Principios de Controle P3 2015 1

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3ª Prova de Sistemas de Controle – Turma A – 30/06/2015 
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, 
Questão 1 (2,5 pontos) – Considerando um sistema cuja função de transferência senoidal é dada abaixo, 
faça o que cada item pede: 
𝐺(𝑗𝜔) =
0,1(𝑗𝜔 + 0,1)(𝑗𝜔 + 10)2
(𝑗𝜔)2(𝑗𝜔 + 100)
 
a) (1,6 ponto) Construa o diagrama de Bode (magnitude e fase) para a função acima, utilizando 
assíntotas. Escreva as inclinações das assíntotas nos gráficos: 
 
 
 
b) (0,5 ponto) Se for colocada como entrada desse sistema a função 𝑟(𝑡) = 20 ⋅ sen(𝑡 + 𝜋/4) , qual será 
a saída c(t) em regime permanente? Faça um esboço mostrando as duas funções (entrada e saída) 
em regime permanente, em função do tempo, destacando as diferenças entre as duas. Obs: 1) 
assuma que as assíntotas representam fielmente o comportamento do sistema e 2) a função seno 
acima recebe como entrada valores em radianos. 
c) (0,4 ponto) Considere o caso em que a entrada é uma função periódica não-senoidal (por exemplo: 
dente de serra, onda quadrada, etc.). Descreva brevemente como o diagrama de Bode poderia ser 
utilizado para se saber como seria o formato da saída. 
 
Questão 2 (1,5 ponto) – Considere o diagrama de Bode (magnitude) de um sistema dinâmico em malha 
aberta, conforme mostrado na figura abaixo. Assumindo que é um sistema de fase mínima, obtenha G(jω) a 
partir do gráfico. Assuma também, se necessário, que o fator de amortecimento 𝜁 de um pólo ou zero 
complexo conjugado é unitário. 
 
Questão 3 (2,0 ponto) – Considere abaixo a resposta em frequência (diagrama de Bode) em malha aberta 
𝐺(𝑗𝜔) de um sistema que funcionará em malha fechada com realimentação unitária. Não se conhece 𝐺(𝑗𝜔). 
Existe um valor de ganho K ajustável, multiplicando 𝐺(𝑗𝜔). Para o gráfico abaixo, o valor de K é unitário. Obs: 
como a questão tem resolução gráfica, é aceitável que se obtenham valores aproximados nas respostas. 
 
 
a) (0,50 ponto) Qual a margem de fase do sistema? E qual a margem de ganho? 
b) (0,50 ponto) Para que faixas de valores de K o sistema em malha fechada é estável? 
c) (0,75 ponto) Qual deve ser o novo valor de K para que o sistema, em malha fechada, tenha um fator 
de amortecimento de aproximadamente 0,9? Quais as novas margens de fase e margem de ganho 
para o novo valor de K? 
d) (0,25 ponto) Qual valor de ganho (K = 1 ou K obtido no item c) que resultará em um sistema em malha 
fechada cuja resposta a uma entrada degrau apresenta maior sobressinal? Justifique. 
Questão 4 (2,25 pontos) – Obtenha a representação no espaço de estados do sistema mecânico indicado na 
figura abaixo, em que 𝑢1 e 𝑢2 são entradas (forças) e 𝑦1 e 𝑦2 são saídas (posições). 
 
Questão 5 (1,75 ponto) – Obtenha a representação no espaço de estados do diagrama de blocos abaixo. 
Atenção: os estados 𝑥𝑖(𝑡) do modelo em espaço de estados devem ter correspondência com os sinais 𝑋𝑖(𝑠), 
ou seja, os estados devem representar os valores no tempo dos sinais destacados no diagrama de blocos. 
 
 
𝐾 ⋅ 𝐺(𝑗𝜔) 
1
𝑠 + 4
 
1
𝑠 + 2
 
1
𝑠 + 9
 
𝑈(𝑠) 𝑋2(𝑠) 𝑋1(𝑠) 
𝑋3(𝑠) 
𝑌(𝑠) 
Equações 
Bode e análise em frequência: 
𝜔𝑟 = 𝜔𝑛√1 − 2𝜁2 
𝑀𝑟 = |𝐺(𝑗𝜔)|𝑚á𝑥 = |𝐺(𝑗𝜔𝑟)| =
1
2𝜁√1 − 𝜁2
 
𝛾 = 180° + 𝜙 
𝐾𝑔 =
1
|𝐺(𝑗𝜔1)|
 
|𝐾𝑔|𝑑𝐵 = 20 𝑙𝑜𝑔 𝐾𝑔 = −20 𝑙𝑜𝑔
|𝐺(𝑗𝜔1)| 
𝜁 ≈
𝛾
100
 
 
Função de transferência a partir da representação em espaço de estados: 
Y(𝑠)
𝑈(𝑠) 
= 𝐺(𝑠) = 𝐂(𝑠𝑰 − 𝐀)−1𝐁 + 𝐷 
Matriz inversa: 
𝐀−1 =
1
det(𝐀)
⋅ adj(𝐀), 𝑎𝑑𝑗(𝑨) = 𝑪𝑇 , 𝐶𝑖𝑗 = (−1)
𝑖+𝑗𝑀𝑖𝑗 
Polinômio característico: 
det(𝐀 − 𝜆𝐈) = 0