P1 Cálculo 3 - UTFPR Pb

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Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´
UTFPR — Caˆmpus Pato Branco
CD23NB — 3EL — 2017/1
Primeira avaliac¸a˜o - R — 12/05/2017
Nome:
RA:
Quest. Nota
1
2
3
4
5
6
7
Total
Na correc¸a˜o da avaliac¸a˜o sera˜o consideradas somente as questo˜es que apresentarem justificativa. A resposta
final deve ser escrita a caneta (azul ou preta). A interpretac¸a˜o das questo˜es e´ parte da avaliac¸a˜o.
1. (1,0 ponto) Escreva uma parametrizac¸a˜o para o segmento de reta que vai do ponto (1, 2, 0) ate´ o
ponto (2, 1, pi).
2. (1,0 ponto) Escreva uma parametrizac¸a˜o para o c´ırculo que esta´ no plano z = pi com centro em
(0, 0, pi) e raio R = 2.
3. (1,0 ponto) Escreva uma parametrizac¸a˜o para o disco que esta´ no plano z = pi com centro em (0, 0, pi)
e raio R = 2.
4. (1,0 ponto) Escreva uma parametrizac¸a˜o para a parte do cilindro x2+y2 = 9 que esta´ entre os planos
z = −1 e z = 3.
5. (1,0 ponto) Calcule o rotacional do campo vetorial definido por F (x, y, z) = (z2, 2xy, 4y2).
6. (2,5 pontos) O trabalho realizado pelo campo vetorial F para deslocar uma part´ıcula ao longo da
curva C e´ W =
∫
C
F ·dr. Calcule o trabalho realizado pelo campo de forc¸as F (x, y, z) = (z2, 2xy, 4y2)
para mover uma part´ıcula ao longo da curva C formada por segmentos de reta partindo da origem ao
ponto (2, 0, 0), ao ponto (2, 2, 1), ao ponto (0, 2, 1) e de volta a` origem.
Obs. Se r(t), com t ∈ [a, b], e´ uma parametrizac¸a˜o da curva C enta˜o
∫
C
F · dr =
∫ b
a
F (r(t)) · r′(t) dt.
7. (2,5 pontos) O fluxo do campo vetorial F atrave´s da superf´ıcie S e´ Φ =
∫∫
S
F · n dS, sendo n o
vetor unita´rio normal a` S. Se r(u, v), com (u, v) ∈ D, e´ uma parametrizac¸a˜o da superf´ıcie S enta˜o
Φ =
∫∫
D
F (r(u, v)) · (ru × rv) dA. Determine o fluxo do campo F (x, y, z) = (x3, y3, z2) para fora da
superf´ıcie da regia˜o delimitada pelo cilindro x2 + y2 = 9 e pelos planos z = 0 e z = 2.
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