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Lista de exercícios – Integrais – Lista 02 1- (Integrais definidas) – Calcule as integrais definidas abaixo: a) ∫ (𝑥2 + 𝑥 + 1)𝑑𝑥 1 0 b) ∫ sen(𝑥)𝑑𝑥 𝜋 0 c) ∫ sen(𝑥)𝑑𝑥 𝜋/2 −𝜋/2 d) ∫ 1 𝑥 𝑒 1 𝑑𝑥 e) ∫ (sen2𝑥 + cos2 𝑥)𝑑𝑥 𝜋 0 f) ∫ (sen2𝑥 + cos2 𝑥)𝑑𝑥 0 𝜋 g) ∫ 1 √1−𝑥2 𝑑𝑥 1/2 0 h) ∫ 𝑒2𝑥𝑑𝑥 ln2 0 i) ∫ 4 1+𝑥2 𝑑𝑥 0 −1 j) ∫ |𝑠𝑒𝑛(𝑥/2)|𝑑𝑥 𝜋 −𝜋 k) ∫ |𝑥 − 1|𝑑𝑥 3 0 l) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ln2 −1 , 𝑓(𝑥) = { 𝑥 + 1 𝑥 ≤ 0 𝑒−𝑥 𝑥 > 0 m) ∫ 𝑥3𝑒cos 𝑥 2 ln(𝑥4 + 3𝑥) 𝑑𝑥 4 2 + ∫ 𝑥3𝑒cos 𝑥 2 ln(𝑥4 + 3𝑥) 𝑑𝑥 2 4 n) ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 3 0 , g(x) definido abaixo no gráfico. 2- (Regra da substituição, completando o quadrado, reduzindo uma fração imprópria, separando uma fração) – Calcule as integrais abaixo: a) ∫ sen(𝑥) cos(𝑥) 𝑑𝑥 b) ∫ tg(𝑥)𝑑𝑥 c) ∫ 1 𝑥+3 𝑑𝑥 d) ∫ 1 2𝑥+5 𝑑𝑥 e) ∫ 4𝑥 𝑥2+1 𝑑𝑥 f) ∫ 4𝑥+7 𝑥2+1 𝑑𝑥 g) ∫ √𝑥2 + 2𝑥 + 3 ⋅ (2𝑥 + 2)𝑑𝑥 h) ∫ √𝑥2 + 2𝑥 + 3 ⋅ (𝑥 + 1)𝑑𝑥 i) ∫ cos(𝑙𝑛 𝑥) 𝑥 𝑑𝑥 j) ∫ 𝑒sen(tg 𝑥) sec2 𝑥 cos(tg 𝑥) 𝑑𝑥 k) ∫ 𝑒𝑥 cos2(𝑒𝑥) 𝑑𝑥 l) ∫ 3𝑒𝑥+4 cos(𝑒𝑥) sen(𝑒𝑥)𝑒𝑥 cos2(𝑒𝑥) 𝑑𝑥 m) ∫ 1 𝑥2+2𝑥+5 𝑑𝑥 n) ∫ 1 √−𝑥2−6𝑥 𝑑𝑥 o) ∫ 𝑥 𝑥+3 𝑑𝑥 p) ∫ 𝑥2+𝑥+1 𝑥−1 𝑑𝑥 Gabarito: 1- a) 1 3 + 1 2 + 1 = 11 6 b) −(cos(𝜋) − cos(0)) = 2 c) 0 (integrando é função ímpar e o intervalo de integração simétrico em relação a zero) d) ln(𝑒) − ln(1) = 1 − 0 = 1 e) ∫ 1𝑑𝑥 𝜋 0 = 𝜋 f) −𝜋 g) arcsen(1/2) − arcsen(0) = 𝜋/6 − 0 = 𝜋/6 h) 1 2 (𝑒2ln(2) − 𝑒0 ) = 1 2 (𝑒ln(4) − 1 ) = 3/2 i) 4(arctg(0) − arctg(−1)) = 𝜋 j) ∫ [−𝑠𝑒𝑛 ( 𝑥 2 )] 𝑑𝑥 0 −𝜋 + ∫ 𝑠𝑒𝑛 ( 𝑥 2 ) 𝑑𝑥 𝜋 0 = 4 k) ∫ [−(𝑥 − 1)]𝑑𝑥 1 0 + ∫ (𝑥 − 1)𝑑𝑥 3 1 = 5/2 l) ∫ (𝑥 + 1)𝑑𝑥 0 −1 + ∫ 𝑒−𝑥𝑑𝑥 𝑙𝑛2 0 = 1 2 + 1 2 = 1 m) ∫ 𝑥3𝑒cos 𝑥 2 ln(𝑥4 + 3𝑥) 𝑑𝑥 2 2 = 0 (limites de integração iguais) n) 1/2 + 2 = 5/2 (área sob o gráfico). Obs: gráfico ilustra item k. 2- a) 1 2 sen2(𝑥) + 𝐶 = − 1 2 cos2 𝑥 + 𝐶 b) ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = − ln|cos 𝑥| + 𝐶 c) ln|𝑥 + 3| + 𝐶 d) 1 2 ln|2𝑥 + 5| + 𝐶 e) 2 ln(𝑥2 + 1) + 𝐶 f) 2 ln(𝑥2 + 1) + 7 arctg 𝑥 + 𝐶 g) 2 3 (𝑥2 + 2𝑥 + 3) 3 2 + 𝐶 h) 1 3 (𝑥2 + 2𝑥 + 3) 3 2 + 𝐶 i) −sen (ln 𝑥) + 𝐶 j) 𝑒𝑠𝑒𝑛(tg 𝑥) + 𝐶 k) ∫ sec2(𝑒𝑥)𝑒𝑥𝑑𝑥 = tg(𝑒𝑥) + 𝐶 l) 3∫ sec2(𝑒𝑥)𝑒𝑥𝑑𝑥 − 2 ∫ − 2 cos(𝑒𝑥)sen(𝑒𝑥)𝑒𝑥 cos2(𝑒𝑥) = 3 tg(𝑒𝑥) − 2 ln|cos2(𝑒𝑥)| + 𝐶 = 3 tg(𝑒𝑥) − 4 ln|cos(𝑒𝑥)| + 𝐶 m) 1 2 arctg ( 𝑥+1 2 ) + 𝐶 n) 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 ( 𝑥+3 3 ) + 𝐶 o) ∫ 𝑥+3 𝑥+3 𝑑𝑥 − 3 ∫ 1 𝑥+3 𝑑𝑥 = 𝑥 − 3 ln|𝑥 + 3| + 𝐶 p) ∫ (𝑥 + 2 + 3 𝑥−1 ) 𝑑𝑥 = 1 2 𝑥2 + 2𝑥 + 3 ln|𝑥 + 3| + 𝐶
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