhxfhxf 
 
c. 
)(4)2( yfyf 
 
d. 
22 )()( tftf 
 
 
6) .Seja a função 
24)( xxgy 
. Obtenha: 
a. 
)( xg 
 
b. 
)2( yg
 
c. 
)
1
(
t
g
 
Para cada uma das funções obtidas, explicite o respectivo domínio de 
definição. 
 
Resposta 
 
1. 
( ) ( ) 2 2g x g x x    
; 
2. 
2(2 ) 2 3 3 3g y x x    
 
3. 21 4 1 1
( ) 0
2
t
g t e t
t t

  
; 
 
7) Seja a função definida como: 









212
101
)(
xpara
xpara
xf
 
a. Esboce o gráfico da f(x) 
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b. Seja 
)2()( xfxg 
. Descreva o domínio de g(x) e esboce o seu gráfico; 
c. Seja 
)2()(  xfxh
. Descreva o domínio de h(x) e esboce o seu gráfico; 
d. Seja 
)2()2()(  xfxfxk
. Descreva o domínio de k(x) e esboce o seu 
gráfico. 
 
Resposta 
a. Gráfico de f(x) 
 
b. função g(x)=f(2x), 









1
2
1
2
2
1
01
)(
x
x
xg 
como mostrado no gráfico abaixo 
 
 
c. 
)2()(  xfxh
 
A função f só está definida para valores do seu argumento compreendidos 
nas faixas indicadas: [0,1] e (1,2]. Portanto para calcular a função h, temos 
que ter 
120  x
 e 
221  x
, o que fornece para h(x) o domínio de 
definição: 
32  x
e 
43  x
. A função h(x) será portanto 
 






432
321
)(
x
x
xh
 
 
 
1 
1 2 
2 
1 
1 2 
2 
1/2 
g(x) f(x) 
1 
1 2 
2 h(x) f(x) 
3 4 1/2 
g(x) 
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d. 
)2()2()(  xfxfxk
 
A função k(x) não está definida. 
8) A função 
)(xf
está definida no intervalo [0,2] da seguinte maneira: 









21
10
)(
3
xparax
xparax
xf
 
a. Esboce o gráfico da função; 
b. Faça uma transformação que desloque a curva para a esquerda de 3 
unidades; dê o domínio de definição da função em termos dessa nova 
variável; esboce o gráfico em termos dessa nova variável 
RESPOSTA 
a. 
grafico de f(X)
0
0,5
1
1,5
2
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2
X
f(x
)
FX
; 
 
A nova função será f(x+3). Igualmente, o argumento de f tem que obedecer as regras de 
sua formação: 
130  x
 e 
231  x
. Analiticamente 
 






12
23
)(
3
xx
xx
xg
 
As duas funções estão mostradas no gráfico abaixo. 
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
-3 -2 -1 0 1 2
f(x+3)
f(x)
 
 
9) Seja 
4)2()(  xxfy
. Faça a transformação 
2 xu
. a) Esboce o gráfico 
uXuf )(
. b) Esboce o gráfico 
2)( uXuf
. c) Esboce agora o 
gráfico 
.)( 4uXuf
e) Diante destes três resultados gráficos, pergunta-se: 
representam eles uma mesma função ou, três funções distintas? f) Esboce o 
3º.gráfico em termos da variável x. g) Em termos de gráfico, a qual operação 
corresponde a transformação 
2 xu
? h) Qual o valor de 
)(xfy 
 para 
5u
? E para 
5x
? 
 
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RESPOSTA 
Grafico de f(x)
0
200
400
600
800
1000
1200
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x, u
f(x
) f(x)
f(u)
 
 
Na figura acima estão mostrados os gráficos de f X a variável x e a variável u=x-2. 
As curvas estão apenas deslocadas horizontalmente de duas unidades. Atente para o 
fato de. A curva em vermelho corresponde a f X u e a azul a f X x. Portanto, quando 
estiver analisando a curva vermelha, os valores marcados no eixo horizontal 
correspondem àqueles que a variável u está assumindo. Analogamente, quando a 
curva em questão for a azul, os valores marcados no eixo correspondem aos valores 
que x está assumindo; dispensável dizer que u e x estão amarrados pela 
transformação u=x-2. 
 
Na figura a seguir mostramos, simultaneamente, os três gráficos pedidos: f(u) X u, 
f(u) X u2 e f(u)X u4. Atente para o fato que o eixo horizontal está sendo usado, 
simultaneamente, para u, u2 e u4.Vale, por conseguinte a mesma observação feita 
anteriormente para cada uma das curvas mostradas. 
 
-100
0
100
200
300
400
500
600
700
0 25 50 75 100
u, u^2, u^4
f(u
)
f(u)
f(u 2^)
f(u 4^)
 
 
Em realidade, não se trata aqui de três funções distintas, mas da mesma função 
representada em função de u, u2 e u4, ou a mesma função representada após uma 
mudança de variável, em cada caso. Note que se formos escrever a equação da curva 
verde, a reta, escreveremos f(u)=u4 
 
Para u=5, teremos f(5)=254=390625, Para x=5, teremos f(5)=(5-2)4 =34=81. 
 
10) Mostre que a equação da reta que passa pela origem, y=ax, em coordenadas 
polares é 
aarctgcte 
, com >0