Processos Estocásticos / Apresentação / Revisão de Probabilidade

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Processos Estocásticos
Prof.º. Me. Octávio Torres
Apresentação
• Nome
• Onde trabalha
• Usa estatística no seu trabalho ou dia-a-dia?
• O que achou das disciplinas de estatística que já fez até hoje?
O que é processo estocástico?
• É o estudo de processos aleatórios;
• Sistemas nos quais os estados mudam ao longo do tempo;
• As mudanças são aleatórias mas, estão associadas à alguma distribuição de 
probabilidade, logo, têm um certo nível de previsibilidade.
Exemplos de aplicação
Dois políticos disputam entre si uma cadeira no Senado. Os planos de campanha •
precisam ser feitos agora para os dois dias finais, que devem ser cruciais em razão do 
fechamento da campanha eleitoral. Consequentemente, ambos os políticos querem 
gastar esses dias fazendo campanha em duas cidades-chave, Bigtown e Megalópolis. 
Para evitar desperdício de tempo de campanha, eles pretendem viajar à noite e passar 
um dia inteiro em cada cidade ou, então, dois dias inteiros em apenas uma das 
cidades. Entretanto, já́ que os preparativos necessários precisam ser feitos com 
antecedência, nenhum dos políticos saberá́ da programação de campanha de seu 
oponente até ele ter terminado sua própria programação. Consequentemente, cada 
politico solicitou a seus coordenadores de campanha em cada uma dessas duas 
cidades para avaliar qual seria o impacto (em termos de votos ganhos ou perdidos) 
das diversas combinações possíveis de dias passados lá́ por ele próprio e por seu 
oponente. Depois disso, ele deseja usar essas informações para escolher a melhor 
estratégia sobre o emprego desses dois dias.
Exemplos de aplicação
• Duas empresas compartilham a maior parte do mercado para determinado 
tipo de produto. Cada uma delas está elaborando seus novos planos de 
marketing para o próximo ano na tentativa de tirar parte das vendas do 
concorrente. As vendas totais para o produto são relativamente fixas, de modo 
que uma empresa possa aumentar suas vendas somente tirando-as da outra. 
Cada empresa considera três POSSIBILIDADES: 1) embalagens melhores para 
o produto, 2) aumento na propaganda e, 3) uma ligeira redução de preço. Os 
custos das três alternativas são bastante comparáveis e suficientemente 
grandes para que cada empresa selecione apenas uma. Qual a melhor 
estratégia? Por que? 
Exemplos de aplicação
• A Goferbroke Company é proprietária de uma área de terra que pode conter 
petróleo. Um geólogo consultor relatou à direção que ele acredita que haja 1 
chance em 4 de encontrar petróleo. 
Em virtude dessa possibilidade, outra companhia petrolífera ofereceu US$ 
90.000 para a compra do terreno. Entretanto, a Goferbroke considera a 
possibilidade de permanecer com o terreno de modo que ela própria possa 
perfura-lo em busca de petróleo. O custo de perfuração é de US$100.000. Se for 
encontrado petróleo, a receita esperada resultante será de US$800.000, de forma 
que o lucro esperado da empresa (após a dedução do custo de perfuração) será de 
US$700.000. A empresa arcará com perda de US$100.000 (o custo de perfuração) 
caso o terreno seja seco (sem nenhum petróleo). Qual a melhor decisão?
Exemplos de aplicação
• O departamento Atlético da Leland University estuda a possibilidade de 
realizar uma ampla campanha no próximo ano para arrecadar fundos para um 
novo centro de treinamento. A resposta à campanha depende muito do 
sucesso do time de futebol nessa temporada. No passado, essa equipe ganhou 
o campeonato 60% das vezes. Se o time de futebol ganhar o campeonato 
nessa temporada, então, muitos dos ex-alunos contribuirão e a campanha 
levantara US$3mi. Se o time perder o campeonato, poucos contribuirão e a 
campanha perderá US$2mi. Se não for realizada nenhuma campanha, não 
haverá nenhum custo envolvido. Em 1º de setembro, logo antes de a 
temporada ser iniciada, o Departamento Atlético precisa decidir se deve ou 
não empreender a campanha no ano que vem.
Exemplos de aplicação
Uma companhia telefônica contratou um analista de PO para analisar sua •
posição de mercado. Ela está preocupada em relação às suas duas maiores 
concorrentes, uma vez que a cada mês tem aumentado o número de clientes 
que solicitam portabilidade da linha telefônica. O objetivo do estudo é 
estimar a participação de mercado da companhia telefônica e de suas 
concorrentes nos próximos meses.
Neste semestre vamos estudar:
• Teoria dos Jogos
- Jogos simples – jogos de soma zero
- Jogos de soma não zero
- Jogos de estratégia mista
• Análise de Decisão
- Processo analítico hierárquico - AHP
- Tomada de decisão com e sem experimentação
- Árvores de decisão
• Cadeias de Markov
- Definições de uma cadeia de Markov
- Estados em uma cadeia de Markov
- Cadeias de Markov de tempo contínuo
- Probabilidade de transição, estados de equilíbrio e tempo médio de passagem
- Processos de Decisão de Markov
• Simulação
- Aplicações de simulação
- Geração de números aleatórios
- Geração de observações aleatórias de uma distribuição de probabilidades
Bibliografia
Distribuição de pontos
ITEM VALOR
A1 (atividade em sala) 10
D1 (Prova) 20
A2 (atividade em sala) 10
D2 (Prova) 20
D3 (Prova) 20
PA 10
LABORATÓRIOS 10
Datas importantes:
04/04 – ORIENTAÇÃO PA
04/04 – ATIVIDADE AVALIATIVA (8 PONTOS)
11/04 – PROVA D1 (20 PONTOS)
16/05 – ORIENTAÇÃO DE PA
30/05 - ATIVIDADE AVALIATIVA (10 PONTOS)
30/05 – PROVA D2 (20 PONTOS)
20/06 – PROVA D3 (20 PONTOS)
04/07 – PROVA ALTERNATIVA (40 PONTOS)
Revisão de Probabilidade
Conceitos necessários
• Definições de Probabilidade
• Probabilidade Condicional e Teorema de Bayes
• Distribuições de Probabilidade
Experimento Aleatório
Um experimento que pode fornecer diferentes resultados, muito embora seja 
repetido toda vez da mesma maneira.
Exemplo: 
• Contar o número de ligações em uma companhia telefônica, em uma hora;
• Contar o número de itens defeituosos em um lote de 50 peças;
• Selecionar um tubo e medir seu diâmetro...
Espaço Amostral
O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. 
O espaço amostral é denotado por S.
Exemplo:
• Número de ligações em uma companhia telefônica: 0 a ? 
(S = Números naturais )
• Número de peças defeituosas no lote de 50 itens: 0 a 50.
( S = 0, 1, 2, 3, ..., 50)
• Diâmetro do tubo. (S = R*+) 
Eventos
• Um subconjunto do espaço amostral é conhecido por evento.
Exemplo:
• Uma companhia telefônica receber menos que 4 ligações
• Um lote apresentar exatamente 1 peça defeituosa
• Um tubo apresentar 12’’ de diâmetro.
Probabilidade: Definição Frequentista
• Considere que o espaço amostral contenha n elementos. Seja A um evento 
contido no espaço amostral e seja nA o número de elementos do evento A. 
Então denotamos a probabilidade de A por:
• Que é simplesmente a frequência relativa de A
Exemplo:
• Discos de plástico de policarbonato, provenientes de um fornecedor, são 
analisados com relação à resistência a arranhões e a choque. Os resultados 
de 100 discos estão resumidos a seguir:
Resistência a choque
Total
Alta Baixa
Resitência a 
arranhões
Alta 70 9 79
Baixa 16 5 21
Total 86 14 100
Exemplo:
• Considere os seguintes eventos:
A: O disco tem alta resistência a Arranhões
C: O disco tem alta resistência a Choque
Calcule a probabilidades:
P(A) = ?
P(C) = ?
P A ∩ 𝐶 = ?
P(A U C) = ?
• Se P(A)=0,3, P(B) = 0,2 e P(A∩B)=0,1 determine:
a) P(A’)
b) P(A∪B)
c) P(A’∩ B)
d) P(A∩B’)
e) P[(A ∪ B)’]
f) P(A’ ∪B) 21
Exemplo:
Probabilidade Condicional
• É a probabilidade de ocorrência de um segundo evento B, 
conhecendo-se o resultado da ocorrência de um primeiro evento A, 
com P(A)>0.
• O símbolo “|” lê-se: “Sabendo que” ou “dado que”
• Obs.: A ocorrência do primeiro evento, restringe o espaço amostralpara ocorrência do segundo evento.
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EXEMPLO
• A tabela abaixo mostra o resultado de 400 itens classificados por falhas na superfície e 
como defeituosos (funcionalmente).
• Sejam os eventos:
D – O item é defeituoso
F – O item tem falha na superfície
Defeituoso
Falha na Superfície
Total
Sim Não
Sim 10 18 28
Não 30 342 372
Total 40 360 400
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EXEMPLO
Defeituoso
Falha na Superfície
Total
Sim Não
Sim 10 18 28
Não 30 342 372
Total 40 360 400
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EXEMPLO:
a) Calcule P(A|C). Interprete.
b) Calcule P(C|A). Interprete.
Resistência a choque
Total
Alta Baixa
Resistência a 
arranhões
Alta 70 9 79
Baixa 16 5 21
Total 86 14 100
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a) P(A|C) = 70/86 b) P(C|A) = 70/79
Teorema de Bayes
Teorema de Bayes
• De acordo com o teorema de Bayes podemos utilizar probabilidades a 
priori para descobrir probabilidades a posteriori. Este cálculo pode ser 
realizado a partir da equação abaixo:
𝑃 𝐴 𝐵 =
𝑃 𝐵 𝐴 . 𝑃(𝐴)
𝑃(𝐵)
Fundições Pereira Ltda.
• A empresa fundições Pereira Ltda. recebe remessas de peças de dois 
diferentes fornecedores. Atualmente, 65% das peças são compradas do 
fornecedor 1 e os 35% restantes são adquiridos do fornecedor 2. De uma 
remessa de peças do fornecedor 1, constatou-se que 98% são boas e de uma 
remessa do peças do fornecedor 2, constatou-se que 95% são boas. Uma 
peça utilizada na produção quebrou. Portanto, a peça é ruim. Determine a 
probabilidade de que a peça tenha sido fornecida pelo fornecedor 1.
P(F1|R) = 0,4262 OU 42,62%
Câncer
• A estatística mostra que 30% de todos os homens tem alguma forma de 
câncer de próstata. O teste PSA dará positivo 90% das vezes para homens 
afetados e 8% das vezes para homens sãos. 
a) Se um homem fez o teste PSA e teve resultado positivo, qual a 
probabilidade de que ele realmente tenha câncer de próstata?
b) Se um homem fez o teste PSA e teve resultado negativo, qual a 
probabilidade que ele realmente não tenha câncer de próstata?
Exercício: Baterias
Um varejista recebe • 75% de suas baterias da Fábrica A e 25% da fabrica B. 
Sabe-se que as porcentagens de baterias defeituosas produzidas por A e B 
são 1% e 2%, respectivamente. Um cliente acabou de comprar uma bateria 
aleatoriamente do varejista.
Qual é a probabilidade de a bateria ser defeituosa?a)
Se a bateria que você comprou estiver defeituosa, qual é a probabilidade b)
de ela ter vindo da fabrica A?
Distribuições Discretas de Probabilidade
O que são?
• É conjunto das probabilidades de cada resultado de um experimento 
aleatório.
• Ou seja, é o conjunto das probabilidades de uma Variável Aleatória;
• Isso é feito em formato de um gráfico, de uma tabela ou de uma fórmula;
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Variável Aleatória
• Uma variável aleatória é uma variável (normalmente representada por x) que 
assume um único valor numérico, determinado pelo acaso, para cada resultado de 
um experimento aleatório.
• Exemplo: 
- Número de falhas em uma peça.
- Número de peças defeituosas em um lote
- Número de filhos de uma mulher
- Número de carros que passam em determinado trecho.
-etc...
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Requisitos
• A soma de todas as probabilidades deve ser 1
• Para todo valor individual de x 
• Ou seja, cada valor de probabilidade deve estar entre 0 e 1, inclusive.
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Exemplo: 
• Vamos supor que um lote de peças, quando inspecionado, pode apresentar 
0, 1, 2, 3, 4 ou 5 defeitos, não sendo possível nenhum outro número de 
defeitos. Imagine que estes valores ocorrem com as seguintes 
probabilidades:
Número de defeitos Probabilidade
0 0,1
1 0,25
2 0,15
3 0,20
4 0,20
5 0,10
Total 1,00
Média
A média de uma variável aleatória X é chamada de Esperança de X.•
Ou também valor esperado de X.•
Obs• .: Um valor esperado não precisa ser um número inteiro, mesmo que os 
diferentes valores possíveis de x sejam todos números inteiros.
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Variância e Desvio-padrão
• Variância
• Desvio-padrão
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Exemplo: 
• Considere a distribuição de probabilidades para o número de defeitos. 
Encontre o valor esperado e o desvio-padrão.
Número de defeitos Probabilidade
0 0,1
1 0,25
2 0,15
3 0,20
4 0,20
5 0,10
Total 1,00
Exemplo:
Considere um cassino onde, para jogar na roleta o apostador deve pagar •
$5 por aposta. Sabendo que o prêmio é de $180, em média, quanto você 
espera ganhar se apostar no número 7?
(uma roleta tem 38 números)
39
x P(x) X.P(X)
60 0,99 59,4
-1000 0,01 -10
E(x) 49,4
x P(x) X.P(X)
80 0,95 76
-1000 0,05 -50
E(x) 26
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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
• A análise de eixos para um compressor está resumida de acordo com as 
especificações:
a) Se o eixo for selecionado ao acaso, qual a probabilidade de atender 
aos requerimentos de acabamento da superfície?
b) Qual a probabilidade de o eixo atender aos requerimentos de 
acabamento da superfície ou de aspecto arredondado?
atende aos requerimentos de aspecto 
arredondado
atende aos 
requerimentos de 
acabamento da 
superfície
Sim Não
Sim 345 5
Não 12 8
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• A análise de eixos para um compressor está resumida de acordo com as 
especificações:
c) Qual a probabilidade de o eixo selecionado atender acabamento da 
superfície e não atender aspecto arredondado?
d) Qual a probabilidade de o eixo atender a ambos os requerimentos?
atende aos requerimentos de aspecto 
arredondado
atende aos 
requerimentos de 
acabamento da 
superfície
Sim Não
Sim 345 5
Não 12 8
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Candidatura a Universidade
• Alunos que terminam a escola secundária com uma nota de no mínio 26 no 
ACT podem se candidatar à matrícula em duas universidades, A e B. a 
probabilidade de ser aceito em A é de 0,4, e em B é de 0,25. A chance de ser 
aceito nas duas universidades e de apenas 15%.
a) Determine a probabilidade de o estudante ser aceito em B, dado que A 
também o aceitou.
b) Qual é a probabilidade de conseguir a matricula em A, dado que o aluno foi 
aceito em B?