Baixe o app para aproveitar ainda mais
Leia os materiais offline, sem usar a internet. Além de vários outros recursos!
AULA+02+de+setembro+de+2013
Compartilhar
Prévia do material em texto
MATRIZ INVERSA DEFINIÇÃO Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, se X é uma matriz tal que AX = In e XA = In , então X é denominada matriz inversa de A e é indicada por A-1. Quando existe a matriz inversa de A, dizemos que A é uma matriz invertível ou não-singular. Verifique se existe e, em caso afirmativo, determine a matriz inversa de A = 10 01 3232 8585 10 01 32 85 dbca dbca dc ba 23 032 185 cea ca ca 58 132 085 deb db db Então X = 52 83 , para AX = I2. MATRIZES ELEMENTARES Chamamos de operações elementares nas linhas de uma matriz, às seguintes operações: i) a troca da ordem de duas linhas da matriz; ii) a multiplicação uma linha da matriz por uma constante diferente de zero; iii) a substituição uma linha da matriz por sua soma com outra linha multiplicada por uma constante diferente de zero. DEFINIÇÃO Uma matriz elementar é uma matriz obtida por meio de operações elementares nas linhas de uma matriz identidade. EXEMPLO 1. Considere a matriz identidade 1000 0100 0010 0001 I . Então as matrizes 1000 0100 0050 0001 1E , 1000 0001 0010 0100 2E , 1020 0100 0010 0001 3E , são matrizes elementares obtidas de I, pela aplicação de uma única operação elementar em suas linhas. Se representa a i-ésima linha de I, então, estas matrizes foram obtidas da seguinte maneira: 1000 0100 0010 0001 22 5 LL 1 1000 0100 0050 0001 E 1000 0100 0010 0001 31 LL 2 1000 0001 0010 0100 E 1000 0100 0010 0001 244 2LLL 3 1020 0100 0010 0001 E TEOREMA Seja A uma matriz quadrada. Se uma seqüência de operações elementares nas suas linhas reduz A a I, então a mesma seqüência de operações elementares transforma I em .1A EXEMPLO 1. Ache a inversa da matriz 321 121 121 A 100321 010121 001121 21 LL 100321 001121 010121 133 122 LLL LLL 110440 011240 010121 22 4 1 LL 110440 0 4 1 4 1 2 110 010121 233 211 4 2 LLL LLL 101200 0 4 1 4 1 2 110 0 2 1 2 1001 33 2 1 LL 2 10 2 1100 0 4 1 4 1 2 110 0 2 1 2 1001 322 2 1 LLL 2 10 2 1100 4 1 4 1 2 1010 0 2 1 2 1001 2 10 2 1 4 1 4 1 2 1 0 2 1 2 1 1A . Assim Matriz Adjunta e Matriz Inversa:Matriz Adjunta e Matriz Inversa: Dada a matriz A. Cujo cofatores são: A Matriz dos cofatores é dada por: ij ji ij DA )()1( ijAA Matriz dos cofatores ouMatriz cofatora Exemplo: 12 ‐3 1 0 4 1 6 5 A= Os cofatores são: 1 4 6 5 =(‐1)1+1 = ‐19 ‐3 41 5 =(‐1)1+2 = 19 ‐3 1 1 6 =(‐1)1+3 = ‐19 1 0 6 5 =(‐1)2+1 = ‐5 2 01 5 =(‐1)2+2 = 10 2 1 1 6 =(‐1)2+3 = ‐11 1 0 1 4 =(‐1)3+1 = 4 2 0‐3 4 =(‐1)3+2 = ‐8 2 1 ‐3 1 =(‐1)3+3 = 5 ..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................Matriz Adjunta e Matriz InversaMatriz Adjunta e Matriz Inversa 19‐19 ‐5 10 ‐19 ‐11 4 ‐8 5 A Matriz dos cofatores ou Matriz cofatora Matriz Adjunta: É a matriz transposta da matriz cofatora. ‐5‐19 19 10 4 ‐8 ‐19 ‐11 5 tAadjA Calculando‐se o produto da matriz A com a sua adjunta: tAA. 0‐19 0 ‐19 0 0 0 0 ‐19 = ‐19 01 0 1 0 0 0 0 1 Calculando‐se |A|: 19det A Matriz Identidade A partir dos resultados acima tem‐se: IAAA .det'. IA AA det '. Como: IAA 1. Conclui‐se que: A adjAA det 1 Matriz InversaMatriz Inversa ..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................Matriz Adjunta e Matriz InversaMatriz Adjunta e Matriz Inversa Exemplo: dada: a)Determine A‐1 b)Calcule AA‐1 a) 32 1 4 A= =(‐1)1+1 4 = 4 =(‐1)1+2 1 = ‐1 =(‐1)2+1 3 = ‐3 =(‐1)2+2 2 = 2 ‐14 ‐3 2 A ‐34 ‐1 2 'AadjA5381.34.2det A 5 2 5 1 5 3 5 4 21 34 5 1 det 1 A adjAA b) 1.AA 32 1 4 10 01 5 2 5 1 5 3 5 4 Há diversas outras formas de se determinar a matriz inversa, mas este exercício será deixado como pesquisa para o aluno. ..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................Matriz Adjunta e Matriz InversaMatriz Adjunta e Matriz Inversa Observações Finais: 1)Sendo A e B inversíveis, então A.B é inversível e (AB)‐1=B‐1A‐1 (A.B)(B‐1A‐1) = ABB‐1A‐1 = AIA‐1= AA‐1 = I. Analogamente: (B‐1A‐1)(AB)=I 2) Se A é matriz quadrada e existe B tal que BA=I então A é inversível, ou seja A‐1 existe e além disso, B=A‐1. 3) Nem toda matriz possui a inversa. MATRIZ INVERSA DEFINIÇÃO Número do slide 3 �RESOLUÇÃO: PELA DEFINIÇÃO TEMOS:� MATRIZES ELEMENTARES DEFINIÇÃO� EXEMPLO Número do slide 8 Número do slide 9 TEOREMA EXEMPLO Número do slide 12 Número do slide 13 Número do slide 14 Número do slide 15 Número do slide 16 Número do slide 17
Continue navegando
Materiais relacionados
5 pág.
11 pág.
Perguntas relacionadas
Compartilhar