Introdução à Geofísica - Aula 06 (Gravimetria)

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GRAVIDADE DA TERRA: 
Introdução à teoria do potencial; Campo de 
gravidade da Terra; Medidas de Gravidade; Redução 
de observações gravimétricas; Marés terrestres; 
Anomalias gravimétricas e o Interior da Terra, 
Isostasia 
Prof. 
George Sand L. A. De 
França
 2
Princípios fundamentais 
 Gravitação  propriedade fundamental da 
matéria, manifestando-se em qualquer escala 
de grandeza, desde da atômica até a cósmica. 
 Levantamento gravimétrico – podemos definir 
como a investigação na variação do campo 
gravitacional terrestre por diferença de 
densidade entre as rochas no interior da 
terra. 
 Aplicação: Exploração de Petróleo, 
Exploração mineral, Arqueologia, vínculo na 
interpretação sísmica, estudos tectônicos etc.
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Princípios fundamentais 
 Descritos pela lei da gravitação universal de 
Newton. 
 Base do Levantamento gravimétrico
 G=6,67x10-11 m3kg-1s-2
 A aceleração da massa m1 devida à presença 
da massa m2 é (F=ma) ou mg
  é uniforme
F=
Gm1m2
r2
m2 g=
Gm1m2
r2
→ g=
Gm1
r2
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Princípios fundamentais
 O potencial gravimétrico devido a m1
 Observe também
 Logo, temos que o potencial gravimétrico e a 
aceleração da gravidade causados por uma esfera 
de massa M é em qualquer ponto exterior à esfera 
igual ao causado por uma concentração de massa 
M localizada no centro da esfera é 
 Unidade 1 gal = 1 cm/s2
V=
Gm1
r
a=
Gm1
r2
=− ∂
∂r (Gm1r )=−∂V∂ r
a=−grad V=−∇ V
a= GM
r2
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Princípios fundamentais
 Exercício 1 – Calcule a gravidade para a Terra supondo que 
ela é perfeitamente esférica e tem massa M=5,97x1024 kg. 
Para um ponto à superfície da Terra vem que r = R (raio da 
Terra) e o valor da aceleração da gravidade.
 A equação ao depende apenas da distância entre duas esferas 
e da massa M, que cria um campo de aceleração a, ao seu 
redor, o que é igual em todas direções (isotrópico).
 Essa característica faz com que o corpo, mesmo possuindo 
massa muito mais elevada, produza campo menos intenso do 
que outro, com massa muito menor, mas situado mais próximo. 
• Ex. Meteoritos, embora sendo atraídos pelo Sol, muito deles 
acabam caindo na Terra, de massa menor, ao passarem em órbita 
próxima.
a= GM
r2
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Princípios fundamentais
 A Terra executa um movimento de rotação 
ao redor de si mesmo no período de 24 
horas, qualquer ponto do seu interior ou da 
superfície sofre o efeito da aceleração 
centrífuga dada pela expressão: ac=2r, 
onde =2/T é a velocidade de rotação, T é 
o período e r é a distância do eixo de 
rotação. 
 Os únicos locais onde não há aceleração 
centrífuga são aqueles situados sobre o eixo 
de rotação, ou seja, nos polos.
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Princípios fundamentais
 A soma vetorial da aceleração 
gravitacional é da aceleração 
centrífuga é denominada de 
aceleração da gravidade ou 
simplesmente GRAVIDADE.
• g=a+ac=Gm/r² + w²r
 Intensidade e direção variam 
conforme a posição sobre a 
superfície terrestre.
 Observando a e ac, podemos 
observar que g é máxima nos 
polos e igual a a, diminuindo 
gradualmente em direção ao 
Equador. 
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Medições da Gravidade
 1) Gravidade Absoluta (gravímetros absolutos)
Medida sob condições de laboratório utilizando experimentos 
cuidadosos empregando dois métodos possíveis;
- Corpo em queda;
- Pêndulo
 Utilizado para fornecer valores absolutos de g como padrões 
internacionais.
 2) Gravidade Relativa (gravímetros diferenciais)
Na maioria das aplicações, somente a variação da gravidade relativa a 
uma estação principal é necessária.
As Leituras das Medições são gravadas em estações secundárias para 
que as diferenças relativas sejam bem conhecidas.
 Maior sensibilidade 
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Instrumentação
 Gravímetros 
 As medições da gravidade fazem-se usando 
o princípio da distensão de uma mola. A 
extensão da mola é proporcional à força (lei 
de Hooke), logo 
– mg=ks 
– s=gm/k. SY
 Gravímetros estáveis
 consistem de uma massa fixa no fim de uma 
haste, com pivots em um fulcro, e balanceado 
por uma mola tencionada 
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Instrumentação
Em um sistema estável, a massa retornará 
a posição de equilíbrio após pequenas 
perturbações.
Gravímetros Instáveis
Nos sistemas instáveis, a massa continua a 
se mover 
- Gravímetro Lacoste & Romberg
- Gravímetro Askania
A haste é equilibrada na mola principal. um 
feixe de luz é refletido a uma célula 
fotovoltaica. A Deflexão da massa altera a 
direção do feixe luminoso e altera a 
voltagem no circuito.
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Forma da Terra
https://youtu.be/ThcMzqlSwYo
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Forma da Terra
 Raio equatorial 6.378 km e raio polar 6.357 km.
 A forma da terra mais realístico é um esferoide achatado nos 
polos
• Nos polos, os objetos são levemente mais pesados que no Equador.
 Grau de deformação do esferoide
• f=(a-c)/a  a raio equatorial, c é o raio polar e f é o achatamento. 
 Com a suposição de que a terra possui densidade constante e 
é constituída por um fluído em perfeito equilíbrio hidrostático. 
Newton calculou o achatamento de 1/230. Hoje, com 
conhecimento sobre a velocidade de rotação da Terra e suas 
dimensões, o achatamento polar teórico 1/299,5.
 Este resultado  parte do interior da Terra comporta-se como 
um fluído. 
• As rochas do manto terrestre comportam-se como um sólido elástico 
em curtos intervalos de tempos (segundos), durante a passagem das 
ondas sísmicas, e como um fluído viscoso na escala do tempo 
geológico.
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Princípios fundamentais
Definições importantes 
• Superfície equipotencial – Superfície em 
que o V é constante.
• GEÓIDE- Corresponde mesma 
superfície ao nível médio do mar.
• É um método de fonte Natural e a 
gravidade é uma propriedade inerente 
da rocha.
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Interpretações 
 Anomalia? É a diferença entre o valor da 
gravidade observada (depois de corrigida) e 
o valor teórico. 
 Parâmetro medido? Não é densidade, e 
sim, o contraste de densidade.
 Valor médio é 9,80 m/s2. Devido ao 
movimento de rotação e a achatamento, o 
valor da gravidade diminui cerca de 5,3 Gal 
dos polos ao Equador, além disso, atração 
exercida pelo Sol e pela Lua, bem como as 
diferenças de altitudes entre os pontos de 
medidas causam alteração no valor da 
gravidade.
 É necessário quantificá-las e eliminá-las 
para, então estudar aquelas variações 
causadas pela diferenças na composição e 
estrutura da crosta ou manto superior da 
Terra. 
Fonte: Boyd T., M. Colorado University
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Densidade dos materiais terrestres 
 Crosta Continental
• 2,6 g/cm3
 Crosta Oceânica
• 2,8 g/cm3
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Levantamento gravimétrico
Só na vertical!
 Os gravímetros só conseguem 
medir a componente vertical da 
atração gravitacional devida a uma 
massa anômala. Consideremos o 
efeito gravitacional de uma massa 
anômala g, cujas componentes 
horizontal e vertical são gx e gy, 
respectivamente
 Como os termos em 2 são muito 
mais pequenos que os restantes 
podemos ignorá-los. Usando a 
expansão binomial sobre esta 
equação, obtemos que
g+δg=( (g+δgz)2+δg x2 )1/2
(g2+2gδgz+δgz2+δgx2 )
1/2
δg≈δgz
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Como seria anomalia?
 Anomalia de uma massa 
pontual m a uma 
distância r da massa
Como só a componente 
vertical da atração, gz, 
é mensurável, a 
anomalia g provocada 
pela massa é dada por
Δgr=
Gm
r2
Δg=Gm
r2
cosθ= Gm
r 3
x
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Corpos irregulares.
 As anomalias de 
corpos irregulares 
são calculadas por 
integração numérica 
 Anomalia de um 
elemento de massa 
de forma irregular. 
Δg=∭Gρ (z'−z )
r3
dx'dy'dz'
Lascou!!!!
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Será que temos condições de fazer 
 um levantamento gravimétrico?
 O espaçamento das estações varia;
2 a 3 km2 para pesquisas regionais8 a 10 por km2 para pesquisa de hidrocarbonetos
5 a 50 m para trabalhos de precisão, como arqueologia
0,5 m para trabalhos de Microgravidade
 Redução das medições
 Antes de os resultados de um levantamento gravimétrico 
poderem ser interpretados é necessário proceder à correção 
de todas as variações do campo gravimétrico da Terra que não 
resultam de diferenças de densidade do sub-solo.
 Este processo é conhecido por reduções da gravidade ou 
reduções ao geoide, já que o nível do mar é o nível de 
referência mais apropriado.
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Correção gravimétrica 
✔ Após as medições das gravidades, delas devem ser 
removidos os efeitos gravitacionais: latitude, altitude, 
topografia, maré e instabilidade do equipamento.
✔ Os valores resultantes representam o efeito gravitacional da 
anomalia de densidade em subsuperfície 
✔ Conforme o caso, a remoção do efeito denomina-se correção 
de:
✔ CLAT latitude (latitude)
✔ CAL ar-livre (altitude)
✔ CB Bouguer (topografia)
✔ CT Terreno (topografia)
✔ CD deriva (marés e instabilidade do equipamento)
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Correção gravimétrica 
● Cada correção é calculada isoladamente para 
cada local de medição.
● Para cada local, os valores das correções serão, 
então, funções da localização geográfica, da 
cota, da topografia relativa na sua vizinhança, e 
do instante em que a medida foi feita. 
● Elas são somadas ao valor de gravidade 
observado. 
● gbouguer =gOBSERVADO +CLAT-CAL+CB+CT+CD
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Correções dos dados 
Deriva
 Correção da deriva instrumental
• É baseada em leituras repetidas numa estação base 
(ao longo do tempo do levantamento). As medições 
são em função do tempo e admite-se que a deriva é 
linear entre as várias leituras. A correção da deriva 
num tempo t é d, que a seguir é corrigida do valor 
observado.
 
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Correção de Deriva
● Variações temporais para o levantamento 
gravimétrico
● Efeito devido as marés
● Deriva instrumental que se manifesta como 
uma falsa variação contínua da gravidade 
com o tempo.
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Correção de Deriva exemplo
●Tomando a estação A base como 
referência quanto a variação da 
gravidade, tem-se que de 09:10 às 
10:00, a gravidade reduziu a taxa 
de 0,0214 mgal/min, e de 10:00 às 
11:00, aumentou a 0,01833 
mgal/min.
●Os valores de C0 correspondem a 
correção a ser aplicada para 
reduzir os dados observados para 
as 10:10 horas. Assim, 
●C0(C) = -0,01833x10 + 0,0214x50 = 
0,89
Estação Hora gobs 
(mgal)
C0 
(mgal)
A (base) 09:10 234,45 0,00
B 09:30 220,77 +0,43
A (base) 10:00 233,38 ----
C 10:10 225,32 +0,89
D 10:40 236,57 +0,34
A (base) 11:00 234,48
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Correções dos dados 
Latitude
 Correção de latitude
 Como já mencionamos, o valor da aceleração da gravidade é 
afetado pelo valor da aceleração centrífuga (grot = g - w2Recos2) 
e pela forma da superfície da Terra (esferoide achatado) que é 
conhecida matematicamente. Assim, existe uma fórmula teórica 
para o cálculo da aceleração da gravidade à superfície da Terra:
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Correções dos dados 
Latitude
 A fórmula de Clairaut relaciona a gravidade com a latitude 
no esferóide de referência “Geodetic Reference formula of 
GRS-80” Moritz, 1984)
 G0 = 9780332,7 ; k1= 0,0053024; k2 = 0,0000058
 1 Gal = 1 cm/s² 
 O valor de g dá-nos uma previsão da gravidade, ao nível 
do mar, e deve ser subtraído ao valor observado para se 
obter a correção da latitude.
 Como a gravidade aumenta do Equador para os polos 
geográficos, a correção será positiva se a estação da 
medida encontrar-se mais próxima do Equador que o local 
da referência.
gφ=g0 (1+k1sen2 φ−k2 sen22φ) mGal
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Correção de latitude 
● Tendo por referência a expressão da gravidade no 
elipsoide, a taxa da correção de latitude é deduzida como
● CLAT = 0,812 sen(2G) x dNS mgal
onde G é a latitude média da região e dNS, a distancia N-
S (km) entre a estação a ser corrigida e uma linha de 
base de referencia E-W
● Exemplo: CLAT = 0,812sen(2x15 )x ⁰ dNS 
.
Sato-UFBA
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Correções dos dados 
Altitude 1- Ar-Livre
 Correções de altitude
 As correções para compensar o fato das estações de observação 
poderem estar a altitudes diferentes são feitas em três partes. 
 1- Correção de ar livre, corrige o decréscimo de g em função da 
altitude (ou seja, admitindo que não existe qualquer massa entre o 
ponto de observação e o nível de referência), resultante do aumento da 
distância ao centro da terra. 
 CAL = 0,3086h mgal
 A correção de ar livre é positiva para um ponto de observação situado 
acima do nível de referência, corrigindo assim o decréscimo de g com 
a altitude em metro. 
 
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Correção Ar-livre (Exemplo)
● Como mostra a figura, 
a diferença de cota ser 
considerada é entre a 
do local da medida 
para a cota do 
“datum”.
Assim, a correção Ar-
livre A, B e C 
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Correções dos dados 
Altitude 2- Bouguer
 Correção de Bouguer, a segunda das correções de altitude, 
remove o efeito da massa, fazendo no entanto a aproximação 
de que a camada de rochas abaixo do ponto de observação é 
uma placa horizontal finita com uma espessura igual a 
h(metro). A correção de Bouguer é dada por
 CB= 0,04191h mgal
  é a densidade média da camada em g/cm³ e h em metros.
 Em terra a correção de Bouguer deve ser subtraída para 
compensar a atração exercida pelo material entre o ponto de 
observação e o nível de referência. No mar, deve ser 
adicionada, sendo o seu valor obtido da aplicação da relação
 2G(r-a)z
 onde z representa a profundidade e r e a as densidades da 
rocha e da água respectivamente.
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Correção Bouguer - Exemplo
● Considerando a figura, a expressão para 
a CB = 0,113 ∆h mgal
●As correções ficam
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Correções dos dados 
Altitude 2- terreno ou topográfico
• Correção do terreno - Esta correção é positiva 
quando por exemplo; a parte A da figura C 
abaixo foi levada em consideração quando na 
verdade não existe, e é por isso preciso 
necessário repô-la. Quanto à parte B, ela foi 
excluída da correção, mas exerce uma atração 
para cima (no ponto de observação) e provoca 
por isso uma diminuição da gravidade.
 
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Correções dos dados
Maré
 Correção de Maré
 As marés terrestres, fazem com que a elevação do ponto 
de observação varie. Enquanto que no caso marinho a 
amplitude da variação pode ir desde menos de 1 m até 
quase à dezena de metros, no caso continental as 
variações atingem no máximo alguns cm.
 As variações da gravidade devidas à maré terrestre têm 
um máximo de amplitude de aproximadamente 0,3 mgal 
e um período próximo de 12h. Os efeitos de maré podem 
ser calculados e existem também sob a forma de tabelas 
publicadas na literatura.
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Correções dos dados
Eötvös
 Correção de Eötvös
 Esta correção deve ser aplicada quando o 
gravímetro se encontra baseado numa 
plataforma em movimento (barco ou avião) e 
depende da direção do movimento. 
Dependendo da direção desse movimento, a 
aceleração centrífuga adiciona-se ou subtrai-
se à da gravidade. A correção é
 CE = 7,503 v sen cos + 0,004154v2 mgal
 onde v é a velocidade,  o azimute e  a 
latitude. 
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Correções dos dados
Afinal o que resta? 
 Anomalia Bouguer total - aplica todas 
correções
 g=gobs – gteo
 gteo = g-CAL+CB±CD±CT
 Anomalia Bouguer simples – omite a correção 
ar livre e topográfica ao mesmo tempo
 Anomalia Ar-livre – omite a correção Bouguer
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Atividade
● Calcule as correções da sua casa.
Lat, longitude, g observado e as 
correções.
Próxima aula!!! 
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Referencias
Bibliografia
1. TELFORD, W. M., L. P. GELDART, & R. E. SHERIFF, 
Applied Geophysics, 2a Edição. Cambridge University 
Press, 1990.
2. CUNNINGHAM,M. Gravity Surveying Primer. A nice set 
of notes on gravitational theory and the corrections 
applied to gravity data.
3. TEIXEIRA W., et. al , Decifrando a Terra. São Paulo: 
Oficina de Textos, 2003.
4. KEAREY P. & M. BROOKS. An Introduction to 
Geophysical Exploration. 2ª. Edição. Blackwell Science 
Ltd Editorial. 
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