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Universidade Federal de Lavras Empuxo e o Princípio de Arquimedes Engenharia de Controle e Automação – 22A Alex Bruno da Silva – 201221458 Bruno Henrique de Bastos Silva – 201221150 Caroline Santos Pereira – 201221158 Heitor Salve Silveira – 201220562 Jéssica Junqueira Benetolo – 201221160 Vitor Trugilho Zardo – 201221151 Lavras – MG Janeiro – 2014 Objetivos O objetivo principal do experimento foi calcular o empuxo feito pela água em um corpo cilíndrico totalmente submerso de duas formas. Através da análise de forças e pelo Princípio de Arquimedes, constatando, assim, sua veracidade. E também calcular o valor da massa especifica do ferro. Referencial Teórico A estática dos fluidos estuda o comportamento dos fluidos em repouso em situações que envolvem equilíbrio. Nesse campo são analisados conceitos básicos de densidade, pressão e empuxo. Geralmente se usa a letra ρ (rô) para designar densidade. Quando a massa m [kg] de um material homogêneo possui volume V [m³], sua massa específica ρ [kg/m³] é: Equação 01 – Cálculo da massa específica de um fluido Quando um fluido está em repouso, ele exerce uma força perpendicular sobre qualquer superfície que esteja em contato com ele, tal como a parede do recipiente ou um corpo imerso no fluido. Definimos como pressão p a relação entre força exercida pelo fluido sobre a área em que a força é aplicada. Quando a pressão for a mesma em todos os pontos de uma superfície plana de área A, então Equação 02 – Cálculo da pressão Em que F é a força normal resultante sobre um dos lados da superfície. O empuxo parte do princípio de Arquimedes que enuncia: quando um corpo está parcial ou completamente imerso em um fluido, este exerce sobre o corpo uma força de baixo para cima igual ao peso do volume do fluido deslocado pelo corpo. Dessa forma, definimos empuxo E como uma força de baixo para cima igual, em módulo, ao peso do fluido deslocado pelo objeto dado por Equação 03 – Cálculo do empuxo Em que m é a massa do fluido deslocado [kg] e g é a aceleração da gravidade [m/s²]. A unidade de medida do Empuxo no SI é o Newton [N]. Isolando m e utilizando a equação 01 obtemos: Equação 04 – Cálculo do empuxo utilizando a massa específica Sabemos também que o peso de um objeto é dado pela equação: Equação 05 – Cálculo do peso de um corpo Onde P [N] é o peso do objeto, m [Kg] é a massa do objeto e g é a aceleração da gravidade [m/s²]. Se um corpo está totalmente mergulhado em um líquido, seu peso é igual ao empuxo que ele está recebendo (E = P). Neste caso, será nula a resultante destas forças e o corpo ficará em repouso na posição em que foi abandonado. Figura 01 - objeto com o peso igual ao valor do empuxo Se o corpo afunda em um líquido, o valor do empuxo é menor do que o peso do corpo (E < P). Neste caso, a resultante destas forças estará dirigida para baixo e o corpo afundará até atingir o fundo do recipiente. Figura 02 - corpo com peso menor que o empuxo Se um corpo flutua em um fluido, o valor do empuxo é maior do que o peso desse corpo (E > P). Neste caso, a resultante destas forças estará dirigida para cima e o corpo sobe no interior do líquido. É isto o que acontece quando, por exemplo, um bloco de madeira é solto no interior de um líquido. O bloco de madeira ira submergir até que a resultante das forças se iguale, ou seja, (E = P), assim, nesta posição é que o corpo flutuará, em equilíbrio. Figura 03 - corpo com peso maior que o empuxo Quando um corpo imerso em um fluido é pesado, dizemos que a medição mostra seu peso aparente Pap como: Equação 06 – Cálculo do peso aparente de um corpo quando imerso em algum fluido Em que P é o peso real do objeto e E o empuxo exercido pelo fluido. Para encontrar o volume do cilindro, utilizamos conceitos de geometria, calculando primeiramente a área de sua base pela equação: Equação 07 – Área da base de um cilindro Onde A é a área da base do cilindro e r é o raio dessa base. Então multiplicamos A pela altura h do cilindro e encontramos seu volume: Equação 08 – Cálculo do volume Para calcular os erros envolvidos no experimento, utilizamos as fórmulas de erro padrão listadas abaixo: | | Equação 09 – Cálculo do erro propagado da área da base do cilindro | | | | Equação 10 – Cálculo do erro propagado do volume | | | | Equação 11 – Cálculo do erro propagado da massa específica | | Equação 12 – Cálculo do erro relativo percentual | | | | Equação 13 – Cálculo do erro propagado do empuxo. | | | | Equação 14 – Cálculo do erro propagado do empuxo Materiais Utilizados 1 proveta (50 ± 1)ml; 1 carretel de linha; 1 tripé; 2 hastes metálicas; 1 peso cilíndrico de metal; 1 corpo cilíndrico de plástico; 1 balança de precisão; 1 suporte para linha e peso; 1 régua; 1 dinamômetro; 1 béquer de plástico. Esquema de montagem Figura 04 – Esquema de montagem. Procedimentos Primeiramente foi medido o diâmetro e peso do corpo cilíndrico para calcular o seu volume aproximado. Através da balança, anotou-se a massa do corpo cilíndrico e, com seu volume calculado, pôde-se obter o valor da massa específica do ferro. Todos os erros foram calculados para as devidas medidas. Em seguida, passou-se para a segunda parte do experimento, na qual foi necessário pesar a proveta vazia. Posteriormente, pesou-se o cilindro de plástico com o dinamômetro e anotou-se o valor. Então encheu-se a proveta com água até o volume inicial. Mergulhou-se o cilindro de plástico preso ao dinamômetro na proveta até que este ficasse completamente imerso e assim, observou-se uma mudança na medição do peso no dinamômetro, que apresentava o peso aparente do cilindro. Após isso, anotou-se a variação de volume deslocado na proveta. Essa quantidade de volume deslocado foi então deixada na proveta e pesada na balança. Através da massa da água presente na proveta, foi possível calcular o peso da mesma. Assim, por meio do princípio de Arquimedes, calculou-se o empuxo sobre o corpo cilindro, que é igual ao peso do volume de líquido deslocado. Resultados e Discussões 1º Experimento Para a realização do primeiro experimento, mediu-se primeiramente a massa do cilindro de ferro utilizado. Depois disso, mediu-se o diâmetro de sua base (para obter o valor do raio) e sua altura. Os valores encontrados foram: Massa: m = 132,51 ± 0,05 g Raio: r = 0,95 ± 0,03 cm Altura: h = 5,95 ± 0,05 cm Com esses valores torna-se possível encontrar o volume do cilindro. Primeiramente calcula-se a área da base de acordo com a equação 07: A = 2,8 cm² Como o valor do raio encontrado apresenta um erro de medição, faz-se necessário o cálculo da propagação do erro, de acordo com a equação 09: ΔA = 2 x 3,14 x 0,95 x 0,03 ΔA = 0,17 0,2 Desta forma, o valor encontrado para a área da base do cilindro é: A = (2,8 ± 0,2) cm² Para encontrar então o volume do cilindro, basta multiplicar a medida da base pela sua altura, de acordo com a equação 08, e depois achar o erro propagado das medidas, de acordo com a equação10: V = 2,8 x 5,95 = 16,66 17 cm³ ΔV = 5,95 x 0,2 + 2,8 x 0,05 ΔV = 1 + 0,1 ΔV = 1,1 1 cm³ Assim o volume fica da seguinte forma: V = (17 ± 1) cm3 Com ambos os valores (massa e volume) é possível calcular a massa específica (ρ) do ferro, de acordo com a equação 01: Novamente, como os valores utilizados para o cálculo contêm erros experimentais, deve-se calcular a propagação do erro de acordo com a equação 11: Desta forma, o valor encontrado na experiência para a massa específica do ferro foi de: ρ = (7,8 ± 0,5) g/cm³ Como o valor teórico da massa especifica do ferro é de 7,87 g/cm3, podemos ver que o valor encontrado está condizente com o teórico. Portanto, quando calculamos o erro percentual do experimento temos: Como o erro experimental foi muito pequeno, podemos considerar o resultado do experimento como sendo aceitável e satisfatório. 2º Experimento: Peso aparente: 0,060 ± 0,005 N Volume de água descolado: 155 – 110 = (45 ± 1) ml Massa de água: 44,94 ± 0,05 g P = mg = 0,44 N No inicio do experimento foi obtido o peso do corpo cilíndrico de plástico usando um dinamômetro e o valor obtido foi de: Peso: (0,52 ± 0,05) N Logo em seguida o objeto foi imerso em água dentro de uma proveta. Quando o objeto foi imerso em água o valor marcado no dinamômetro mudou, o que nos da o valor do peso aparente. Peso aparente: (0,06 ± 0,05) N Sabendo que o bloco está em equilíbrio e em repouso sabemos que a diferença entre o peso do bloco e o empuxo feito pelo liquido é igual ao peso aparente. Portanto de acordo com a equação 06 temos: O erro do calculo do empuxo pode ser obtido usando a equação 13 para obtenção do erro: Assim obtemos o valor final da força de empuxo: Para comprovar a veracidade dos resultados vamos calcular o empuxo por meio da equação 04: O erro então é calculado da seguinte maneira de acordo com a equação 14: ( ) A força de empuxo fica da seguinte forma: Agora, calculamos o valor do erro relativo percentual do experimento: Como podemos ver, o valor do erro está muito próximo, mas ainda assim, abaixo de 5% o que nos garante a eficiência do experimento. Bibliografia Sears & Zemansky - Física II, Termodinâmica e Ondas. H. D. Young e R. A. Freedman. 10a ed. Física para Cientistas e Engenheiros Volume 1 – TIPLER, Paul A. MOSCA Gene – 6ªEdição Usp Licenciatura - Empuxo. Disponível em: <http://educar.sc.usp.br/licenciatura/1999/empuxo/Empuxo-pg-00.htm > Acesso em: 25.jan.2014.
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