AULA 02 Matemática e Raciocínio Lógico

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Aula 02
Matemática e Raciocínio Lógico p/ TRTs - Todos os cargos
Professores: Arthur Lima, Luiz Gonçalves
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRIBUNAIS 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
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AULA 02: CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
SUMÁRIO PÁGINA 
1. Teoria ± matemática básica 01 
2. Resolução de exercícios 53 
3. Questões apresentadas na aula 118 
4. Gabarito 145 
 
Olá! 
 
Nesta segunda aula repassaremos diversos tópicos de matemática básica 
que você certamente já estudou em algum momento da vida, mas naturalmente não 
se lembra mais de vários deles! São tópicos muito presentes em editais de 
concursos, e que também servem de base para o entendimento e a resolução de 
diversas questões sobre assuntos mais complexos. Veja como eles costumam ser 
cobrados nas provas de TRIBUNAIS: 
 
Números inteiros e racionais: operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, 
potenciação); expressões numéricas; múltiplos e divisores de números naturais; 
problemas. Frações e operações com frações. Porcentagem e problemas. 
Conjuntos numéricos complexos. 
 
Tenha uma excelente aula. Permaneço à disposição no fórum, ok? 
 
1. TEORIA ± MATEMÁTICA BÁSICA 
 Chamamos de conjuntos numéricos as principais classificações dos números 
conhecidos. Nos próximos tópicos conheceremos os principais conjuntos, suas 
propriedades e suas operações. 
 
1.1 NÚMEROS NATURAIS 
 Os números naturais têm esse nome por serem aqueles mais intuitivos, de 
³FRQWDJHP�QDWXUDO´��,VWR�p��VmR�DTXHOHV�FRQVWUXtGRV�FRP�RV�Dlgarismos de 0 a 9. O 
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símbolo desse conjunto é a letra N, e podemos escrever os seus elementos entre 
chaves: 
1� �^��������������������������������������������������������������������������������«` 
As reticências indicam que este conjunto não tem fim, ou seja, existem 
infinitos números naturais. 
 Apesar de incluído neste conjunto, o zero não é um número natural 
SURSULDPHQWH�GLWR��SRLV�QmR�p�XP�Q~PHUR�GH�³FRQWDJHP�QDWXUDO´���3RU�LVVR��XWLOL]D-se 
o símbolo N* para designar os números naturais positivos, isto é, excluindo o zero. 
Vejam: 1
� �^����������«` 
 Alguns conceitos básicos relacionados aos números naturais: 
 
a) Sucessor: é o próximo número natural. Isto é, o sucessor de 2 é 3, e o 
VXFHVVRU�GH����p�����(�R�VXFHVVRU�GR�Q~PHUR�³Q´�p�R�Q~PHUR�³Q��´�� 
 
b) Antecessor: é o número natural anterior. Isto é, o antecessor de 2 é 1, e o 
DQWHFHVVRU� GH� ��� p� ���� (� R� DQWHFHVVRU� GR� Q~PHUR� ³Q´� p� R� Q~PHUR� ³Q-�´��
Observe que o número natural zero não possui antecessor, pois é o primeiro 
número desse conjunto. 
 
c) Números consecutivos: são números em sequência. Assim, {2,3,4} são 
números consecutivos, porém {2, 5,4} não são. E {n-1, n e n+1} são números 
consecutivos. 
 
d) Números naturais pares: {0, 2, 4...}. Número par é aquele que, ao ser dividido 
por 2, não deixa resto. Por isso o zero também é par. 
 
e) Números naturais ímpares: {1, 3, 5...}. Ao serem divididos por 2, deixam 
resto 1. 
 
Sobre pares e ímpares, vale a pena perceber que: 
- a soma ou subtração de dois números pares tem resultado par. Ex.: 12 + 6 = 18; 
12 ± 6 = 6. 
- a soma ou subtração de dois números ímpares tem resultado par. Ex.: 13 + 5 = 18; 
13 ± 5 = 8. 
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- a soma ou subtração de um número par com outro ímpar tem resultado ímpar. Ex.: 
12 + 5 = 17; 12 ± 5 = 7. 
- a multiplicação de números pares tem resultado par: 4 x 6 = 24. 
- a multiplicação de números ímpares tem resultado ímpar: 3 x 5 = 15. 
- a multiplicação de um número par por um número ímpar tem resultado par: 2 x 3 = 
6. 
 
1.2 NÚMEROS INTEIROS 
 Os números inteiros são os números naturais e seus respectivos opostos 
(negativos). Isto é, 
Z = {...-12, -11, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 
12...} 
Observem que todos os números Naturais são também Inteiros, mas nem 
todos os números inteiros são naturais. Assim, podemos dizer que o conjunto de 
números naturais está contido no conjunto de números inteiros, isto é, N Z, ou 
ainda que N é um subconjunto de Z. O diagrama abaixo explicita esta relação entre 
N e Z: 
 
 Dentro deste conjunto, podemos destacar alguns subconjuntos de números. 
Vejam que os nomes dos subconjuntos são auto-explicativos: 
 
a) Números Inteiros não negativos = {0,1,2,3...}. Veja que são os números naturais. 
 
b) Números Inteiros não positivos �^«�-3, -2, -1, 0}. Veja que o zero também faz 
parte deste conjunto, pois ele não é positivo nem negativo. 
 
c) Números inteiros negativos �^�«�-3, -2, -1}. O zero não faz parte. 
 
d) Números inteiros positivos = {1, 2, 3...}. Novamente, o zero não faz parte. 
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1.3 NÚMEROS RACIONAIS 
 Os números racionais são aqueles que podem ser representados na forma 
da divisão de dois números inteiros. Isto é, são aqueles números que podem ser 
escritos na forma (A dividido por B), onde A e B são números inteiros. Exemplos: 
 
 é Racional, pois é a divisão do número inteiro 5 pelo número inteiro 4. 
 
 é Racional, pois é a divisão do número inteiro -15 pelo número inteiro 9, 
ou a divisão de 15 por -9. 
 
73 e -195 são Racionais, pois são a divisão dos números 73 e -195 pelo 
número 1. 
 
 Observe este último exemplo. Já tínhamos visto que qualquer número natural 
é também inteiro. E agora vemos que todo número inteiro é também racional! Isto 
porque qualquer número inteiro é o resultado da divisão dele mesmo por 1, podendo 
ser representado na forma (A dividido por 1, onde A é um número inteiro 
qualquer). Veja se este novo diagrama, contendo os números Naturais, Inteiros e 
Racionais, faz sentido para você: 
 
 O zero também faz parte dos Números Racionais (pode ser escrito na forma 
, concorda?). Porém, quando escrevemos um número racional na forma , o 
denominador (isto é, o número B) nunca é zero. Isto porque a divisão de um número 
por zero é impossível (exceto 
0
0
, cujo valor é indeterminado). 
 
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 No conjunto dos Números Racionais, temos basicamente 3 tipos de números: 
 
a) Frações. Ex.: , , etc. 
 
b) Números decimais. Ex.: 1,25 
 Veja que este número decimal tem escrita finita, isto é, um número 
definido de casas após a vírgula. Por isso, ele também poderia ser escrito na 
forma . Neste caso, poderíamos representá-lo como , ou mesmo 
simplificá-lo para . 
 
c) Dízimas periódicas. Ex.: 0,33333... ou simplesmente (a barra indica que o 
algarismo 3 repete-se indefinidamente). 
As dízimas periódicas são consideradas racionais porque também 
podem ser escritas na forma . O número deste exemplo poderia ser escrito 
na forma . Existem métodos que nos permitem encontrarqual fração é 
equivalente a uma determinada dízima periódica. Outro exemplo de dízima 
periódica: 1,352525252... ou . 
 
 Antes de prosseguirmos, vejamos como obter as frações que dão origem a 
dízimas periódicas. Divida 1 por 3 e você obterá 0,333... , ou simplesmente 0,3 . 
$VVLP��GL]HPRV�TXH�D�³IUDomR�JHUDWUL]´�GD�Gt]LPD� 0,3 é igual a 1
3
. Existem métodos 
que nos permitem, a partir de uma dízima periódica, chegar até a fração que deu 
origem a ela. 
 Em alguns casos, a parte que se repete já começa logo após a vírgula. Isto é 
o caso em: 
0,333... 
0,353535... 
0,215215215... 
 
 Em outros casos, existem alguns números entre a vírgula e o início da 
repetição. Veja esses números sublinhados nas dízimas abaixo: 
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0,1333... 
0,04353535... 
0,327215215215... 
 
 Vamos começar trabalhando com os casos onde a repetição começa logo 
após a vírgula, para a seguir estender o método aos casos onde existem números 
entre a vírgula e o início da repetição. 
 
Î Casos onde a repetição começa logo após a vírgula: 
Vamos trabalhar com a dízima 0,333... . Chamemos de X a fração que dá 
origem a esta dízima. Ou seja, 
X = 0,333... 
 
 Como a repetição é formada por um único número (3), se multiplicarmos esta 
dízima por 10 conseguimos passar, para o outro lado da vírgula, o primeiro número 
da repetição: 
10X = 10 x 0,333... = 3,333... 
 
 Observe que 10X = 3 + 0,333... . Veja ainda a seguinte subtração: 
10X ± X = 3,333... ± 0,333... 
 
 Os dois números à direita da igualdade acima possuem infinitas casas 
decimais idênticas. Portanto, o resultado desta subtração é: 
9X = 3 
3 1
9 3
X 
 Assim, descobrimos que a fração geratriz da dízima 0,333... é 
1
3
X . 
 Vejamos um segundo exemplo: vamos buscar a fração geratriz da dízima 
0,216216216... . Repare que temos a repetição de 216, e não há nenhuma casa 
separando a vírgula e o início da repetição. Chamando de X a fração geratriz da 
dízima, temos: 
X = 0,216216216... 
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 Para passar a primeira repetição (216) para a esquerda da vírgula, 
precisamos multiplicar X por 1000: 
1000X = 216,216216216... 
 
 Efetuando a subtração 1000X ± X podemos obter a fração geratriz: 
1000X ± X = 216,216216216... ± 0,216216216... 
999X = 216 
216 24
999 111
X 
 
 Assim, a geratriz de 0,216 é a fração 24
111
. 
 
Î Casos onde existem números entre a vírgula e o início da repetição: 
Vejamos como obter a fração geratriz da dízima 1,327215215215... . Veja 
que, neste caso, temos a repetição do termo 215. Entre a vírgula e o início da 
repetição temos 3 números (327). Deste modo, chamando de X a fração geratriz, 
temos: 
X = 1,327215215215... 
 
 Multiplicando X por 1000 conseguimos deixar, à direita da vírgula, apenas os 
termos que se repetem: 
1000X = 1327,215215215... 
 
 E multiplicando X por 1000000 conseguimos passar a primeira repetição 
³���´�SDUD�R�ODGR�HVTXHUGR�GD�YtUJXOD� 
1000000X = 1327215,215215215... 
 
 Assim, podemos efetuar a seguinte subtração: 
1000000X ± 1000X = 1327215,215215215... - 1327,215215215... 
999000X = 1327215 ± 1327 
999000X = 1325888 
1325888
999000
X 
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 Temos, portanto, a fração geratriz da dízima 1,327215215215... . Poderíamos 
ainda simplificá-la, se quiséssemos. 
 
1.3.1 OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS 
 As quatro operações básicas que podemos efetuar com estes números são: 
adição, subtração, multiplicação e divisão. Vejamos em detalhes cada uma delas. 
 
a) Adição: 
 A adição de dois números é dada pela soma destes dois números. Isto é, a 
adição de 15 e 6 é: 
15 + 6 = 21 
 
 Você se lembra do método para se efetuar a soma de dois números? Vamos 
exercitar efetuando a soma 728 + 46. Primeiramente, você deve posicionar estes 
números um abaixo do outro, alinhados pela direita (casa das unidades): 
 728 
 +46 
 
 A seguir devemos começar a efetuar a soma pela direita. Somando 8 + 6 
obtemos 14. Com isto, devemos colocar o algarismo das unidades (4) no resultado 
e transportar o algarismo das dezenas (1) para a próxima soma: 
 1 
 728 
 +46 
 4 
 Agora, devemos somar os dois próximos números (2 + 4), e adicionar 
também o número que veio da soma anterior (1). Assim, obtemos 7. Devemos 
colocar este número no resultado: 
 728 
 +46 
 74 
 
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 Temos ainda o algarismo 7 na casa das centenas do número 728. Como o 
segundo número (46) não possui casa das unidades, podemos simplesmente levar 
este 7 para o resultado, obtendo: 
 728 
 +46 
 774 
 
 Chegamos ao nosso resultado final. Antes de conhecermos a próxima 
operação, vejamos as principais propriedades da operação de adição. 
 
- propriedade comutativa: dizemos que a adição de números racionais possui a 
propriedade comutativa, pois a ordem dos números não altera a soma. Isto é, 728 + 
46 é igual a 46 + 728. 
 
- propriedade associativa: ao adicionar 3 ou mais números racionais, podemos 
primeiramente somar 2 deles, e a seguir somar o outro, em qualquer ordem, que 
obteremos o mesmo resultado. Logo, esta propriedade está presente na adição. Ex.: 
2 + 5 + 7 = (2 + 5) + 7 = 2 + (5 + 7) = 14. 
 
- elemento neutro: dizemos que o zero é o elemento neutro da adição, pois qualquer 
número somado a zero é igual a ele mesmo. Ex.: 2 + 0 = 2; 45 + 0 = 45. 
 
- propriedade do fechamento: esta propriedade nos diz que a soma de dois números 
racionais SEMPRE gera outro número racionais. Ex: a soma dos números racionais 
2 e 5 gera o número racional 7 (2 + 5 = 7). 
 
b) Subtração: efetuar a subtração de dois números significa diminuir, de um deles, 
o valor do outro. Isto é, subtrair 5 de 9 significa retirar 5 unidades de 9, restando 4 
unidades: 
9 ± 5 = 4 
 
 
 
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 Acompanhe a subtração abaixo para relembrar o método para a subtração de 
números racionais (veja que, por simplicidade, estamos usando números inteiros 
nos exemplos, que não deixam de ser também racionais). Vamos efetuar a 
operação 365 ± 97: 
 
365 
- 97 
 
 Observe que o primeiro passo é posicionar um número abaixo do outro, 
alinhando as casas das unidades. Começamos a efetuar a subtração a partir da 
casa das unidades. Como 5 é menor do que 7, não podemos subtrair 5 ± 7. 
'HYHPRV�� SRUWDQWR�� ³SHJDU´� XPD� XQLGDGH� GD� FDVD� GDV� GH]HQDV� GH� ����� /HYDQGR�
este valor para a casa das unidades, temos 10 unidades, que somadas a 5 chegam 
a 15 unidades. Agora sim podemos subtrair 15 ± 7 = 8, e anotar este resultado:365 
- 97 
 8 
 
 Devemos agora subtrair as casas das dezenas. Devemos subtrair 5 ± 9, e 
não 6 ± 9, pois já utilizamos uma unidade na primeira subtração acima. Como 5 é 
PHQRU�TXH����GHYHPRV�QRYDPHQWH�³SHJDU´�XPD�XQLGDGH�GD�FDVD�GDV�FHQWHQDV�GH�
365, e somar ao 5. Assim, teremos 15 ± 9 = 6. Vamos anotar este resultado: 
365 
- 97 
 68 
 
 Agora devemos subtrair a casa das centenas. Veja que não temos mais um 3 
na casa das centenas de 365, e sim 2, pois já usamos uma unidade na operação 
anterior. Como 97 não tem casa das centenas, basta levarmos este 2 para o 
resultado: 
365 
- 97 
268 
 
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 E se quiséssemos efetuar a subtração 97 ± 365? Neste caso, como 97 é 
menor que 365, devemos: 
- subtrair o menor número do maior, isto é, efetuar a operação 365 ± 97; 
- colocar o sinal negativo (-) no resultado. 
 
 Desta forma, 97 ± 365 = -268. Vejamos as principais propriedades da 
operação de subtração. 
 
- propriedade comutativa: dizemos que a subtração de números racionais NÃO 
possui a propriedade comutativa, pois a ordem dos números ALTERA o resultado. 
Como vimos acima, 365 ± 97 = 268, já 97 ± 365 = -268. 
 
- propriedade associativa: a subtração NÃO possui essa propriedade, pois (A ± B) ± 
C pode ser diferente de (C ± B) ± A 
 
- elemento neutro: o zero é o elemento neutro da subtração, pois, ao subtrair zero 
de qualquer número, este número permanecerá inalterado. Ex.: 2 ± 0 = 2. 
 
- propriedade do fechamento: a subtração de números racionais possui essa 
propriedade, pois a subtração de dois números racionais SEMPRE gera outro 
número racional. 
 
- elemento oposto: para todo número racional A, existe também o seu oposto, com 
sinal contrário, isto é, -A. Exemplos de números opostos: 5 e -5, 29 e -29 etc. 
Também podemos dizer que o elemento oposto de A é aquele número que, somado 
a A, resulta em zero: 
A + (-A) = 0 
 
c) Multiplicação: a multiplicação nada mais é que uma repetição de adições. Por 
exemplo, a multiplicação 15 x 3 é igual à soma do número 15 três vezes (15 + 15 + 
15), ou à soma do número 3 quinze vezes (3 + 3 + 3 + ... + 3). Vejamos como 
efetuar uma multiplicação: 
 57 
x 13 
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 Novamente alinhamos os números pela direita. Começamos multiplicando os 
números das unidades: 3 x 7 = 21. Deixamos o algarismo das unidades (1) no 
resultado, e levamos o algarismo das dezenas (2) para a próxima operação: 
 
 2 
 57 
x 13 
 1 
 
 Agora devemos multiplicar os números das unidades do segundo número (3) 
pelo número das dezenas do primeiro número: 3 x 5 = 15. Antes de colocar este 
valor no resultado, devemos adicionar o 2 que veio da operação anterior: 15 + 2 = 
17. Assim, temos: 
 57 
x 13 
 171 
 
 Agora devemos multiplicar o algarismo das dezenas do segundo número (1) 
pelo algarismo das unidades do primeiro número (7): 1 x 7 = 7. Devemos levar este 
número para o resultado, entretanto devemos colocá-lo logo abaixo do algarismo 
das dezenas do segundo número (1). Veja: 
 57 
x 13 
 171 
 7 
 A seguir, devemos multiplicar o algarismo das dezenas do segundo número 
(1) pelo algarismo das dezenas do primeiro número (5): 1 x 5 = 5. Assim, temos: 
 57 
x 13 
 171 
 57 
 
 
 
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 Por fim, devemos somar as duas linhas de resultado, obtendo: 
 57 
x 13 
 171 
 570 
 741 
 
Veja que antes de efetuar a soma, colocamos um zero à direita do 57, 
transformando-o em 570. Fazemos isto porque este resultado (57) surgiu da 
multiplicação do algarismo das dezenas do multiplicador (13). Se fosse do algarismo 
das centenas do multiplicador, colocaríamos 2 zeros, e assim por diante. 
É importante relembrar as regras de sinais na multiplicação de números. 
Você deve se lembrar que: 
- a multiplicação de números de mesmo sinal tem resultado positivo. 
Ex.: 5 x 5 = 25, e (-5)x(-5) = 25. 
- a multiplicação de números de sinais diferentes tem resultado negativo. 
Ex.: 5x(-5) = -25. 
 
 Portanto, se tivéssemos multiplicado (-57) x 13, ou então 57 x (-13), 
deveríamos obter -741. E se tivéssemos multiplicado (-57) x (-13) deveríamos obter 
741. 
 
Vejamos as principais propriedades da operação de multiplicação: 
 
- propriedade comutativa: a multiplicação possui essa propriedade, pois A x B é 
igual a B x A, isto é, a ordem não altera o resultado (ex.: 3 x 5 = 5 x 3 = 15). 
 
- propriedade associativa: a multiplicação possui essa propriedade, pois (A x B) x C 
é igual a (C x B) x A, que é igual a (A x C) x B etc. Ex.: (2 x 3) x 4 = 2 x (3 x 4) = (4 x 
3) x 2 = 24. 
 
- elemento neutro: a unidade (1) é o elemento neutro da multiplicação, pois ao 
multiplicar 1 por qualquer número, este número permanecerá inalterado. Ex.: 5 x 1 = 
5. 
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- propriedade do fechamento: a multiplicação possui essa propriedade, pois a 
multiplicação de números racionais SEMPRE gera um número racional (ex.: 5 x 7 = 
35, que é racional). 
 
- propriedade distributiva: apenas a multiplicação possui essa propriedade. Esta 
propriedade nos permite dizer que: 
Ax(B+C) = (AxB) + (AxC) 
 
Exemplificando: 
5x(3+7) = 5x(10) = 50 
ou, usando a propriedade: 
5x(3+7) = 5x3 + 5x7 = 15+35 = 50 
 
d) Divisão: quando dividimos A por B, queremos repartir a quantidade A em partes 
de mesmo valor, sendo um total de B partes. Ex.: Ao dividirmos 10 por 2, queremos 
dividir 10 em 2 partes de mesmo valor. No caso, 10 2 5y . Vamos relembrar como 
efetuar divisões com o caso abaixo, onde dividimos 715 por 18: 
715 |18 
 
 Neste caso, chamamos o 715 de dividendo (número a ser dividido) e o 18 de 
divisor (número que está dividindo o 715). Como o divisor possui 2 casas (18), 
devemos tentar dividir as primeiras duas casas da esquerda do dividendo (71). Veja 
que 18x4 = 72 (que já é mais que 71). Já 18x3 = 54. Assim, temos: 
715 |18 
 3 
 
 Devemos multiplicar 3 por 18 e anotar o resultado abaixo de 71, e a seguir 
efetuar a subtração: 
715 |18 
 -54 3 
 17 
 
 
 
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 $JRUD�GHYHPRV�³SHJDU´�R�SUy[LPR�DOJDULVPR�GR�GLYLGHQGR����� 
715 |18 
 -54 3 
 175 
 
 Dividindo 175 por 18, temos o resultado 9. Devemos anotar o 9 no resultado, 
à direita, e anotar o resultado da multiplicação 9 x 18 abaixo do 175, para 
efetuarmos a subtração: 
715 |18 
 -54 39 
 175 
 -162 
 13 
 
 Agora temos o número 13, que é inferiorao divisor (18). Portanto, 
encerramos a divisão. Obtivemos o quociente (resultado) 39 e o resto igual a 13. 
Dizemos que esta divisão não foi exata, pois ela deixou um resto. 
 
 Observe que o dividendo (715) é igual à multiplicação do divisor (18) pelo 
quociente (39), adicionada do resto (13). Isto é: 
715 = 18 x 39 + 13 
 
 Como regra, podemos dizer que: 
Dividendo = Divisor x Quociente + Resto 
 
 As regras de sinais na divisão de números racionais são as mesmas 
da multiplicação: 
- a divisão de números de mesmo sinal tem resultado positivo. 
- a divisão de números de sinais diferentes tem resultado negativo. 
 
 Portanto, se tivéssemos dividido (-10) por 2, ou então 10 por (-2), 
deveríamos obter -5. E se tivéssemos dividido (-10) por (-2) deveríamos obter 5. 
 
Vejamos as principais propriedades da operação de divisão: 
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- propriedade comutativa: a divisão NÃO possui essa propriedade, pois A / B pode 
ser diferente de B / A. Ex.: 2 / 5 = 0,4; e 5 / 2 = 2,5. 
 
- propriedade associativa: a divisão NÃO possui essa propriedade, pois (A / B) / C 
pode ser diferente de (C / B) / A. Ex.: (2/5)/3 é diferente de (3/5)/2. 
 
- elemento neutro: a unidade (1) é o elemento neutro da divisão, pois ao dividir 
qualquer número por 1, o resultado será o próprio número. Ex.: 5 / 1 = 5. 
 
- propriedade do fechamento: a divisão possui essa propriedade, pois a divisão de 
números racionais SEMPRE gera um número racional (ex.: 2 / 100 = 0,02; que é 
racional). 
 
Para sedimentar seus conhecimentos, segue uma tabela-resumo sobre as 
propriedades das operações com números racionais: 
 
Elem. 
Neutro 
Comut. Assoc. Fecham. 
Distributiva 
Adição zero Sim Sim Sim 
Não: 
( ) ( ) ( )A B C A B A C� � z � � � 
Multiplicação 1 Sim Sim Sim 
Sim: 
( ) ( ) ( )A B C A B A Cu � z u � u 
Subtração zero Não Não 
Sim 
 
Não: 
( ) ( ) ( )A B C A B A C� � z � � � 
Divisão 1 Não Não Sim 
Não: 
( ) ( ) ( )A B C A B A Cy � z y � y 
 
1.3.2 Operações com frações 
Ao trabalhar com números racionais, recorrentemente estaremos lidando com 
frações, que nada mais são que operações de divisão. Escrever 
2
5 é equivalente a 
escrever 2 5y . As frações estão constantemente presentes na resolução de 
exercícios, motivo pelo qual é essencial lembrar como efetuamos cada operação 
com elas: soma, subtração, multiplicação e divisão. 
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a) Para somar ou subtrair frações, é preciso antes escrevê-las com o mesmo 
denominador, isto é, com um denominador comum. Este denominador é, 
simplesmente, um múltiplo comum entre os denominadores das frações originais. 
Falaremos sobre múltiplos adiante, de modo que aqui veremos apenas o básico. 
Vamos entender isto com o exemplo abaixo: 
1 3
6 8
� 
 Veja o número 24 é um múltiplo de 6 (pois 6x4 = 24) e de 8 (pois 8x3 = 24). 
 Para trocar o denominador da fração 
1
6
 para 24, é preciso multiplicar o 
denominador 6 por 4. Assim, também devemos multiplicar o numerador 1 por 4, 
para manter a fração. Portanto, 
1 4
6 24
 . 
Já para trocar o denominador da fração 
3
8
 para 24, é preciso multiplicar o 
denominador 8 por 3. Assim, também devemos multiplicar o numerador 3 por 3, 
para manter a fração. Portanto, 
3 9
8 24
 . 
Agora sim podemos efetuar a soma: 
1 3 4 9 4 9 13
6 8 24 24 24 24
�� � 
 
b) Para multiplicar frações, basta multiplicar o numerador de uma pelo numerador 
da outra, e o denominador de uma pelo denominador da outra. Veja nosso exemplo: 
1 3 1 3 3
6 8 6 8 48
uu u 
 
c) Para dividir frações, basta multiplicar a primeira pelo INVERSO da segunda. Veja 
isso em nosso exemplo: 
1
1 3 1 8 86
3 6 8 6 3 18
8
 y u 
 
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*** Dica importantíssima: trabalhando com frações, normalmente podemos 
VXEVWLWXLU�D�H[SUHVVmR�³GH´�SHOD�PXOWLSOLFDomR��9HMD�FRPR� 
- quanto é um terço de 1000? Ora, simplesmente 
1 1000
3
u ! 
- e quanto é dois sétimos de 25? A resposta é 
2 25
7
u . 
- quanto vale um quarto da soma do número de homens (700) e de mulheres (600) 
presentes em um evento? Simplesmente 
1 (700 600)
4
u � . 
- por fim, quanto vale 5/9 da diferença entre os números X e Y? Aqui, a resposta é 
dada pela expressão 
5 ( )
9
X Yu � . 
 Certifique-se de que você entendeu isso. Usaremos bastante ao longo dos 
exercícios! 
 
1.3.3 Operações com números decimais 
 Os números decimais são, em regra, aqueles que resultam da divisão não-
H[DWD� GH� GRLV� Q~PHURV� LQWHLURV�� 6mR� RV� Q~PHURV� TXH� SRVVXHP� ³FDVDV� DSyV� D�
YtUJXOD´��$�PDQLSXODomR�GHOHV�p�HVVHQFLDO� SDUD�D� UHVROXomR�GH�GLYHUVDV�TXHVW}HV��
motivo pelo qual você precisa saber somá-los, subtraí-los, multiplicá-los, dividi-los, 
elevá-los a potências e extrair raízes dos mesmos. Vejamos cada uma dessas 
operações em detalhes. 
 
a) Adição de números decimais: 
 A adição de dois números decimais segue a mesma lógica da adição comum. 
Isto é: 
- os números devem ser posicionados um embaixo do outro, com a vírgula logo 
abaixo da vírgula do outro, e as casas correspondentes uma embaixo da outra 
- as casas correspondentes devem ser somadas, começando da direita para a 
esquerda. 
- à medida que forem sendo formadas dezenas, estas devem ser transferidas para a 
próxima adição (das casas logo à esquerda). 
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 Vamos aplicar estes passos na adição de 13,47 e 2,9. Colocando os números 
um embaixo do outro, com a vírgula uma embaixo da outra, temos todas as casas 
correspondentes em uma mesma vertical: 
 
 13,47 
+ 2,9 
 
 Veja que a casa das unidades do primeiro número (3) está logo acima da 
casa das unidades do segundo número (2). A primeira casa decimal do primeiro 
número (4) está logo acima da primeira casa decimal do segundo (1). E assim por 
diante. Como não há casa decimal abaixo do 7, podemos considerá-la igual a 0. 
Agora, basta começar a somar as casas correspondentes, começando pelas da 
direita, anotando o resultado. Quando houver a formação de dezenas (ex.: 4 + 9 = 
13), a dezena (1) deve ser transferida para a próxima operação (3 + 2). Com isso, 
temos: 
 13,47 
+ 2,9 
 16,37 
 
b) Subtração de números decimais: 
 Aqui também devemos posicionar os números um abaixo do outro, com a 
vírgula do primeiro na mesma vertical da vírgula do segundo número. A seguir 
devemos subtrair as casas correspondentes, da direita para a esquerda. Vejamos: 
 
 13,47 
- 2,9 
 10,57 
 Repare, neste exemplo, que no momento de efetuar a subtração 4 ± 9 foi 
preciso pegar uma uQLGDGH�GD�FDVD�j�HVTXHUGD�GR����QR�FDVR��R����H�³WUDQVIRUPi-OD´�
em uma dezena, somando-a ao 4. Assim, subtraimos 14 ± 9, obtendo o resultado 5. 
A seguir, ao invés de subtrair 3 ± 2, tivemos que subtrair 2 ± 2 pois uma unidade do 
³�´�Mi�KDYLD�VLGR�XWLOL]DGD.c) Multiplicação de números decimais: 
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 Aqui aplicamos o mesmo procedimento da multiplicação comum, com duas 
observações: 
- devemos posicionar os números assim como fizemos na adição e na subtração, 
isto é, com a vírgula de um logo abaixo da vírgula do outro. 
- o número de casas decimais do resultado será igual à soma do número de casas 
decimais dos dois números sendo multiplicados. Assim você saberá posicionar a 
vírgula. 
 Vejamos o nosso exemplo: 
 
 13,47 
x 2,9 
 12123 
+ 26940 
39,063 
 Repare que a primeira linha abaixo do 2,9 refere-se à multiplicação de 13,47 
por 9. Já a segunda linha refere-se à multiplicação de 13,47 por 2. Nesta linha há 
um 0 à direita porque o 2 está uma casa decimal à frente do 9. Efetuando a soma 
das duas linhas, obtém-se 39063. E, lembrando que existem 3 casas decimais nos 
números sendo multiplicados (duas em 13,47 e uma em 2,9), devemos ter 3 casas 
decimais no resultado, o que leva ao número 39,063. 
 
d) Divisão de números decimais: 
 Para efetuar a divisão de números decimais, devemos inicialmente multiplicar 
ambos os números (divisor e dividendo) por uma potência de 10 (10, 100, 1000, 
10000 etc.) de modo a retirar todas as casas decimais presentes. Após isso, é só 
efetuar a operação normalmente. 
 Para exemplificar, vamos dividir 3,5 por 0,25. Observe que o número que 
possui mais casas decimais é o divisor (0,25), possuindo 2 casas decimais. Assim, 
devemos multiplicar ambos os números por 100, de modo a retirar ambas as casas 
decimais: 
 
3,5 x 100 = 350 
0,25 x 100 = 25 
 
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 Agora, basta efetuar a divisão de 350 por 25, que você sabe fazer, tendo 
como resultado o número 14. 
 
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO ± NÚMEROS DECIMAIS) Para fixar o que foi visto aqui, 
efetue as seguintes operações, cujo gabarito é fornecido em seguida. 
a) 2,25 + 1,7 
b) 2,25 ± 1,7 
c) 2,25 x 1,7 
d) 2,25 / 1,5 
e) 0,898 + 1,12 
f) 0,898 ± 1,12 
g) 0,898 x 1,12 
h) 0,898 / 0,01 
Respostas: 
a) 3,95 
b) 0,55 
c) 3,825 
d) 1,5 
e) 2,018 
f) -0,222 
g) 1,00576 
h) 89,8 
 
1.3.4 REPRESENTAÇÃO NA RETA 
 Veja abaixo a reta numérica, onde podemos representar todos os números 
racionais. As setas nas extremidades denotam que a reta cresce infinitamente para 
ambos os lados: 
 
 
 É possível localizar a posição exata de um número racional na reta numérica, 
ainda que ele seja fracionário. Por exemplo, vamos localizar o número 
3
4
, ou 0,75 
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(na forma decimal). Na reta numérica, basta dividirmos o espaço entre 0 e 1 em 
quatro partes, e colocar o número 
3
4
ao final da terceira delas: 
 
 
 Ainda observando a reta numérica acima, observe que a distância do 0 até o 
1 é a mesma distância do 0 até o -���(VVD�GLVWkQFLD�PHGH�³��XQLGDGH´��'D�PHVPD�
forma, a distância de 0 a 2 é a mesma distância de 0 a -���$TXL�D�GLVWkQFLD�p�GH�³��
XQLGDGHV´�� 
Chamamos de módulo de um número a distância entre esse número e o 
zero. Utilizamos o símbolo |A| para representar o módulo do número A. Assim, como 
vimos acima, podemos dizer que: 
|1| = 1 
|-1| = 1 
|2| = |-2| = 2 
 
 Repare que, se o número A é positivo (como no caso do 2), o módulo é ele 
mesmo. Se o número A é negativo (como no caso do -2), o módulo é o seu oposto 
(isto é, -(-2) = 2). De maneira mais formal, podemos dizer que: 
, se A 0| |
, se A<0
A
A
A
t­° ®�°¯
 
 
1.4 NÚMEROS IRRACIONAIS 
 Os Números Irracionais são aqueles que, ao contrário dos Racionais, não 
podem ser obtidos da divisão de dois inteiros, ou seja, não podem ser escritos na 
forma (onde A e B são números inteiros). Isto porque esses números são 
formados por uma sequência infinita de algarismos. 
Exemplo: na obtenção da raiz quadrada do algarismo 2, nos deparamos com 
um número irracional: 
 
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(as reticências indicam que este número é composto por infinitos algarismos) 
Da mesma forma, o conhecido número �³SL´��� PXLWR� XWLOL]DGR� QD�
trigonometria, possui infinitas casas decimais que não se repetem como em uma 
dízima periódica, o que faz dele um número irracional: 
 
 
Antes de avançarmos, deixo uma observação a respeito da representação 
dos números irracionais na reta numérica: 
- não é possível localizar precisamente um número irracional na reta numérica. Isto 
porque esses números tem infinitas casas decimais que não se repetem, não sendo 
possível escrevê-los na forma 
A
B
e usar o mesmo método que vimos para localizar 
os números racionais. 
Obs.: existem formas indiretas para a localização desses números na reta com boa 
precisão. Ex.: sabemos que a diagonal de um quadrado de lados iguais a 1 mede 
exatamente 2 , que é um número irracional. Portanto, basta desenhar esse 
quadrado, pegar a sua diagonal e utilizá-la para medir, na reta numérica, a distância 
entre a origem (zero) e a posição onde deve estar o número 2 . 
 
1.5 NÚMEROS REAIS 
 O conjunto dos Números Reais é formado pela união dos números Racionais 
e Irracionais. Desta forma, podemos dizer que: 
 
(O conjunto dos Números Naturais está contido no dos Inteiros, que está contido no 
dos Racionais, que está contido no dos Reais) 
 E, além disso, 
 
(O conjunto dos Números Irracionais está contido no dos Números Reais) 
 
 Complementando o diagrama que desenhamos nos tópicos acima, agora 
temos: 
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 No diagrama acima, Q/R significa que aquele subconjunto pertence aos 
Números Racionais e Reais, e I/R significa que aquele subconjunto pertence aos 
Números Irracionais e Reais. 
 
1.5.1 OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS 
 As propriedades das operações com números reais são as mesmas já vistas 
para os racionais. 
 
1.5.2 REPRESENTAÇÃO DOS NÚMEROS REAIS NA RETA 
 Dado que os números reais são formados por 2 subconjuntos (racionais e 
irracionais), sabemos que alguns números reais podem ser posicionados 
precisamente na reta numérica (os racionais) e outros não podem ser localizados 
exatamente (os irracionais). 
 
1.6 NÚMEROS PRIMOS E FATORAÇÃO 
Dizemos que um número é primo quando ele só pode ser dividido, sem 
deixar resto, por 1 e por si mesmo. Veja, por exemplo, o número 7. Como qualquer 
número, ele pode ser dividido por um, tendo como resultado 7 e não deixando resto 
algum. Entretanto, experimente dividi-lo por 2, 3, 4, 5 ou 6, e verá que sempre há 
um resto diferente de zero. Apenas ao dividi-lo por 7 é que não encontraremos resto 
novamente. Portanto, 7 é um número primo, pois só é divisível por 1 e por ele 
mesmo. Diversos outros números possuemessa propriedade, como os listados 
abaixo: 
{2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31...} 
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A título de curiosidade, repare que o 2 é o único número primo par. Todos os 
demais são ímpares. 
Qualquer número natural pode ser representado como uma multiplicação de 
números primos. Por exemplo, 6 pode ser representado por 2 x 3. Este processo de 
transformar um número qualquer em um produto de números primos é chamado de 
fatoração. 
Vamos fatorar o número 24. Devemos começar tentando dividi-lo por 2, que é 
o menor número primo (muitos autores não consideram que o 1 seja um número 
primo). Esta divisão é exata (não possui resto), e o resultado é 12. Podemos dividir 
novamente por 2, tendo resultado 6, e dividir o 6 outra vez por 2, tendo resultado 3. 
Agora não é mais possível dividir por 2. Assim, devemos partir para o próximo 
número primo, que é o 3. Dividindo 3 por 3 temos resultado 1. Repare que para 
chegar no resultado 1 foi preciso dividir 24 por 2 em 3 etapas, e a seguir dividir por 3 
em uma etapa. Portanto, 24 = 2 x 2 x 2 x 3, ou simplesmente 24 = 23 x 3. Visualize 
este processo abaixo: 
Número Fator primo 
24 2 
12 2 
6 2 
3 3 
1 Logo, 24 = 23 x 3 
 
 Para praticar, vejamos a fatoração do número 450: 
Número Fator primo 
450 2 
225 3 
75 3 
25 5 
5 5 
1 Logo, 450 = 2 x 32 x 52 
 
Vejamos ainda a fatoração do número 1001. Observe que ele não é divisível 
(ou seja, deixa resto) por 2, 3 ou 5. Apenas ao chegar o fator primo 7 é que 
conseguimos dividi-lo. Acompanhe abaixo: 
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Número Fator primo 
1001 7 
143 11 
13 13 
1 Logo, 1001 = 7 x 11 x 13 
 
A fatoração será muito útil na obtenção do Mínimo Múltiplo Comum e Máximo 
Divisor Comum entre dois números, como veremos a seguir. 
 
1.7 MÚLTIPLOS E DIVISORES 
Para a resolução de diversas questões que podem cair em sua prova, vale a 
pena você desenvolver a rapidez na obtenção de múltiplos e divisores de um dado 
número, calcular o mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum entre dois 
números, e conhecer regras práticas para saber se um número é ou não divisível 
por outro (critérios de divisibilidade). 
Os múltiplos de um número X são aqueles números que podem ser obtidos 
multiplicando X por outro número natural. Por exemplo, os múltiplos de 3 são: 3, 6, 
9, 12, 15 etc. Repare que esses números podem ser obtidos multiplicando 3 por 1, 
2, 3, 4 e 5, respectivamente. Quando temos 2 números X e Y, e listamos os 
múltiplos de cada um deles, podemos ter múltiplos em comum entre os dois. 
Exemplificando, vamos listar alguns múltiplos de 8 e de 12: 
Múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72 etc. 
Múltiplos de 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72 etc. 
 Observe que os seguintes números são múltiplos de 8 e também de 12: 24, 
48, 72. Isto é, são múltiplos em comum desses 2 números. O menor deles, neste 
caso o 24, é chamado de mínimo múltiplo comum (MMC) entre 8 e 12. O cálculo do 
MMC se mostra útil na resolução de diversos exercícios, como veremos adiante. 
 Um método simples de se calcular o MMC entre 2 números é dado pelos 
seguintes passos: 
1. Decompor cada número em uma multiplicação de fatores primos; 
2. O MMC será formado pela multiplicação dos fatores comuns e não comuns dos 
dois números, de maior expoente. 
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 Decompondo 8 em fatores primos, temos que 8 = 2x2x2 = 23. E decompondo 
12 em fatores primos, temos que 12 = 2x2x3 = 22x3. 
 Assim, o MMC será formado pelos fatores comuns (2) e não comuns (3) de 
maior expoente (isto é, MMC = 23 x 3 = 24). 
 A título de exercício, vamos calcular o MMC entre 15 e 9. Veja que 15 = 3x5, 
e 9 = 32. Portanto, MMC = 32x5 = 45. 
 Para você entender como o MMC pode ser útil na resolução de questões, 
imagine o seguinte caso: dois colegas de trabalho, João e José, gostam de realizar 
festas em suas casas periodicamente. João costuma realizar festas de 9 em 9 dias, 
enquanto José costuma realizar festas de 15 em 15 dias. Sabendo que hoje houve 
festa na casa de ambos, daqui a quanto tempo as datas das festas de ambos 
coincidirão novamente? 
 Ora, se João dá festas de 9 em 9 dias, sua próxima festa será daqui a 9 dias, 
a seguinte daqui a 18, a outra daqui a 27, e assim por diante. Já a próxima festa de 
José será daqui a 15 dias, depois daqui a 30, depois 45 etc. Observe que os dias 
em que ambos darão festas devem ser múltiplos de 9 e também de 15, isto é, 
múltiplos comuns de 9 e 15. A próxima festa ocorrerá no menor desses múltiplos, 
isto é, no mínimo múltiplo comum entre 9 e 15. Como calculamos acima, MMC (9, 
15) = 45. Portanto, a próxima vez em que as festas coincidirão ocorrerá daqui a 45 
dias. 
Dizemos que um número é divisível por outro quando esta divisão é exata, 
não deixando resto nem casas decimais. Para saber se um número é divisível por 
outro, basta efetuar a divisão e verificar se existe resto. Ex.: 25 5 5y , portanto 25 é 
divisível por 5. O problema surge quando queremos julgar, por exemplo, se o 
número 1765830275 é divisível por 5. Efetuar esta divisão à mão consome muito 
tempo. Para identificarmos rapidamente essa divisibilidade, existem os critérios de 
divisibilidade. Os principais deles encontram-se na tabela abaixo: 
 
 
 
 
 
 
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Principais critérios de divisibilidade 
Divisor* Critério Exemplos 
1 Todos os números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8... 
2 
Números pares (isto é, terminados 
em um algarismo par) 
0, 2,4, 28, 490, 522 etc. 
3 
Números cuja soma dos algarismos 
é divisível por 3 
0, 3, 6, 9, 12 (1+2=3), 15 (1+5 = 6), 
27 (2+7=9), 51 (5+1=6), 915 
(9+1+5=15) etc. 
4 
Se o número formado pelos 2 
últimos dígitos for divisível por 4 
0, 4, 8, 12, 16, 912, 1816 etc. 
5 Números terminados em 0 ou 5 0, 5, 10, 65, 120, 1345 etc. 
6 Números divisíveis por 2 e por 3 
0, 6, 12, 924 (é par, e 9+2+4=15) 
etc. 
9 
Números cuja soma dos algarismos 
é divisível por 9 
0, 9, 18, 27, 126 (1+2+6 = 9), 7155 
(7+1+5+5=18) etc. 
10 Números terminados em 0 0, 10, 20, 150, 270, 1580 etc. 
*7 e 8 foram omitidos intencionalmente, pois possuem critérios muito difíceis, motivo 
pelo qual praticamente não são cobrados. 
 
Chamamos de máximo divisor comum (MDC) entre dois números A e B o 
maior número pelo qual tanto A quanto B podem ser divididos de maneira exata, isto 
é, sem deixar resto. 
Podemos calcular o máximo divisor comum entre 2 números listando os 
divisores de cada um deles. Exemplificando, vamos listar os divisores de 32 e 40: 
- 32 pode ser dividido por: 1, 2, 4, 8, 16, 32. 
- 40 pode ser dividido por: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40. 
- Divisores comuns entre 32 e 40: 1, 2, 4, 8. 
 Vejam que 8 é o máximo divisor comum (MDC) entre 32 e 40. 
Para calcular o MDC sem precisar listar todos os divisores de cada número 
(como fizemosacima), basta seguir 2 passos: 
1. Decompor cada um dos números em fatores primos (ex.: 32 = 25; 40 = 23u5) 
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2. O MDC será formado pela multiplicação dos fatores comuns de menor 
expoente (neste caso, apenas o 2 é comum, e seu menor expoente é 3. 
Logo, MDC = 23 = 8); 
 
Para você visualizar uma aplicação prática do MDC, imagine o seguinte caso: 
temos um conjunto de 20 cães e 30 gatos. Queremos criar grupos de gatos e 
grupos de cães, sem misturá-los, porém todos os grupos devem ter o mesmo 
número de integrantes. Qual o menor número de grupos possível? 
Para obter o menor número de grupos possível, precisamos dividir 20 e 30 
pelo maior número possível. Este maior número que divide tanto 20 quanto 30, sem 
deixar resto, é justamente o MDC entre 20 e 30. 
Decompondo 20 em fatores primos, temos que 20 = 22x5. Temos também 
que 30 = 2x3x5. Portanto, MDC(20,30) = 2x5 = 10. Portanto, devemos formar 
grupos de 10 elementos. Isto é, 2 grupos com 10 cães em cada, e 3 grupos com 10 
gatos em cada. Assim, o menor número de grupos possível é 5. 
 
Podemos ainda calcular o MMC e o MDC mais rapidamente, fatorando os 
números simultaneamente. Vejamos como fazer isso com exemplos: 
 
a) Cálculo do MMC entre 30 e 40: 
 Inicialmente escrevemos os dois números, um em cada coluna. Na terceira 
coluna vamos escrever os fatores primos que dividem os números. Devemos 
começar pelos menores fatores primos (2, 3, 5...), em ordem crescente. Nosso 
objetivo é dividir os números até ambos ficarem iguais a 1. Veja: 
 
30 40 Fator primo 
30/2 = 15 40/2 = 20 2 
15 (não dá p/ dividir por 2) 20 / 2 = 10 2 
15 (não dá p/ dividir por 2) 10 / 2 = 5 2 
15 / 3 = 5 5 (não dá p/ dividir por 3) 3 
5 / 5 = 1 5 / 5 = 1 5 
 MMC = 23 x 3 x 5 = 120 
 
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b) Cálculo do MDC entre 30 e 40: 
 Inicialmente escrevemos os dois números, um em cada coluna. Na terceira 
coluna vamos escrever os fatores primos que dividem os números. Devemos 
começar pelos menores fatores primos (2, 3, 5...), em ordem crescente. Aqui o 
nosso objetivo é dividir os números apenas pelos fatores que sejam capazes de 
dividir ambos os números simultaneamente: 
 
30 40 Fator primo 
15 20 2 
3 4 5 
 MDC = 2 x 5 = 10 
 
1.8 POTÊNCIAS 
Já tivemos que trabalhar com potências nesta aula, ao abordar a fatoração, 
mas nesta seção veremos mais detalhes sobre esta operação matemática. Observe 
o exemplo abaixo: 
35 5 5 5 125 u u 
(lê-VH��³FLQFR�HOHYDGR�j�WHUFHLUD�SRWrQFLD�p�LJXDO�D�FLQFR�YH]HV�FLQFR�YH]HV�FLQFR´� 
 Pelo exemplo dado, você pode perceber que elevar um número X a uma 
GHWHUPLQDGD� SRWrQFLD� ³Q´� p� VLPSOHVPHQWH� PXOWLSOLFDU� ;� SRU� HOH� PHVPR�� ³Q´� YH]HV��
Outro exemplo, para não deixar dúvida: 
42 2 2 2 2 16 u u u 
�³GRLV�HOHYDGR�j�TXDUWD�SRWrQFLD�p�LJXDO�DR�GRLV�PXOWLSOLFDGR�SRU�HOH�PHVPR���YH]HV´� 
 Resumindo, quando tratamos sobre potências temos sempre uma base 
(número X) elevada a um expoente �³Q´��� (QWHQGLGR� R� FRQFHLWR� EiVLFR�� Sodemos 
analisar algumas propriedades das potências. Essas propriedades facilitarão 
bastante o manuseio de equações que envolvam potências: 
a) Qualquer número elevado a zero é igual a 1. 
Trata-se de uma convenção, isto é, uma definição. Assim, podemos dizer 
que: 
0
0
0
5 1
( 25) 1
0,3 1
 
� 
 
 
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b) Zero elevado a qualquer número é igual a zero. 
,VVR�p�EHP�OyJLFR��SRLV�]HUR�HOHYDGR�D�³Q´�VLJQLILFD�]HUR�PXOWLSOLFDGR�SRU�HOH�
PHVPR��³Q´�YH]HV��([�� 
30 0 0 0 0 u u 
 
c) Multiplicação de potências de mesma base (X): 
A questão aqui é como multiplicar 2 34 4u . Normalmente você faria assim: 
u u u u u 2 34 4 (4 4) (4 4 4) 1024 
9HMD� TXH� EDVWD� VRPDU� RV� H[SRHQWHV� �³Q´��� XPD� YH]� TXH� DV� GXDV� SRWrQFLDV�
têm a mesma base 4: 
�u 2 3 2 3 54 4 4 4 1024 
 
d) Divisão de potências de mesma base (X): 
Como você faria a divisão 
5
3
4
4
? Provavelmente seria assim: 
5
3
4 4 4 4 4 4
4 4 16
4 4 4 4
u u u u u u u 
(QWUHWDQWR��REVHUYH�TXH�EDVWD�VXEWUDLU�RV�H[SRHQWHV��³Q´���SRLV�R�QXPHUDGRU�H�
denominador da divisão tem a base 4. Veja: 
5
5 3 2
3
4
4 4 16
4
� 
 Analogamente, observe que 33
1
4
4
� . Isto porque: 
0
0 3 3
3 3
1 4
4 4
4 4
� � 
 O que vimos acima nos permitirá levar uma potência do numerador para o 
denominador de uma divisão, ou vice-versa, simplesmente trocando o sinal da 
potência. Exemplificando, vamos resolver a expressão 3 54 4� u . Temos duas formas: 
Î Usar a propriedade de multiplicação de potências de mesma base, somando 
os expoentes: 
3 5 ( 3) 5 24 4 4 4 16� � �u 
Î Usar a propriedade que acabamos de ver, levando 34� para o denominador e, 
a seguir, fazendo a divisão de potências de mesma base: 
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5
3 5 5 3 2
3
4
4 4 4 4 16
4
� �u 
 
e) Potência de potência: 
A questão agora é resolver 2 3(2 ) . Você poderia inicialmente elevar 2 à 
segunda potência (isto é, ao quadrado), e a seguir elevar o resultado à terceira 
potência (ao cubo): 
2 3 3(2 ) (4) 64 
Entretanto, veja que basta você elevar 2 ao resultado da multiplicação entre 
os dois expoentes: 
2 3 2 3 6(2 ) 2 2 64u 
 
f) Raiz de potência: 
 Quando estudarmos radiciação (próximo tópico), veremos que trata-se de 
uma operação inversa à potenciação. Assim, obter a raiz quadrada de um número é 
equivalente a elevá-lo a 
1
2
, obter a raiz cúbica é equivalente a elevá-lo a 
1
3
, e assim 
por diante. 
 Visto isso, vamos obter o valor de: 62 . Veja que poderíamos fazer 
simplesmente assim: 
62 2 2 2 2 2 2 64 8 u u u u u 
 Entretanto, como obter a raiz quadrada é igual a elevar a 
1
2
, podemos fazer: 
� � 11 66 6 3222 2 2 2 8u 
 Note que utilizamos a propriedade anterior (potência de potência) para 
resolver este caso. 
 
g) Potência de produto: 
Se tivermos que resolver uma expressão como 2(2 3)u , podemos fazer de 
algumas formas: 
Î 2 2(2 3) (6) 36u 
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Î 2(2 3) (2 3) (2 3) 36u u u u 
Î 2 2 2(2 3) 2 3 4 9 36u u u 
Veja a última forma. Ela nos diz que um produto A Bu elevado à uma 
SRWrQFLD�³Q´�p�LJXDl ao produto das potências nA e nB . 
 
h) Potência de base 10: 
4XDQGR�D�EDVH�GD�SRWrQFLD� IRU����H�R�H[SRHQWH� IRU�XP�Q~PHUR�QDWXUDO� ³Q´��
ILFD� EHP� IiFLO� UHVROYHU�� 2� UHVXOWDGR� VHUi� IRUPDGR� SHOR� Q~PHUR� �� VHJXLGR� GH� ³Q´�
zeros: 
3
6
10 1000
10 1000000
 
 
 Da mesma forma, se o expoente for um número inteiro negativo, basta usar 
as propriedades que vimos acima. Veja exemplos: 
3
3
6
6
1 1
10 0,001
10 1000
1 1
10 0,000001
101000000
�
�
 
 
 
i) Potência de base negativa: 
Quando a base da potência é um número negativo, devemos analisar qual 
será o sinal do resultado. Por ex.: 3(-2) = 8 ou -8 ? 
Para isso, fica aqui uma regra: se o expoente for par, o resultado é positivo. 
Se o expoente for ímpar, o resultado será negativo. Neste caso, como 3 é ímpar, o 
resultado correto é -8. Você pode visualizar isso melhor fazendo a conta em etapas: 
3(-2) = (-2) (-2) (-2) (4) (-2) 8u u u � 
 Veja um exemplo com expoente par: 
4(-2) = (-2) (-2) (-2) (-2) (4) (4) 16u u u u 
j) Fração elevada a um expoente: 
Uma fração elevada a um expoente é igual a outra fração onde numerador e 
denominador estão elevados àquele expoente. Veja: 
3 3
3
2 2
3 3
§ · ¨ ¸© ¹ 
 Isto pode ser visto fazendo a conta em etapas: 
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3 3
3
2 2 2 2 2 2 2 2 8
3 3 3 3 3 3 3 3 27
u u§ · u u ¨ ¸ u u© ¹ 
 
1.9 RAÍZES 
Como já disse acima, a radiciação é uma operação inversa à potenciação. 
Quando dizemos que a raiz quadrada de 9 é 3, isso significa que 3 elevado ao 
quadrado será igual a 9. A operação de radiciação pode ser escrita usando-se o 
símbolo n ou elevando o número em questão ao expoente 
1
n
. Veja alguns 
exemplos: 
1
3 327 27 3 , pois 33 27 
1
2 216 16 4 , pois 24 16 
 Veja que, quando se trata de raiz quadrada, podemos usar o símbolo 2 ou 
simplesmente . 
 
As principais propriedades da radiciação são: 
 
a) Qualquer raiz de zero é igual a zero: 
Isto é, 0 0n . Isto porque zero elevado a qualquer número também resulta 
em zero. 
 
b) Qualquer raiz de 1 é igual a 1: 
Ou seja, 1 1n . Isto porque 1 elevado a qualquer número também resulta em 
1. 
 
c) 
a
b a bx x 
 Essa é uma propriedade muito importante. Exemplificando, 
6
3 6 234 4 4 16 . 
 
d) 5DL]�³Q´�GH�SURGXWR�p�LJXDO�DR�SURGXWR�GDV�UDt]HV�³Q´� 
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,VWR�p��D�UDL]�³Q´�GH�$�[�%�p�LJXDO�D�UDL]�³Q´�GH�$�[�UDL]�³Q´�GH�%�� 
n n nA B A Bu u 
Veja que essa propriedade só vale se ambas as raízes tiverem o mesmo 
UDGLFDO�³Q´��,OXVWUDQGR��WHPRV�TXH� 
25 16 25 16 5 4 20u u u 
 
e) Raiz da divisão é igual à divisão das raízes: 
A raiz de A/B é igual à raiz de A dividida pela raiz de B: 
n
n
n
A A
B B
 
Veja esse exemplo: 
25 25 5
16 416
 
 
f) Raiz de raiz: 
Por essa propriedade, temos que n m n mA Au . Exemplificando: 
3 3 2 62 2 2u 
 Isso pode ser visto usando-se as propriedades de potência: 
1
1 1 11 1 333 62 3 62 22 2 2 2 2 2
u§ · ¨ ¸© ¹
 
 
Vamos estudar um método para extrair a raiz de um número. Ele consiste em 
2 passos: 
1. Decomposição do número em fatores primos 
2. Aplicação da propriedade 
a
b a bx x 
A título de exemplo, vamos calcular 3 216 . Lembre-se que os números 
primos são aqueles divisíveis apenas por 1 e por si mesmos, ou seja: 2, 3, 5, 7, 11, 
13, 17, 19, 23 etc. Assim, iremos começar dividindo 216 pelo menor número primo 
(2) e, quando não mais for possível, passamos para o número primo seguinte (3), e 
assim sucessivamente. Teremos: 
 
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Número Fator primo 
216 2 
108 2 
54 2 
27 3 (pois não é mais possível usar o 2) 
9 3 
3 3 
1 Logo, 216 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 23 x 33 
 
 Feito isso, podemos aplicar a propriedade da radiciação da seguinte forma: 
1 1 1
3 33 3 3 3 1 13 3 3 3 3216 (2 3 ) (2 3 ) 2 3 2 3 6
u u u u u u 
 Se você ficou em dúvida, talvez precise voltar na seção de Potenciação e 
revisar as propriedades que estudamos. 
 Vamos resolver mais um caso: 7056 . Decompondo 7056 em fatores 
primos, temos: 
Número Fator primo 
7056 2 
3528 2 
1764 2 
882 2 
441 3 
147 3 
49 7 
7 7 
1 Logo, 4 2 27056 2 3 7 u u 
 
Portanto: 
1 1 1
4 2 24 2 2 22 2 27056 2 3 7 2 3 7 2 3 7 84
u u u u u u u u u 
 
 Várias vezes você irá se deparar com números que não possuem raiz exata. 
Apesar disso, é possível simplificar o resultado. Vamos calcular, por exemplo, a raiz 
quadrada de 32. 
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Fazendo a decomposição em fatores primos, temos que: 
32 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 25 
Assim, 
532 2 
 Podemos simplificar esta expressão lembrando-se que 5 42 2 2 u : 
5 4 432 2 2 2 2 2 4 2 u u u ou, simplesmente, 4 2 
 
Finalizando, é bom lembrar que no conjunto dos números reais não existe 
raiz par de números negativos (ex.: não existe 2 16� ), mas existe raiz ímpar 
( 33 27 3, pois ( 3) 27� � � � ). 
 
1.10 EXPRESSÕES NÚMERICAS 
 Uma expressão numérica é uma sequência de números dispostos de acordo 
com sinais matemáticos, que indicam as operações a serem efetuadas. Veja um 
exemplo: 
^ `( 25 2) (9 3) 7 4ª º� u � � y ¬ ¼ 
 A resolução desse tipo de expressão é muito simples, desde que você se 
lembre das seguintes regras: 
1. Primeiro resolver o que está dentro dos parênteses, depois o que está entre 
colchetes, e a seguir o que está entre chaves. 
2. Primeiro resolver operações de radiciação ou potenciação, a seguir multiplicação 
ou divisão, e a seguir resolver operações de soma ou subtração. 
 Utilizando o nosso exemplo, veja que devemos inicialmente resolver as duas 
operações que encontram-se entre parênteses. Dentro desses parênteses, veja que 
há uma operação de radiciação ( 25 ), que é a primeira a ser resolvida: 
> @^ `(5 2) (9 3) 7 4� u � � y 
 A seguir, resolvemos as demais operações dentro dos parênteses, obtendo: 
> @^ `7 6 7 4u � y 
 Agora devemos resolver a multiplicação dentro dos colchetes: 
^ `42 7 4� y 
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 Em seguida resolvemos a subtração dentro das chaves: 
35 4y 
 Por fim, resolvemos a divisão que se encontrava fora das chaves, obtendo: 
35 4 8,75y 
Vale a pena lembrar aqui que uma fração é uma operação de divisão como 
outra qualquer, e se houver uma fração em sua expressão numérica, basta resolvê-
la no momento que você resolveria aquela operação de divisão. 
 
1.11 EXPRESSÕES ALGÉBRICAS 
 As expressões algébricas são expressões matemáticas que possuem 
variáveis, também chamadas de incógnitas, que normalmente são representadas 
por letras. Estas variáveis representam, em realidade, números que não sabemos. 
Para descobri-los, precisamos saber manipular a expressão (que normalmente é 
composta por letras e números). Exemplos de expressões algébricas: 
2
5
2 3 0
10 0
1 5
a b
x
y y
p
� 
� 
� � 
� 
 
 É fundamental sabeU�³OHU´�HVWDV�H[SUHVV}HV��9HMD�DOJXQV�H[HPSORV� 
- ³D�VRPD�GH�GRLV�Q~PHURV�p�LJXDO�D��´�Æ a + b = 5 
- ³R�GREUR�GH�XP�Q~PHUR��DGLFLRQDGR�GH���XQLGDGHV��p�LJXDO�D�]HUR´�Æ 2x + 3 = 0 
- ³R�TXDGUDGR�GH�XP�Q~PHUR��VXEWUDtGR�GHVWH�PHVPR�Q~PHUR�H�DGLFLRQDGR�GH����uQLGDGHV�p�LJXDO�D�]HUR´�Æ y2 ± y + 10 = 0 
 
A maioria das questões não fornecerá uma expressão algébrica como as que 
vimos acima. Normalmente, o enunciado apresenta informações que permitirão que 
você mesmo construa a(s) expressão(ões) algébrica(s) para resolver a questão. 
 As expressões algébricas são constituídas de um 1º termo (à esquerda), o 
sinal de igualdade e o 2º termo (à direita). Veja: 
2 3 5x x� � 
 É possível somar, subtrair, multiplicar ou dividir um dos termos da expressão 
por qualquer número, desde que façamos a mesma coisa com o outro termo. Caso 
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contrário, não mais teremos uma igualdade. Exemplificando, podemos somar 1 
unidade em cada membro da equação acima, obtendo o seguinte: 
2 3 (1) 5 (1)
2 4 6
x x
x x
� � � �
� � 
 Note o que acontece se somamos -4 (isto é, subtraímos 4) nos dois membros 
dessa última expressão: 
2 4 ( 4) 6 4
2 6 4
x x
x x
� � � � � �
 � � 
 Você percebe que somar (-���QRV�GRLV�PHPEURV�p�HTXLYDOHQWH�D�³SDVVDU´�R����
que estava somando no primeiro termo (2x + 4) para o outro lado da igualdade, 
porém invertendo o sinal? Em resumo: sempre que você quiser passar um número 
ou variável que está somando ou subtraindo de um lado para o outro da igualdade, 
basta trocar o seu sinal. 
 Agora, veja a seguinte expressão: 
2( 2) 6x x� � 
 Note que no primeiro membro temos o número 2 multiplicando o termo (x+2). 
Se dividirmos ambos os lados da igualdade por 2, teremos: 
2( 2) 6
2 2
6
2
2
x x
x
x
� � 
�� 
 
 Veja que o 2 que estava multiplicando o primeiro membro agora está 
dividindo o segundo membro. Assim, sempre que um número ou variável estiver 
multiplicando ou dividindo um dos termos da igualdade, ele pode passar para o 
outro lado, bastando para isso inverter a operação. 
 Muito cuidado para não cometer o seguinte erro: 
3 1 6
6
1
3
x x
x
x
� �
�� 
 Neste caso acima, o número 3 estava multiplicando x e foi transferido para o 
outro lado da igualdade, dividindo o segundo termo. Porém, o 3 não estava 
multiplicando todo o primeiro termo, por isso não podia passar para o outro lado 
dividindo o segundo termo. Neste caso, o correto seria passar, primeiramente, o 
número 1 (que estava somando) para o outro lado (subtraindo). Feito isso, teríamos: 
3 6 1x x � � 
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 Agora sim o 3 está multiplicando todo o primeiro termo da igualdade, e pode 
passar para o outro lado dividindo: 
6 1
3
x
x
� � 
 Quando estamos diante de uma expressão algébrica e queremos descobrir o 
valor de uma variável, basta passar todos os termos que contém a variável para um 
lado da igualdade, e todos os que não a contém para o outro lado da igualdade. 
Utilizando a equação3 3 7x x� � , vamos descobrir o valor de x. Inicialmente, 
passamos para o lado esquerdo os termos que contém x, e para o lado direito os 
que não contém, fazendo as trocas de sinal ou inversão de operação necessárias: 
3 3 7
3 7 3
2 4
x x
x x
x
� �
� �
 
 
 A seguir, podemos isolar a variável x, passando para o outro lado da 
igualdade o 2 que a multiplica: 
2 4
4
2
2
x
x
x
 
 
 
 
 Assim como vimos nas expressões numéricas, devemos resolver primeiro o 
que está entre parênteses (), depois o que está entre colchetes [ ], e por fim o que 
está entre chaves { }. 
 Da mesma forma, devemos resolver primeiro as operações de potenciação 
ou radiciação, a seguir as de multiplicação ou divisão, e por fim as de soma ou 
subtração. Preste atenção nesses aspectos ao estudar a resolução dos exercícios. 
 
1.12 PORCENTAGEM 
 A porcentagem nada mais é do que uma divisão onde o denominador é o 
número 100. Você certamente deve estar bem habituado a ver porcentagens nas 
notíciaV� GD� LPSUHQVD�� 'L]HU� TXH� ���� �OHLD� ³FLQFR� SRU� FHQWR´�� GRV� EUDVLOHLURV� VmR�
desempregados é igual a dizer que 12 a cada grupo de 100 brasileiros não tem 
emprego. Veja outros exemplos: 
 
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- ³����GR�VHX�VDOiULR�GHYH�VHU�SDJR�D�WtWXOR�GH�FRQWULEXLomR�SUHYLGHQFLiULD´��GH�FDGD�
100 reais que você recebe como salário, 11 devem ser pagos para a previdência. 
 
- ³D�WD[D�GH�DQDOIDEHWLVPR�GH�DGXOWRV�QR�%UDVLO�p�GH����´��GH�FDGD�����DGXOWRV�QR�
Brasil, 20 são analfabetos. 
 
- ³R�Q~PHUR�GH�DGROHVFHQWHV�JUiYLGDV�FUHVFHX�����HP� 2011, em relação ao ano 
DQWHULRU´��SDUD�FDGD�����DGROHVFHQWHV�JUiYLGDV�TXH�H[LVWLDP�HP�������SDVVDUDP�D�
existir 10 a mais em 2011, isto é, 110 adolescentes grávidas. 
 
- ³R�Q~PHUR�GH�IXPDQWHV�KRMH�p���PHQRU�TXH�DTXHOH�GR� LQtFLR�GD�GpFDGD´�� �SDUD�
cada 100 fumantes existentes no início da década, hoje temos 100 ± 5, isto é, 95 
fumantes. 
 
 Para calcular qual a porcentagem que uma certa quantia representa de um 
todo, basta efetuar a seguinte divisão: 
 
quantia de interesse
Porcentagem = 100%
total
u 
 
 Por exemplo, se queremos saber qual o percentual que 3 crianças 
representam em um total de 4 crianças, temos: 
 
quantia de interesse 3
Porcentagem = 100% 100% 0,75 100% 75%
total 4
u u u 
 
 Podemos transformar um número porcentual (ex.: 75%) em um número 
decimal (ex.: 0,75), e vice-YHUVD��OHPEUDQGR�TXH�R�VtPEROR���VLJQLILFD�³GLYLGLGo por 
���´��,VWR�p������p�LJXDO�D����GLYLGLGR�SRU������TXH�p�LJXDO�D������ 
 
75
75% 0,75
100
 
 
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 Da mesma forma, se temos um número decimal (ex.: 0,025) e queremos 
saber o valor percentual correspondente, basta multiplicá-lo por 100%: 
 
100
0,025 0,025 0,025 100% 2,5%
100
 u u 
 
 Por fim, se 
quantia de interesse
Porcentagem = 100%
total
u , então também 
podemos dizer que: 
 
quantia de interesse = porcentagem totalu 
(Obs.: veja que omiti o 100% desta última fórmula, afinal 
100
100% 1
100
 ). 
 Esta fórmula acima nos diz que, se queremos saber quanto é 20% de 300, 
basta multiplicar 20% por 300: 
 
20% de 300 = 20% x 300 = 0,2 x 300 = 60 
 
 Isto é, 60 pessoas correspondem a 20% de um total de 300 pessoas. 
Portanto, grave isso: HP�PDWHPiWLFD��R�³GH´�HTXLYDOH�j�PXOWLSOLFDomR. Portanto, 
20% de 300 é igual a 20% x 300, e assim por diante. 
 
1.13 REGRA DE TRÊS SIMPLES 
A regra de três simples é uma ferramenta essencial na resolução de várias 
questões. 
Imagine uma empresa onde o salário dos profissionais é diretamente 
proporcional ao tempo de serviço. Isso quer dizer que, à medida que o tempo de 
serviço aumenta, o salário do profissional também aumenta, e vice-versa. Esse 
crescimento ocorre de maneira proporcional, isto é, de maneira a manter a mesma 
razão entre o salário e o tempo trabalhado. Assim, se S1 é o salário de um 
empregado e T1 é o tempo trabalhado por ele atualmente, e S2 é o salário de outro 
empregado que já trabalhou pelo período T2. 
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 Neste caso, podemos montar uma regra de três simples para relacionar 
essas grandezas: 
Tempo...........................................Salário 
T1 S1 
T2 S2 
 8PD�YH]�PRQWDGD�HVVD� UHJUD�GH� WUrV��EDVWD�XVDU�D� ³PXOWLSOLFDomR�FUX]DGD´��
isto é, multiplicar os termos das diagonais para obter a seguinte igualdade: 
1 2 2 1T S T Su u 
 
Vamos usar números para entender melhor esse exemplo: nessa empresa 
onde salários e tempos de serviço são diretamente proporcionais, João tem 5 anos 
de serviço e ganha R$1000 por mês. Se o salário de Kléber é de R$1500 por mês, 
há quanto tempo ele trabalha nesta empresa? 
Temos duas grandezas envolvidas (tempo trabalhado e salário). Para encontrar 
o tempo trabalhado por Kléber (que chamaremos de T), montamos a seguinte regra 
de três: 
Tempo (anos)...........................................Salário (reais) 
5 1000 
T 1500 
Assim, basta multiplicar os termos de uma diagonal (5 x 1500) e igualar à 
multiplicação dos termos da outra diagonal (T x 1000): 
5 1500 1000
7500 1000
7500
7,5
1000
T
T
T
u u
 u
 
 
 Portanto, Kléber trabalha na empresa há 7,5 anos. 
 
1.14 PRODUTOS NOTÁVEIS 
 Existem algumas expressões que costumam aparecer com frequência em 
QRVVRV� FiOFXORV�� (VVDV� H[SUHVV}HV� VmR� FKDPDGDV� GH� ³SURGXWRV� QRWiYHLV´�� H� R�
conhecimento delas pode permitir que você agilize os seus cálculos e obtenha 
resultados mais rapidamente. Vejamos os principais casos: 
 
Quadrado da soma de dois termos 
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 ,PDJLQH� TXH� WHQKDPRV� GXDV� YDULiYHLV� HP� XPD� HTXDomR�� ³D´� H� ³E´�� 2�
quadrado da soma desses dois termos é simplesmente (a + b)2. Repare que: 
(a + b)2 = (a + b) . (a + b) 
 
 Desenvolvendo essa expressão da direita da igualdade acima, utilizando a 
propriedade distributiva da multiplicação, temos: 
(a + b)2 = a.a + a.b + b.a + b.b 
(a + b)2 = a2 + a.b + a.b + b2 
(a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2 
 
 $�H[SUHVVmR�DFLPD�p�R�QRVVR�³SURGXWR�QRWiYHO´��(OD�QRV�GL]�TXH�R�TXDGUDGR�
da soma de dois termos é IGUAL ao quadrado do primeiro termo (a2) somado a 
duas vezes a multiplicação entre os termos (2.a.b) e somado ao quadrado do 
segundo termo (b2). 
 Vejamos um exemplo prático. Suponha que você precise fazer o cálculo de 
572. Isso é o mesmo que: 
(50 + 7)2 
 
 Temos o quadrado de uma soma, que pode ser resolvido através do produto 
notável que já conhecemos acima: 
(a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2 
(50 + 7)2 = 502 + 2.50.7 + 72 
(50 + 7)2 = 2500 + 100.7 + 49 
(50 + 7)2 = 2500 + 700 + 49 
(50 + 7)2 = 3249 
 
Quadrado da diferença entre dois termos 
 ,PDJLQH� TXH� WHQKDPRV� GXDV� YDULiYHLV� HP� XPD� HTXDomR�� ³D´� H� ³E´�� 2�
quadrado da diferença entre esses dois termos é simplesmente (a ± b)2. Repare 
que: 
(a ± b)2 = (a ± b) . (a ± b) 
(a ± b)2 = a.a ± a.b ± b.a + b.b 
(a ± b)2 = a2 ± 2.a.b + b2 
 
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 Temos na linha acima mais um produto notável. Ele poderia ter sido usado 
para fazer também o cálculo de 572, lembrando que isto é equivalente a (60 ± 3)2. 
Veja: 
572 = 
(60 ± 3)2 = 
602 ± 2x60x3 + 32 = 
3600 ± 360 + 9 = 
3249 
 
 Veja como utilizar um produto notável como este em uma questão de prova: 
 
1. FCC ± TRT/4ª ± 2011) Dos números que aparecem nas alternativas, o que mais 
se aproxima do valor da expressão 2 2(0,619 0,599 ) 0,75� u é: 
a) 0,0018 
b) 0,015 
c) 0,018 
d) 0,15 
e) 0,18 
RESOLUÇÃO: 
 Veja que elevar 0,619 e 0,599 ao quadrado seria bem trabalhoso. Entretanto, 
lembrando que 2 2( ) ( )a b a b a b� u � � , onde a = 0,619 e b = 0,599, temos que: 
2 2
2 2
2 2
2 2
( ) ( )
0,619 0,599 (0,619 0,599) (0,619 0,599)
0,619 0,599 (1,218) (0,02)
0,619 0,599 0,0243
a b a b a b� � u �
� � u �
� u
� 
 
 Assim, 
2 2(0,619 0,599 ) 0,75 0,0243 0,75 0,0182� u u 
Resposta: C 
 
Diferença entre dois quadrados 
 Observe que: 
(a + b) x (a ± b) = 
a.a + a.b ± b.a ± b.b = 
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a2 + a.b ± a.b ± b2 = 
a2 ± b2 
 
 
 Ou seja, 
(a + b) x (a ± b) = a2 ± b2 
 
 Este é o nosso produto notável. Ele nos diz que a diferença entre dois 
números elevados ao quadrado (a2 ± b2) é igual à multiplicação entre a soma deles 
(a + b) e a diferença entre eles (a ± b). Portanto, caso você precise fazer, por 
exemplo, (82 ± 72), basta calcular assim: 
 
a2 ± b2 = (a + b) x (a ± b) 
82 ± 72 = (8 + 7) x (8 ± 7) 
82 ± 72 = (15) x (1) 
82 ± 72 = 15 
 
 Fácil, não? Vejamos mais produtos notáveis. 
 
Cubo da soma de dois números e Cubo da diferença entre dois números 
 A lógica desses produtos notáveis é similar à lógica que já vimos nos demais 
casos. Assim, para não perdermos tempo, vou disponibilizar para você diretamente 
as fórmulas desses dois casos: 
 
3 3 2 2 3( ) 3 3� � u u � u u �a b a a b a b b 
 
3 3 2 2 3( ) 3 3� � u u � u u �a b a a b a b b 
 
 
 Exemplificando o uso desses produtos notáveis, vamos resolver a questão 
abaixo: 
 
 
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2. CEPERJ ± DEGASE/RJ ± 2012) Uma quantidade X é dada pela expressão: 
 
Desse modo, X é igual a: 
A) 25,2527456 
B) 26,3939392 
C) 27,0000000 
D) 36,0000000 
E) 36,3020293 
RESOLUÇÃO: 
 Veja que temos termos elevados ao cubo nessa expressão do enunciado, o 
que nos faz lembrar do seguinte produto notável: 
3 3 2 2 3( ) 3 3� � u u � u u �a b a a b a b b 
 
 2EVHUYH� TXH� VH� WURFDUPRV� ������ SRU� ³D´� H� ������ SRU� ³E´�� D� H[SUHVVmR� GR�
enunciado seria exatamente 3 2 2 33 3a a b a b b� u u � u u � . 
 Observando os produtos notáveis, vemos que: 
3 2 2 3 33 3 ( )a a b a b b a b� u u � u u � � 
 Portanto, ao invés de efetuar toda a conta, basta calcularmos: 
X = (0,023 + 2,977)3 = 33 = 27. 
Resposta: C 
 
 Estes não são os únicos produtos notáveis existentes, mas são os mais 
importantes. Resumindo-os, temos: 
1. 2 2 2( ) 2a b a a b b� � u u � 
2. 2 2 2( ) 2a b a a b b� � u u � 
3. 2 2( ) ( )a b a b a b� u � � 
4. 3 3 2 2 3( ) 3 3� � u u � u u �a b a a b a b b 
5. 3 3 2 2 3( ) 3 3� � u u � u u �a b a a b a b b 
 
 
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1.15 CONJUNTOS NUMÉRICOS COMPLEXOS 
 Utilizando o conjunto dos números Reais é possível representar tudo o que 
lidamos no dia-a-dia. Entretanto, como já vimos, não existe raiz quadrada de 
número negativo no conjunto dos números reais��(VVH�³SUREOHPD�PDWHPiWLFR´�WHP�
diversas implicações que não estamos tão acostumados a ver, como o 
modelamento matemático da eletricidade.