Aula_05___M_todos_de_obten__o_da_Matriz_Inversa (1)

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Métodos de Obtenção da 
Matriz Inversa 
Rafaella Lima 
Matriz Inversa 
• Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Uma 
matriz B é chamada inversa de A se, e 
somente se, 
A . B = B . A = In 
em que: 
• B é a matriz inversa de A: B = A–1 
• In é a matriz identidade de ordem n. 
 
Propriedades 
• (A-1)-1 = A 
A inversa da inversa é igual à própria matriz. 
• (A-1)t = (At)-1 
A transposta da matriz inversa é igual à inversa 
da matriz transposta. 
• (AB)-1 = B-1 · A-1 
• det A-1 = 
 
Pela Identidade 
• Exemplo numérico: A matriz B abaixo é inversa 
da matriz A, pois A . B = B . A = In 
Método da matriz Adjunta 
É possível provar que a matriz inversa de uma 
matriz A, caso exista, é dada por: 
Onde: 
Det A ≠ 0 
Cof A – matriz dos cofatores de A 
(cof A)t – transposta da matriz dos cofatores 
(Adjunta) 
Método da Matriz Adjunta 
• Observação importante: 
• Para calcularmos o elemento bij da matriz 
inversa da matriz A = (aij )m · n , aplicamos a 
fórmula abaixo, decorrente do teorema; 
 
 
 
• onde: Aji é co-fator de aji 
 
Método das Matrizes Elementares 
• O cálculo da inversa de uma matriz usando 
determinante, envolve um número muito 
grande de operações. 
• O processo prático das matrizes elementares é 
baseado nas operações com as linhas de uma 
matriz e, em termos de cálculo, é muito 
vantajoso. 
Método das Matrizes Elementares 
• Matrizes Elementares: é uma matriz obtida a 
partir da identidade, através da aplicação de 
uma operação elementar com linhas. 
 
Método das Matrizes Elementares 
• Teorema: Se uma matriz A pode ser reduzida à 
matriz identidade por uma sequência de 
operações elementares com linhas, então A é 
inversível e a matriz inversa de A é obtida a 
partir da matriz identidade, aplicando-se a 
mesma sequência de operações com linhas. 
Método das Matrizes Elementares 
• Na prática, operamos com as matrizes A e I, 
através de operações elementares, até 
chegarmos à matriz I na posição 
correspondente à matriz A. A matriz obtida no 
lugar correspondente à matriz I será a inversa 
de A. 
(A | I) → (I | A−1)