Aula 02 - Apostila Teste Anpad - Estratégia concursos

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RACIOCÍNIO QUANTITATIVO P/ 
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TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
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AULA 02: CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
SUMÁRIO PÁGINA 
1. Teoria 02 
2. Questões comentadas 55 
3. Lista de questões 97 
4. Gabarito 115 
 
 
Olá! 
Nesta aula estudaremos os seguintes tópicos: Conjuntos de 
números e desigualdade – Números: naturais, inteiros, racionais, 
irracionais e reais. Valor absoluto. 
Veremos mais alguns aspectos de Matemática Básica que serão 
muito úteis para a resolução de questões. Tenha uma excelente aula. 
Permaneço à disposição no fórum, ok? 
 
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1. TEORIA 
 Chamamos de conjuntos numéricos as principais classificações dos 
números conhecidos. Nos próximos tópicos conheceremos os principais 
conjuntos, suas propriedades e suas operações. 
 
1.1 NÚMEROS NATURAIS 
 Os números naturais têm esse nome por serem aqueles mais 
intuitivos, de “contagem natural”. Isto é, são aqueles construídos com os 
algarismos de 0 a 9. O símbolo desse conjunto é a letra N, e podemos 
escrever os seus elementos entre chaves: 
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 
19, 20, 21, 22…} 
As reticências indicam que este conjunto não tem fim, ou seja, 
existem infinitos números naturais. 
 Apesar de incluído neste conjunto, o zero não é um número natural 
propriamente dito (pois não é um número de “contagem natural”). Por 
isso, utiliza-se o símbolo N* para designar os números naturais positivos, 
isto é, excluindo o zero. Vejam: N* = {1, 2, 3, 4…} 
 Alguns conceitos básicos relacionados aos números naturais: 
 
a) Sucessor: é o próximo número natural. Isto é, o sucessor de 2 é 3, 
e o sucessor de 21 é 22. E o sucessor do número “n” é o número 
“n+1”. 
 
b) Antecessor: é o número natural anterior. Isto é, o antecessor de 2 
é 1, e o antecessor de 21 é 20. E o antecessor do número “n” é o 
número “n-1”. Observe que o número natural zero não possui 
antecessor, pois é o primeiro número desse conjunto. 
 
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c) Números consecutivos: são números em sequência. Assim, 
{2,3,4} são números consecutivos, porém {2, 5,4} não são. E {n-
1, n e n+1} são números consecutivos. 
 
d) Números naturais pares: {0, 2, 4...}. Número par é aquele que, ao 
ser dividido por 2, não deixa resto. Por isso o zero também é par. 
 
e) Números naturais ímpares: {1, 3, 5...}. Ao serem divididos por 2, 
deixam resto 1. 
 
Sobre pares e ímpares, vale a pena perceber que: 
- a soma ou subtração de dois números pares tem resultado par. Ex.: 12 
+ 6 = 18; 12 – 6 = 6. 
- a soma ou subtração de dois números ímpares tem resultado par. Ex.: 
13 + 5 = 18; 13 – 5 = 8. 
- a soma ou subtração de um número par com outro ímpar tem resultado 
ímpar. Ex.: 12 + 5 = 17; 12 – 5 = 7. 
- a multiplicação de números pares tem resultado par: 4 x 6 = 24. 
- a multiplicação de números ímpares tem resultado ímpar: 3 x 5 = 15. 
- a multiplicação de um número par por um número ímpar tem resultado 
par: 2 x 3 = 6. 
 
1.2 NÚMEROS INTEIROS 
 Os números inteiros são os números naturais e seus respectivos 
opostos (negativos). Isto é, 
Z = {...-12, -11, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 
6, 7, 8, 9, 10, 11, 12...} 
Observem que todos os números Naturais são também Inteiros, 
mas nem todos os números inteiros são naturais. Assim, podemos dizer 
que o conjunto de números naturais está contido no conjunto de números 
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inteiros, isto é, N Z, ou ainda que N é um subconjunto de Z. O diagrama 
abaixo explicita esta relação entre N e Z: 
 
 Dentro deste conjunto, podemos destacar alguns subconjuntos de 
números. Vejam que os nomes dos subconjuntos são autoexplicativos: 
 
a) Números Inteiros não negativos = {0,1,2,3...}. Veja que são os 
números naturais. 
 
b) Números Inteiros não positivos = {… -3, -2, -1, 0}. Veja que o zero 
também faz parte deste conjunto, pois ele não é positivo nem negativo. 
 
c) Números inteiros negativos = { … -3, -2, -1}. O zero não faz parte. 
 
d) Números inteiros positivos = {1, 2, 3...}. Novamente, o zero não faz 
parte. 
 
1.3 NÚMEROS RACIONAIS 
 Os números racionais são aqueles que podem ser representados na 
forma da divisão de dois números inteiros. Isto é, são aqueles números 
que podem ser escritos na forma (A dividido por B), onde A e B são 
números inteiros. Exemplos: 
 
 é Racional, pois é a divisão do número inteiro 5 pelo número 
inteiro 4. 
 
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 é Racional, pois é a divisão do número inteiro -15 pelo número 
inteiro 9, ou a divisão de 15 por -9. 
 
73 e -195 são Racionais, pois são a divisão dos números 73 e -195 
pelo número 1. 
 
 Observe este último exemplo. Já tínhamos visto que qualquer 
número natural é também inteiro. E agora vemos que todo número inteiro 
é também racional! Isto porque qualquer número inteiro é o resultado da 
divisão dele mesmo por 1, podendo ser representado na forma (A 
dividido por 1, onde A é um número inteiro qualquer). Veja se este novo 
diagrama, contendo os números Naturais, Inteiros e Racionais, faz 
sentido para você: 
 
 O zero também faz parte dos Números Racionais (pode ser escrito 
na forma , concorda?). Porém, quando escrevemos um número racional 
na forma , o denominador (isto é, o número B) nunca é zero. Isto porque 
a divisão de um número por zero é impossível (exceto 
0
0
, cujo valor é 
indeterminado). 
 
 No conjunto dos Números Racionais, temos basicamente 3 tipos de 
números: 
 
a) Frações. Ex.: , , etc. 
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b) Números decimais. Ex.: 1,25 
 Veja que este número decimal tem escrita finita, isto é, um 
número definido de casas após a vírgula. Por isso, ele também 
poderia ser escrito na forma . Neste caso, poderíamos representá-
lo como , ou mesmo simplificá-lo para . 
 
c) Dízimas periódicas. Ex.: 0,33333... ou simplesmente (a barra 
indica que o algarismo 3 repete-se indefinidamente). 
As dízimas periódicas são consideradas racionais porque 
também podem ser escritas na forma . O número deste exemplo 
poderia ser escrito na forma . Existem métodos que nos permitemencontrar qual fração é equivalente a uma determinada dízima 
periódica. Outro exemplo de dízima periódica: 1,352525252... ou 
. 
 
 Antes de prosseguirmos, vejamos como obter as frações que dão 
origem a dízimas periódicas. Divida 1 por 3 e você obterá 0,333... , ou 
simplesmente 0,3. Assim, dizemos que a “fração geratriz” da dízima 0,3 é 
igual a 
1
3
. Existem métodos que nos permitem, a partir de uma dízima 
periódica, chegar até a fração que deu origem a ela. 
 
 Em alguns casos, a parte que se repete já começa logo após a 
vírgula. Isto é o caso em: 
0,333... 
0,353535... 
0,215215215... 
 
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 Em outros casos, existem alguns números entre a vírgula e o início 
da repetição. Veja esses números sublinhados nas dízimas abaixo: 
0,1333... 
0,04353535... 
0,327215215215... 
 
 Vamos começar trabalhando com os casos onde a repetição começa 
logo após a vírgula, para a seguir estender o método aos casos onde 
existem números entre a vírgula e o início da repetição. 
 
 Casos onde a repetição começa logo após a vírgula: 
Vamos trabalhar com a dízima 0,333... . Chamemos de X a fração 
que dá origem a esta dízima. Ou seja, 
X = 0,333... 
 
 Como a repetição é formada por um único número (3), se 
multiplicarmos esta dízima por 10 conseguimos passar, para o outro lado 
da vírgula, o primeiro número da repetição: 
10X = 10 x 0,333... = 3,333... 
 
 Observe que 10X = 3 + 0,333... . Veja ainda a seguinte subtração: 
10X – X = 3,333... – 0,333... 
 
 Os dois números à direita da igualdade acima possuem infinitas 
casas decimais idênticas. Portanto, o resultado desta subtração é: 
9X = 3 
3 1
9 3
X   
 Assim, descobrimos que a fração geratriz da dízima 0,333... é 
1
3
X  . 
 Vejamos um segundo exemplo: vamos buscar a fração geratriz da 
dízima 0,216216216... . Repare que temos a repetição de 216, e não há 
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nenhuma casa separando a vírgula e o início da repetição. Chamando de 
X a fração geratriz da dízima, temos: 
X = 0,216216216... 
 Para passar a primeira repetição (216) para a esquerda da vírgula, 
precisamos multiplicar X por 1000: 
1000X = 216,216216216... 
 
 Efetuando a subtração 1000X – X podemos obter a fração geratriz: 
1000X – X = 216,216216216... – 0,216216216... 
999X = 216 
216 24
999 111
X   
 
 Assim, a geratriz de 0,216 é a fração 
24
111
. 
 
 Casos onde existem números entre a vírgula e o início 
da repetição: 
Vejamos como obter a fração geratriz da dízima 1,327215215215... 
. Veja que, neste caso, temos a repetição do termo 215. Entre a vírgula e 
o início da repetição temos 3 números (327). Deste modo, chamando de 
X a fração geratriz, temos: 
X = 1,327215215215... 
 
 Multiplicando X por 1000 conseguimos deixar, à direita da vírgula, 
apenas os termos que se repetem: 
1000X = 1327,215215215... 
 
 E multiplicando X por 1000000 conseguimos passar a primeira 
repetição “215” para o lado esquerdo da vírgula: 
1000000X = 1327215,215215215... 
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 Assim, podemos efetuar a seguinte subtração: 
1000000X – 1000X = 1327215,215215215... - 1327,215215215... 
999000X = 1327215 – 1327 
999000X = 1325888 
1325888
999000
X  
 Temos, portanto, a fração geratriz da dízima 1,327215215215... . 
Poderíamos ainda simplificá-la, se quiséssemos. 
 
1.3.1 OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS 
 As quatro operações básicas que podemos efetuar com estes 
números são: adição, subtração, multiplicação e divisão. Vejamos em 
detalhes cada uma delas. 
 
a) Adição: 
 A adição de dois números é dada pela soma destes dois números. 
Isto é, a adição de 15 e 6 é: 
15 + 6 = 21 
 
 Você se lembra do método para se efetuar a soma de dois 
números? Vamos exercitar efetuando a soma 728 + 46. Primeiramente, 
você deve posicionar estes números um abaixo do outro, alinhados pela 
direita (casa das unidades): 
 728 
 +46 
 
 A seguir devemos começar a efetuar a soma pela direita. Somando 
8 + 6 obtemos 14. Com isto, devemos colocar o algarismo das unidades 
(4) no resultado e transportar o algarismo das dezenas (1) para a 
próxima soma: 
 1 
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 728 
 +46 
 4 
 Agora, devemos somar os dois próximos números (2 + 4), e 
adicionar também o número que veio da soma anterior (1). Assim, 
obtemos 7. Devemos colocar este número no resultado: 
 728 
 +46 
 74 
 
 Temos ainda o algarismo 7 na casa das centenas do número 728. 
Como o segundo número (46) não possui casa das centenas, podemos 
simplesmente levar este 7 para o resultado, obtendo: 
 728 
 +46 
 774 
 
 Chegamos ao nosso resultado final. Antes de conhecermos a 
próxima operação, vejamos as principais propriedades da operação de 
adição. 
 
- propriedade comutativa: dizemos que a adição de números racionais 
possui a propriedade comutativa, pois a ordem dos números não altera a 
soma. Isto é, 728 + 46 é igual a 46 + 728. 
 
- propriedade associativa: ao adicionar 3 ou mais números racionais, 
podemos primeiramente somar 2 deles, e a seguir somar o outro, em 
qualquer ordem, que obteremos o mesmo resultado. Logo, esta 
propriedade está presente na adição. Ex.: 
2 + 5 + 7 = (2 + 5) + 7 = 2 + (5 + 7) = 14. 
 
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- elemento neutro: dizemos que o zero é o elemento neutro da adição, 
pois qualquer número somado a zero é igual a ele mesmo. Ex.: 2 + 0 = 
2; 45 + 0 = 45. 
 
- propriedade do fechamento: esta propriedade nos diz que a soma de 
dois números racionais SEMPRE gera outro número racionais. Ex: a soma 
dos números racionais 2 e 5 gera o número racional 7 (2 + 5 = 7). 
 
b) Subtração: efetuar a subtração de dois números significa diminuir, de 
um deles, o valor do outro. Isto é, subtrair 5 de 9 significa retirar 5 
unidades de 9, restando 4 unidades: 
9 – 5 = 4 
 
 Acompanhe a subtração abaixo para relembrar o método para a 
subtração de números racionais (veja que, por simplicidade, estamos 
usando números inteiros nos exemplos, que não deixam de ser também 
racionais). Vamos efetuar a operação 365 – 97: 
 
365 
- 97 
 
 Observe que o primeiro passo é posicionar um número abaixo do 
outro, alinhando as casas das unidades. Começamos a efetuar a 
subtração a partir da casa das unidades. Como 5 é menor do que 7, não 
podemos subtrair 5 – 7. Devemos, portanto, “pegar” uma unidade da 
casa das dezenas de 365. Levando este valor para a casa das unidades, 
temos 10 unidades, que somadas a 5 chegam a 15 unidades. Agora sim 
podemos subtrair 15– 7 = 8, e anotar este resultado: 
365 
- 97 
 8 
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 Devemos agora subtrair as casas das dezenas. Devemos subtrair 5 
– 9, e não 6 – 9, pois já utilizamos uma unidade na primeira subtração 
acima. Como 5 é menor que 9, devemos novamente “pegar” uma unidade 
da casa das centenas de 365, e somar ao 5. Assim, teremos 15 – 9 = 6. 
Vamos anotar este resultado: 
365 
- 97 
 68 
 
 Agora devemos subtrair a casa das centenas. Veja que não temos 
mais um 3 na casa das centenas de 365, e sim 2, pois já usamos uma 
unidade na operação anterior. Como 97 não tem casa das centenas, basta 
levarmos este 2 para o resultado: 
365 
- 97 
268 
 
 E se quiséssemos efetuar a subtração 97 – 365? Neste caso, como 
97 é menor que 365, devemos: 
- subtrair o menor número do maior, isto é, efetuar a operação 365 – 97; 
- colocar o sinal negativo (-) no resultado. 
 
 Desta forma, 97 – 365 = -268. Vejamos as principais propriedades 
da operação de subtração. 
 
- propriedade comutativa: dizemos que a subtração de números racionais 
NÃO possui a propriedade comutativa, pois a ordem dos números ALTERA 
o resultado. Como vimos acima, 365 – 97 = 268, já 97 – 365 = -268. 
 
- propriedade associativa: a subtração NÃO possui essa propriedade, pois 
(A – B) – C pode ser diferente de (C – B) – A 
 
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- elemento neutro: o zero é o elemento neutro da subtração, pois, ao 
subtrair zero de qualquer número, este número permanecerá inalterado. 
Ex.: 2 – 0 = 2. 
 
- propriedade do fechamento: a subtração de números racionais possui 
essa propriedade, pois a subtração de dois números racionais SEMPRE 
gera outro número racional. 
 
- elemento oposto: para todo número racional A, existe também o seu 
oposto, com sinal contrário, isto é, -A. Exemplos de números opostos: 5 e 
-5, 29 e -29 etc. Também podemos dizer que o elemento oposto de A é 
aquele número que, somado a A, resulta em zero: 
A + (-A) = 0 
c) Multiplicação: a multiplicação nada mais é que uma repetição de 
adições. Por exemplo, a multiplicação 15 x 3 é igual à soma do número 
15 três vezes (15 + 15 + 15), ou à soma do número 3 quinze vezes (3 + 
3 + 3 + ... + 3). Vejamos como efetuar uma multiplicação: 
 57 
x 13 
 Novamente alinhamos os números pela direita. Começamos 
multiplicando os números das unidades: 3 x 7 = 21. Deixamos o 
algarismo das unidades (1) no resultado, e levamos o algarismo das 
dezenas (2) para a próxima operação: 
 
 2 
 57 
x 13 
 1 
 
 Agora devemos multiplicar os números das unidades do segundo 
número (3) pelo número das dezenas do primeiro número: 3 x 5 = 15. 
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Antes de colocar este valor no resultado, devemos adicionar o 2 que veio 
da operação anterior: 15 + 2 = 17. Assim, temos: 
 57 
x 13 
 171 
 
 Agora devemos multiplicar o algarismo das dezenas do segundo 
número (1) pelo algarismo das unidades do primeiro número (7): 1 x 7 = 
7. Devemos levar este número para o resultado, entretanto devemos 
colocá-lo logo abaixo do algarismo das dezenas do segundo número (1). 
Veja: 
 57 
x 13 
 171 
 7 
 
 
 A seguir, devemos multiplicar o algarismo das dezenas do segundo 
número (1) pelo algarismo das dezenas do primeiro número (5): 1 x 5 = 
5. Assim, temos: 
 57 
x 13 
 171 
 57 
 
 Por fim, devemos somar as duas linhas de resultado, obtendo: 
 57 
x 13 
 171 
 570 
 741 
 
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Veja que antes de efetuar a soma, colocamos um zero à direita do 
57, transformando-o em 570. Fazemos isto porque este resultado (57) 
surgiu da multiplicação do algarismo das dezenas do multiplicador (13). 
Se fosse do algarismo das centenas do multiplicador, colocaríamos 2 
zeros, e assim por diante. 
É importante relembrar as regras de sinais na multiplicação de 
números. Você deve se lembrar que: 
- a multiplicação de números de mesmo sinal tem resultado positivo. 
Ex.: 5 x 5 = 25, e (-5)x(-5) = 25. 
- a multiplicação de números de sinais diferentes tem resultado negativo. 
Ex.: 5x(-5) = -25. 
 
 Portanto, se tivéssemos multiplicado (-57) x 13, ou então 57 x (-
13), deveríamos obter -741. E se tivéssemos multiplicado (-57) x (-13) 
deveríamos obter 741. 
 
Vejamos as principais propriedades da operação de multiplicação: 
 
- propriedade comutativa: a multiplicação possui essa propriedade, pois A 
x B é igual a B x A, isto é, a ordem não altera o resultado (ex.: 3 x 5 = 5 
x 3 = 15). 
- propriedade associativa: a multiplicação possui essa propriedade, pois 
(A x B) x C é igual a (C x B) x A, que é igual a (A x C) x B etc. Ex.: (2 x 
3) x 4 = 2 x (3 x 4) = (4 x 3) x 2 = 24. 
 
- elemento neutro: a unidade (1) é o elemento neutro da multiplicação, 
pois ao multiplicar 1 por qualquer número, este número permanecerá 
inalterado. Ex.: 5 x 1 = 5. 
- propriedade do fechamento: a multiplicação possui essa propriedade, 
pois a multiplicação de números racionais SEMPRE gera um número 
racional (ex.: 5 x 7 = 35, que é racional). 
 
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- propriedade distributiva: apenas a multiplicação possui essa 
propriedade. Esta propriedade nos permite dizer que: 
Ax(B+C) = (AxB) + (AxC) 
 
Exemplificando: 
5x(3+7) = 5x(10) = 50 
ou, usando a propriedade: 
5x(3+7) = 5x3 + 5x7 = 15+35 = 50 
 
d) Divisão: quando dividimos A por B, queremos repartir a quantidade A 
em partes de mesmo valor, sendo um total de B partes. Ex.: Ao 
dividirmos 10 por 2, queremos dividir 10 em 2 partes de mesmo valor. No 
caso, 10 2 5  . Vamos relembrar como efetuar divisões com o caso 
abaixo, onde dividimos 715 por 18: 
715 |18 
 
 Neste caso, chamamos o 715 de dividendo (número a ser dividido) 
e o 18 de divisor (número que está dividindo o 715). Como o divisor 
possui 2 casas (18), devemos tentar dividir as primeiras duas casas da 
esquerda do dividendo (71). Veja que 18x4 = 72 (que já é mais que 71). 
Já 18x3 = 54. Assim, temos: 
715 |18 
 3 
 
 Devemos multiplicar 3 por 18 e anotar o resultado abaixo de 71, e a 
seguir efetuar a subtração: 
715 |18 
 -54 3 
 17 
 
 Agora devemos “pegar” o próximo algarismo do dividendo (5): 
 
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715 |18-54 3 
 175 
 
 Dividindo 175 por 18, temos o resultado 9. Devemos anotar o 9 no 
resultado, à direita, e anotar o resultado da multiplicação 9 x 18 abaixo 
do 175, para efetuarmos a subtração: 
715 |18 
 -54 39 
 175 
 -162 
 13 
 
 Agora temos o número 13, que é inferior ao divisor (18). Portanto, 
encerramos a divisão. Obtivemos o quociente (resultado) 39 e o resto 
igual a 13. Dizemos que esta divisão não foi exata, pois ela deixou um 
resto. 
 
 Observe que o dividendo (715) é igual à multiplicação do divisor 
(18) pelo quociente (39), adicionada do resto (13). Isto é: 
715 = 18 x 39 + 13 
 
 Como regra, podemos dizer que: 
Dividendo = Divisor x Quociente + Resto 
As regras de sinais na divisão de números racionais são as mesmas 
da multiplicação: 
- a divisão de números de mesmo sinal tem resultado positivo. 
- a divisão de números de sinais diferentes tem resultado negativo. 
 Portanto, se tivéssemos dividido (-10) por 2, ou então 10 por (-2), 
deveríamos obter -5. E se tivéssemos dividido (-10) por (-2) deveríamos 
obter 5. Vejamos as principais propriedades da operação de divisão: 
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- propriedade comutativa: a divisão NÃO possui essa propriedade, pois A 
/ B pode ser diferente de B / A. Ex.: 2 / 5 = 0,4; e 5 / 2 = 2,5. 
 
- propriedade associativa: a divisão NÃO possui essa propriedade, pois (A 
/ B) / C pode ser diferente de (C / B) / A. Ex.: (2/5)/3 é diferente de 
(3/5)/2. 
 
- elemento neutro: a unidade (1) é o elemento neutro da divisão, pois ao 
dividir qualquer número por 1, o resultado será o próprio número. Ex.: 5 / 
1 = 5. 
 
- propriedade do fechamento: a divisão possui essa propriedade, pois a 
divisão de números racionais SEMPRE gera um número racional (ex.: 2 / 
100 = 0,02; que é racional). 
Para sedimentar seus conhecimentos, segue uma tabela-resumo 
sobre as propriedades das operações com números racionais: 
 
Elem. 
Neutr
o 
Comut
. 
Assoc. 
Fecham
. 
Distributiva 
Adição zero Sim Sim Sim 
Não: 
( ) ( ) ( )A B C A B A C      
Multiplicaç
ão 
1 Sim Sim Sim 
Sim: 
     ( ) ( ) ( )A B C A B A C 
Subtração zero Não Não 
Sim 
 
Não: 
( ) ( ) ( )A B C A B A C      
Divisão 1 Não Não Sim 
Não: 
( ) ( ) ( )A B C A B A C      
 
1.3.2 OPERAÇÕES COM FRAÇÕES 
Ao trabalhar com números racionais, recorrentemente estaremos 
lidando com frações, que nada mais são que operações de divisão. 
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Escrever 
2
5 é equivalente a escrever 2 5 . As frações estão 
constantemente presentes na resolução de exercícios, motivo pelo qual é 
essencial lembrar como efetuamos cada operação com elas: soma, 
subtração, multiplicação e divisão. 
a) Para somar ou subtrair frações, é preciso antes escrevê-las com o 
mesmo denominador, isto é, com um denominador comum. Este 
denominador é, simplesmente, um múltiplo comum entre os 
denominadores das frações originais. Falaremos sobre múltiplos adiante, 
de modo que aqui veremos apenas o básico. Vamos entender isto com o 
exemplo abaixo: 
1 3
6 8
 
 Veja o número 24 é um múltiplo de 6 (pois 6x4 = 24) e de 8 (pois 
8x3 = 24). 
 Para trocar o denominador da fração 
1
6
 para 24, é preciso 
multiplicar o denominador 6 por 4. Assim, também devemos multiplicar o 
numerador 1 por 4, para manter a fração. Portanto, 
1 4
6 24
 . 
Já para trocar o denominador da fração 
3
8
 para 24, é preciso 
multiplicar o denominador 8 por 3. Assim, também devemos multiplicar o 
numerador 3 por 3, para manter a fração. Portanto, 
3 9
8 24
 . 
Agora sim podemos efetuar a soma: 
1 3 4 9 4 9 13
6 8 24 24 24 24

     
 
b) Para multiplicar frações, basta multiplicar o numerador de uma pelo 
numerador da outra, e o denominador de uma pelo denominador da 
outra. Veja nosso exemplo: 
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1 3 1 3 3
6 8 6 8 48

  

 
 
c) Para dividir frações, basta multiplicar a primeira pelo INVERSO da 
segunda. Veja isso em nosso exemplo: 
1
1 3 1 8 86
3 6 8 6 3 18
8
     
*** Dica importantíssima: trabalhando com frações, normalmente 
podemos substituir a expressão “de” pela multiplicação. Veja como: 
- quanto é um terço de 1000? Ora, simplesmente 
1
1000
3
 ! 
- e quanto é dois sétimos de 25? A resposta é 
2
25
7
 . 
- quanto vale um quarto da soma do número de homens (700) e de 
mulheres (600) presentes em um evento? Simplesmente 
1
(700 600)
4
  . 
- por fim, quanto vale 5/9 da diferença entre os números X e Y? Aqui, a 
resposta é dada pela expressão 
5
( )
9
X Y  . 
 Certifique-se de que você entendeu isso. Usaremos bastante ao 
longo dos exercícios! 
 
1.3.3 OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS 
 Os números decimais são, em regra, aqueles que resultam da 
divisão não-exata de dois números inteiros. São os números que possuem 
“casas após a vírgula”. A manipulação deles é essencial para a resolução 
de diversas questões, motivo pelo qual você precisa saber somá-los, 
subtraí-los, multiplicá-los, dividi-los, elevá-los a potências e extrair raízes 
dos mesmos. Vejamos cada uma dessas operações em detalhes. 
 
a) Adição de números decimais: 
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 A adição de dois números decimais segue a mesma lógica da adição 
comum. Isto é: 
- os números devem ser posicionados um embaixo do outro, com a 
vírgula logo abaixo da vírgula do outro, e as casas correspondentes uma 
embaixo da outra 
- as casas correspondentes devem ser somadas, começando da direita 
para a esquerda. 
- à medida que forem sendo formadas dezenas, estas devem ser 
transferidas para a próxima adição (das casas logo à esquerda). 
 Vamos aplicar estes passos na adição de 13,47 e 2,9. Colocando os 
números um embaixo do outro, com a vírgula uma embaixo da outra, 
temos todas as casas correspondentes em uma mesma vertical: 
 13,47 
+ 2,9 
 
 Veja que a casa das unidades do primeiro número (3) está logo 
acima da casa das unidades do segundo número (2). A primeira casa 
decimal do primeiro número (4) está logo acima da primeira casa decimal 
do segundo (1). E assim por diante. Como não há casa decimal abaixo do 
7, podemos considerá-la igual a 0. Agora, basta começar a somar as 
casas correspondentes, começando pelas da direita, anotando o 
resultado. Quando houver a formação de dezenas (ex.: 4 + 9 = 13), a 
dezena (1) deve ser transferida para a próxima operação (3 + 2). Com 
isso, temos: 
 13,47 
+ 2,9 
 16,37 
 
b) Subtração de números decimais: 
 Aqui também devemos posicionar os números um abaixo do outro, 
com a vírgula do primeiro na mesma vertical da vírgula do segundo 
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número. A seguir devemos subtrair as casas correspondentes, da direita 
para a esquerda. Vejamos: 
 
 13,47 
- 2,9 
 10,57 
 
 Repare, neste exemplo, que no momento de efetuar a subtração 4 
– 9 foi preciso pegar uma unidade da casa à esquerda do 4 (no caso, o 3) 
e “transformá-la” em uma dezena, somando-a ao 4. Assim, subtraimos 14 
– 9, obtendo o resultado 5. A seguir, ao invés de subtrair 3 – 2, tivemos 
que subtrair 2 – 2 pois uma unidade do “3” já havia sido utilizada. 
 
c) Multiplicação de números decimais: 
 Aqui aplicamos o mesmo procedimento da multiplicação comum, 
com duas observações: 
- devemos posicionar os números assim como fizemos na adição e na 
subtração, isto é, com a vírgula de um logo abaixo da vírgula do outro. 
- o número de casas decimais do resultado será igual à soma do número 
de casas decimais dos dois números sendo multiplicados. Assim você 
saberá posicionar a vírgula. 
 Vejamos o nosso exemplo: 
 13,47 
x 2,9 
 12123 
+ 26940 
 39,063 
 
 Repare que a primeira linha abaixo do 2,9 refere-se à multiplicação 
de 13,47 por 9. Já a segunda linha refere-se à multiplicação de 13,47 por 
2. Nesta linha há um 0 à direita porque o 2 está uma casa decimal à 
frente do 9. Efetuando a soma das duas linhas, obtém-se 39063. E, 
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lembrando que existem 3 casas decimais nos números sendo 
multiplicados (duas em 13,47 e uma em 2,9), devemos ter 3 casas 
decimais no resultado, o que leva ao número 39,063. 
 
d) Divisão de números decimais: 
 Para efetuar a divisão de números decimais, devemos inicialmente 
multiplicar ambos os números (divisor e dividendo) por uma potência de 
10 (10, 100, 1000, 10000 etc.) de modo a retirar todas as casas decimais 
presentes. Após isso, é só efetuar a operação normalmente. 
 Para exemplificar, vamos dividir 3,5 por 0,25. Observe que o 
número que possui mais casas decimais é o divisor (0,25), possuindo 2 
casas decimais. Assim, devemos multiplicar ambos os números por 100, 
de modo a retirar ambas as casas decimais: 
3,5 x 100 = 350 
0,25 x 100 = 25 
 Agora, basta efetuar a divisão de 350 por 25, que você sabe fazer, 
tendo como resultado o número 14. 
 
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO – NÚMEROS DECIMAIS) Para fixar o que foi 
visto aqui, efetue as seguintes operações, cujo gabarito é fornecido em 
seguida. 
a) 2,25 + 1,7 
b) 2,25 – 1,7 
c) 2,25 x 1,7 
d) 2,25 / 1,5 
e) 0,898 + 1,12 
f) 0,898 – 1,12 
g) 0,898 x 1,12 
h) 0,898 / 0,01 
Respostas: 
a) 3,95 
b) 0,55 
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c) 3,825 
d) 1,5 
e) 2,018 
f) -0,222 
g) 1,00576 
h) 89,8 
 
1.3.4 REPRESENTAÇÃO NA RETA 
 Veja abaixo a reta numérica, onde podemos representar todos os 
números racionais. As setas nas extremidades denotam que a reta cresce 
infinitamente para ambos os lados: 
 
 
 É possível localizar a posição exata de um número racional na reta 
numérica, ainda que ele seja fracionário. Por exemplo, vamos localizar o 
número 
3
4
, ou 0,75 (na forma decimal). Na reta numérica, basta 
dividirmos o espaço entre 0 e 1 em quatro partes, e colocar o número 
3
4
ao final da terceira delas: 
 
 
 Ainda observando a reta numérica acima, observe que a distância 
do 0 até o 1 é a mesma distância do 0 até o -1. Essa distância mede “1 
unidade”. Da mesma forma, a distância de 0 a 2 é a mesma distância de 
0 a -2. Aqui a distância é de “2 unidades”. 
 
 Módulo ou Valor Absoluto de um número 
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Chamamos de módulo de um número a distância entre esse número 
e o zero. Utilizamos o símbolo |A| para representar o módulo do número 
A. Assim, como vimos acima, podemos dizer que: 
|1| = 1 
|-1| = 1 
|2| = |-2| = 2 
 
 Repare que, se o número A é positivo (como no caso do 2), o 
módulo é ele mesmo. Se o número A é negativo (como no caso do -2), o 
módulo é o seu oposto (isto é, -(-2) = 2). De maneira mais formal, 
podemos dizer que: 
, se A 0
| |
, se A<0
A
A
A
 

 
 
1.4 NÚMEROS IRRACIONAIS 
 Os Números Irracionais são aqueles que, ao contrário dos 
Racionais, não podem ser obtidos da divisão de dois inteiros, ou seja, não 
podem ser escritos na forma (onde A e B são números inteiros). Isto 
porque esses números são formados por uma sequência infinita de 
algarismos. 
Exemplo: na obtenção da raiz quadrada do algarismo 2, nos 
deparamos com um número irracional: 
 
(as reticências indicam que este número é composto por infinitos 
algarismos) 
Da mesma forma, o conhecido número (“pi”), muito utilizado na 
trigonometria, possui infinitas casas decimais que não se repetem como 
em uma dízima periódica, o que faz dele um número irracional: 
 
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Antes de avançarmos, deixo uma observação a respeito da 
representação dos números irracionais na reta numérica: 
- não é possível localizar precisamente um número irracional na reta 
numérica. Isto porque esses números tem infinitas casas decimais que 
não se repetem, não sendo possível escrevê-los na forma 
A
B
e usar o 
mesmo método que vimos para localizar os números racionais. 
Obs.: existem formas indiretas para a localização desses números na reta 
com boa precisão. Ex.: sabemos que a diagonal de um quadrado de lados 
iguais a 1 mede exatamente 2 , que é um número irracional. Portanto, 
basta desenhar esse quadrado, pegar a sua diagonal e utilizá-la para 
medir, na reta numérica, a distância entre a origem (zero) e a posição 
onde deve estar o número 2 . 
 
1.5 NÚMEROS REAIS 
 O conjunto dos Números Reais é formado pela união dos números 
Racionais e Irracionais. Desta forma, podemos dizer que: 
 
(O conjunto dos Números Naturais está contido no dos Inteiros, que está 
contido no dos Racionais, que está contido no dos Reais) 
 E, além disso, 
 
(O conjunto dos Números Irracionais está contido no dos Números Reais) 
 
 Complementando o diagrama que desenhamos nos tópicos acima, 
agora temos: 
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 No diagrama acima, Q/R significa que aquele subconjunto pertence 
aos Números Racionais e Reais, e I/R significa que aquele subconjunto 
pertence aos Números Irracionais e Reais. 
 
1.5.1 OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS 
 As propriedades das operações com números reais são as mesmas 
já vistas para os racionais. 
 
1.5.2 REPRESENTAÇÃO DOS NÚMEROS REAIS NA RETA 
 Dado que os números reais são formados por 2 subconjuntos 
(racionaise irracionais), sabemos que alguns números reais podem ser 
posicionados precisamente na reta numérica (os racionais) e outros não 
podem ser localizados exatamente (os irracionais). 
 
1.6 NÚMEROS PRIMOS E FATORAÇÃO 
Dizemos que um número é primo quando ele só pode ser dividido, 
sem deixar resto, por 1 e por si mesmo. Veja, por exemplo, o número 7. 
Como qualquer número, ele pode ser dividido por um, tendo como 
resultado 7 e não deixando resto algum. Entretanto, experimente dividi-lo 
por 2, 3, 4, 5 ou 6, e verá que sempre há um resto diferente de zero. 
Apenas ao dividi-lo por 7 é que não encontraremos resto novamente. 
Portanto, 7 é um número primo, pois só é divisível por 1 e por ele 
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mesmo. Diversos outros números possuem essa propriedade, como os 
listados abaixo: 
{2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31...} 
A título de curiosidade, repare que o 2 é o único número primo par. 
Todos os demais são ímpares. 
Qualquer número natural pode ser representado como uma 
multiplicação de números primos. Por exemplo, 6 pode ser representado 
por 2 x 3. Este processo de transformar um número qualquer em um 
produto de números primos é chamado de fatoração. 
Vamos fatorar o número 24. Devemos começar tentando dividi-lo 
por 2, que é o menor número primo (muitos autores não consideram que 
o 1 seja um número primo). Esta divisão é exata (não possui resto), e o 
resultado é 12. Podemos dividir novamente por 2, tendo resultado 6, e 
dividir o 6 outra vez por 2, tendo resultado 3. Agora não é mais possível 
dividir por 2. Assim, devemos partir para o próximo número primo, que é 
o 3. Dividindo 3 por 3 temos resultado 1. Repare que para chegar no 
resultado 1 foi preciso dividir 24 por 2 em 3 etapas, e a seguir dividir por 
3 em uma etapa. Portanto, 24 = 2 x 2 x 2 x 3, ou simplesmente 24 = 23 
x 3. Visualize este processo abaixo: 
Número Fator primo 
24 2 
12 2 
6 2 
3 3 
1 Logo, 24 = 23 x 3 
 
 Para praticar, vejamos a fatoração do número 450: 
Número Fator primo 
450 2 
225 3 
75 3 
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25 5 
5 5 
1 Logo, 450 = 2 x 32 x 52 
 
 
Vejamos ainda a fatoração do número 1001. Observe que ele não é 
divisível (ou seja, deixa resto) por 2, 3 ou 5. Apenas ao chegar o fator 
primo 7 é que conseguimos dividi-lo. Acompanhe abaixo: 
Número Fator primo 
1001 7 
143 11 
13 13 
1 Logo, 1001 = 7 x 11 x 13 
 
A fatoração será muito útil na obtenção do Mínimo Múltiplo Comum 
e Máximo Divisor Comum entre dois números, como veremos a seguir. 
 
1.7 MÚLTIPLOS E DIVISORES 
Para a resolução de diversas questões que podem cair em sua 
prova, vale a pena você desenvolver a rapidez na obtenção de múltiplos 
e divisores de um dado número, calcular o mínimo múltiplo comum e 
máximo divisor comum entre dois números, e conhecer regras práticas 
para saber se um número é ou não divisível por outro (critérios de 
divisibilidade). 
Os múltiplos de um número X são aqueles números que podem ser 
obtidos multiplicando X por outro número natural. Por exemplo, os 
múltiplos de 3 são: 3, 6, 9, 12, 15 etc. Repare que esses números podem 
ser obtidos multiplicando 3 por 1, 2, 3, 4 e 5, respectivamente. Quando 
temos 2 números X e Y, e listamos os múltiplos de cada um deles, 
podemos ter múltiplos em comum entre os dois. Exemplificando, vamos 
listar alguns múltiplos de 8 e de 12: 
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Múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72 etc. 
Múltiplos de 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72 etc. 
 Observe que os seguintes números são múltiplos de 8 e também de 
12: 24, 48, 72. Isto é, são múltiplos em comum desses 2 números. O 
menor deles, neste caso o 24, é chamado de mínimo múltiplo comum 
(MMC) entre 8 e 12. O cálculo do MMC se mostra útil na resolução de 
diversos exercícios, como veremos adiante. 
 
 Um método simples de se calcular o MMC entre 2 números é dado 
pelos seguintes passos: 
1. Decompor cada número em uma multiplicação de fatores primos; 
2. O MMC será formado pela multiplicação dos fatores comuns e não 
comuns dos dois números, de maior expoente. 
 Decompondo 8 em fatores primos, temos que 8 = 2x2x2 = 23. E 
decompondo 12 em fatores primos, temos que 12 = 2x2x3 = 22x3. 
 Assim, o MMC será formado pelos fatores comuns (2) e não comuns 
(3) de maior expoente (isto é, MMC = 23 x 3 = 24). 
 A título de exercício, vamos calcular o MMC entre 15 e 9. Veja que 
15 = 3x5, e 9 = 32. Portanto, MMC = 32x5 = 45. 
 Para você entender como o MMC pode ser útil na resolução de 
questões, imagine o seguinte caso: dois colegas de trabalho, João e José, 
gostam de realizar festas em suas casas periodicamente. João costuma 
realizar festas de 9 em 9 dias, enquanto José costuma realizar festas de 
15 em 15 dias. Sabendo que hoje houve festa na casa de ambos, daqui a 
quanto tempo as datas das festas de ambos coincidirão novamente? 
 Ora, se João dá festas de 9 em 9 dias, sua próxima festa será daqui 
a 9 dias, a seguinte daqui a 18, a outra daqui a 27, e assim por diante. Já 
a próxima festa de José será daqui a 15 dias, depois daqui a 30, depois 
45 etc. Observe que os dias em que ambos darão festas devem ser 
múltiplos de 9 e também de 15, isto é, múltiplos comuns de 9 e 15. A 
próxima festa ocorrerá no menor desses múltiplos, isto é, no mínimo 
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múltiplo comum entre 9 e 15. Como calculamos acima, MMC (9, 15) = 45. 
Portanto, a próxima vez em que as festas coincidirão ocorrerá daqui a 45 
dias. 
Dizemos que um número é divisível por outro quando esta divisão é 
exata, não deixando resto nem casas decimais. Para saber se um número 
é divisível por outro, basta efetuar a divisão e verificar se existe resto. 
Ex.: 25 5 5  , portanto 25 é divisível por 5. O problema surge quando 
queremos julgar, por exemplo, se o número 1765830275 é divisível por 5. 
Efetuar esta divisão à mão consome muito tempo. Para identificarmos 
rapidamente essa divisibilidade, existem os critérios de divisibilidade. Os 
principais deles encontram-se na tabela abaixo: 
 
 
Principais critérios de divisibilidade 
Divisor* Critério Exemplos 
1 Todos os números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8... 
2 
Números pares (isto é, 
terminados em um algarismo 
par) 
0, 2,4, 28, 490, 522 etc. 
3 
Números cuja soma dos 
algarismos é divisível por 3 
0, 3, 6, 9, 12 (1+2=3), 15 
(1+5 = 6), 27 (2+7=9), 51 
(5+1=6), 915 (9+1+5=15) 
etc. 
4 
Se o número formado pelos 2 
últimos dígitos for divisível por 
4 
0, 4, 8, 12, 16, 912, 1816 etc. 
5 
Números terminados em 0 ou 
5 
0, 5, 10, 65, 120, 1345 etc. 
6 
Números divisíveis por 2 e por 
3 
0, 6, 12, 924 (é par, e 
9+2+4=15) etc. 
9 Números cuja soma dos 0, 9, 18, 27, 126 (1+2+6 = 
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algarismos é divisível por 9 9), 7155 (7+1+5+5 18) etc. 
10 Números terminados em 0 0, 10, 20, 150, 270, 1580 etc. 
 
*7 e 8 foram omitidos intencionalmente, pois possuem critérios muito 
difíceis, motivo pelo qual praticamente não são cobrados. 
 
Chamamos de máximo divisor comum (MDC) entre dois números A 
e B o maior número pelo qual tanto A quanto B podem ser divididos de 
maneira exata, isto é, sem deixar resto. 
Podemos calcular o máximo divisor comum entre 2 números 
listando os divisores de cada um deles. Exemplificando, vamos listar os 
divisores de 32 e 40: 
- 32 pode ser dividido por: 1, 2, 4, 8, 16, 32. 
- 40 pode ser dividido por: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40. 
- Divisores comuns entre 32 e 40: 1, 2, 4, 8. 
 Vejam que 8 é o máximo divisor comum (MDC) entre 32 e 40. 
Para calcular o MDC sem precisar listar todos os divisores de cada 
número (como fizemos acima), basta seguir 2 passos: 
1. Decompor cada um dos números em fatores primos (ex.: 32 = 25; 
40 = 235) 
2. O MDC será formado pela multiplicação dos fatores comuns de 
menor expoente (neste caso, apenas o 2 é comum, e seu menor 
expoente é 3. Logo, MDC = 23 = 8); 
 
Para você visualizar uma aplicação prática do MDC, imagine o 
seguinte caso: temos um conjunto de 20 cães e 30 gatos. Queremos criar 
grupos de gatos e grupos de cães, sem misturá-los, porém todos os 
grupos devem ter o mesmo número de integrantes. Qual o menor número 
de grupos possível? 
Para obter o menor número de grupos possível, precisamos dividir 
20 e 30 pelo maior número possível. Este maior número que divide tanto 
20 quanto 30, sem deixar resto, é justamente o MDC entre 20 e 30. 
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Decompondo 20 em fatores primos, temos que 20 = 22x5. Temos 
também que 30 = 2x3x5. Portanto, MDC(20,30) = 2x5 = 10. Portanto, 
devemos formar grupos de 10 elementos. Isto é, 2 grupos com 10 cães 
em cada, e 3 grupos com 10 gatos em cada. Assim, o menor número de 
grupos possível é 5. 
 
Podemos ainda calcular o MMC e o MDC mais rapidamente, 
fatorando os números simultaneamente. Vejamos como fazer isso com 
exemplos: 
 
a) Cálculo do MMC entre 30 e 40: 
 Inicialmente escrevemos os dois números, um em cada coluna. Na 
terceira coluna vamos escrever os fatores primos que dividem os 
números. Devemos começar pelos menores fatores primos (2, 3, 5...), 
em ordem crescente. Nosso objetivo é dividir os números até ambos 
ficarem iguais a 1. Veja: 
 
30 40 Fator primo 
30/2 = 15 40/2 = 20 2 
15 (não dá p/ dividir 
por 2) 
20 / 2 = 10 2 
15 (não dá p/ dividir 
por 2) 
10 / 2 = 5 2 
15 / 3 = 5 5 (não dá p/ dividir por 
3) 
3 
5 / 5 = 1 5 / 5 = 1 5 
 MMC = 23 x 3 x 5 = 
120 
 
b) Cálculo do MDC entre 30 e 40: 
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 Inicialmente escrevemos os dois números, um em cada coluna. Na 
terceira coluna vamos escrever os fatores primos que dividem os 
números. Devemos começar pelos menores fatores primos (2, 3, 5...), 
em ordem crescente. Aqui o nosso objetivo é dividir os números apenas 
pelos fatores que sejam capazes de dividir ambos os números 
simultaneamente: 
 
30 40 Fator primo 
15 20 2 
3 4 5 
 MDC = 2 x 5 = 10 
 
 Outro ponto interessante é saber calcular rapidamente a 
quantidade de divisores de um determinado número. Para você 
entender como fazer isso, vamos retomar aqui os divisores de 32 e de 40: 
- 32 pode ser dividido por: 1, 2, 4, 8, 16, 32. 
- 40 pode ser dividido por: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40. 
 
 Note que 32 tem 6 divisores, e o 40 possui 8 divisores. Como 
poderíamos obter esta quantidade de divisores sem precisar listar todos? 
É simples: basta seguir os passos abaixo. 
 
1º passo) fatore o número. Ex.: 32 = 1x25; 40 = 1x23x5 
 
2º passo) some 1 unidade a cada expoente dos fatores primos, e então 
multiplique esses valores. 
Ex.: veja que 32 é representado por 25. Somando 1 unidade 
em cada expoente, e então multiplicando esses valores, ficamos 
com (5+1) = 6. Este é o número de divisores de 32. 
Ex.2: como 40 é igual a 11x23x51, podemos fazer 
(3+1)x(1+1) = 4x2 = 8. Portanto, 40 possui 8 divisores. 
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1.8 POTÊNCIAS 
Já tivemos que trabalhar com potências nesta aula, ao abordar a 
fatoração, mas nesta seção veremos mais detalhes sobre esta operação 
matemática. Observe o exemplo abaixo: 
35 5 5 5 125    
(lê-se: “cinco elevado à terceira potência é igual a cinco vezes cinco vezes 
cinco”) 
 Pelo exemplo dado, você pode perceber que elevar um número X a 
uma determinada potência “n” é simplesmente multiplicar X por ele 
mesmo, “n” vezes. Outro exemplo, para não deixar dúvida: 
42 2 2 2 2 16     
(“dois elevado à quarta potência é igual ao dois multiplicado por ele 
mesmo 4 vezes”) 
 Resumindo, quando tratamos sobre potências temos sempre uma 
base (número X) elevada a um expoente (“n”). Entendido o conceito 
básico, podemos analisar algumas propriedades das potências. Essas 
propriedades facilitarão bastante o manuseio de equações que envolvam 
potências: 
a) Qualquer número elevado a zero é igual a 1. 
Trata-se de uma convenção, isto é, uma definição. Assim, podemos 
dizer que: 
0
0
0
5 1
( 25) 1
0,3 1

 

 
b) Zero elevado a qualquer número é igual a zero. 
Isso é bem lógico, pois zero elevado a “n” significa zero multiplicado 
por ele mesmo, “n” vezes. Ex.: 
30 0 0 0 0    
 
c) Multiplicação de potências de mesma base (X): 
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A questão aqui é como multiplicar 2 34 4 . Normalmente você faria 
assim: 
      2 34 4 (4 4) (4 4 4) 1024 
Veja que basta somar os expoentes (“n”), uma vez que as duas 
potências têm a mesma base 4: 
   2 3 2 3 54 4 4 4 1024 
 
d) Divisão de potências de mesma base (X): 
Como você faria a divisão 
5
3
4
4
? Provavelmente seria assim: 
5
3
4 4 4 4 4 4
4 4 16
4 4 4 4
   
   
 
 
Entretanto, observe que basta subtrair os expoentes (“n”), pois o 
numerador e denominador da divisão tem a base 4. Veja: 
5
5 3 2
3
4
4 4 16
4
   
 Analogamente, observe que 3
3
1
4
4
 . Isto porque: 
0
0 3 3
3 3
1 4
4 4
4 4
    
 O que vimos acima nos permitirá levar uma potência do numerador 
para o denominador de uma divisão, ou vice-versa, simplesmente 
trocando o sinal da potência. Exemplificando, vamos resolver a expressão 
3 54 4  . Temos duas formas: 
- Usar a propriedade de multiplicação de potências de mesma base, 
somando os expoentes: 
3 5 ( 3) 5 24 4 4 4 16      
- Usar a propriedade que acabamos de ver, levando 34 para o 
denominador e, a seguir, fazendo a divisão de potências de mesma 
base: 
5
3 5 5 3 2
3
4
4 4 4 4 16
4
     
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e) Potência de potência: 
A questão agora é resolver 2 3(2 ) . Você poderia inicialmente elevar 2 
à segunda potência (isto é, ao quadrado), e a seguir elevar o resultado à 
terceira potência (ao cubo): 
2 3 3(2 ) (4) 64  
Entretanto, veja que basta você elevar 2 ao resultado da 
multiplicação entre os dois expoentes: 
2 3 2 3 6(2 ) 2 2 64   
 
f) Raiz de potência: 
 Quando estudarmos radiciação (próximo tópico), veremos que 
trata-se de uma operação inversa à potenciação. Assim, obter a raiz 
quadrada de um número é equivalente a elevá-lo a 
1
2
, obter a raiz cúbica 
é equivalente a elevá-lo a 
1
3
, e assim por diante. 
 Visto isso, vamos obter o valor de: 62 . Veja que poderíamos fazer 
simplesmente assim: 
62 2 2 2 2 2 2 64 8        
 Entretanto, como obter a raiz quadrada é igual a elevar a 
1
2
, 
podemos fazer: 
 
11
6
6 6 3222 2 2 2 8

    
 Note que utilizamos a propriedade anterior (potência de potência) 
para resolver este caso. 
 
g) Potência de produto: 
Se tivermos que resolver uma expressão como 2(2 3) , podemos 
fazer de algumas formas: 
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2 2(2 3) (6) 36   
2(2 3) (2 3) (2 3) 36      
2 2 2(2 3) 2 3 4 9 36      
Veja a última forma. Ela nos diz que um produto A B elevado à 
uma potência “n” é igual ao produto das potências nA e nB . 
 
h) Potência de base 10: 
Quando a base da potência for 10 e o expoente for um número 
natural “n”, fica bem fácil resolver. O resultado será formado pelo número 
1 seguido de “n” zeros: 
3
6
10 1000
10 1000000


 
 
 Da mesma forma, se o expoente for um número inteiro negativo, 
basta usar as propriedades que vimos acima. Veja exemplos: 
3
3
6
6
1 1
10 0,001
10 1000
1 1
10 0,000001
10 1000000


  
  
 
i) Potência de base negativa: 
Quando a base da potência é um número negativo, devemos 
analisar qual será o sinal do resultado. Por ex.: 3(-2) = 8 ou -8 ? 
Para isso, fica aqui uma regra: se o expoente for par, o resultado é 
positivo. Se o expoente for ímpar, o resultado será negativo. Neste caso, 
como 3 é ímpar, o resultado correto é -8. Você pode visualizar isso 
melhor fazendo a conta em etapas: 
3(-2) = (-2) (-2) (-2) (4) (-2) 8      
 Veja um exemplo com expoente par: 
4(-2) = (-2) (-2) (-2) (-2) (4) (4) 16      
j) Fração elevada a um expoente: 
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Uma fração elevada a um expoente é igual a outra fração onde 
numerador e denominador estão elevados àquele expoente. Veja: 
3 3
3
2 2
3 3
   
 
 
 Isto pode ser visto fazendo a conta em etapas: 
3 3
3
2 2 2 2 2 2 2 2 8
3 3 3 3 3 3 3 3 27
            
 
 
1.9 RAÍZES 
Como já disse acima, a radiciação é uma operação inversa à 
potenciação. Quando dizemos que a raiz quadrada de 9 é 3, isso significa 
que 3 elevado ao quadrado será igual a 9. A operação de radiciação pode 
ser escrita usando-se o símbolo n ou elevando o número em questão ao 
expoente 
1
n
. Veja alguns exemplos: 
1
3 327 27 3  , pois 33 27 
1
2 216 16 4  , pois 24 16 
 Veja que, quando se trata de raiz quadrada, podemos usar o 
símbolo 2 ou simplesmente . 
 
As principais propriedades da radiciação são: 
 
a) Qualquer raiz de zero é igual a zero: 
Isto é, 0 0n  . Isto porque zero elevado a qualquer número também 
resulta em zero. 
 
b) Qualquer raiz de 1 é igual a 1: 
Ou seja, 1 1n  . Isto porque 1 elevado a qualquer número também 
resulta em 
 
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2. Aplicação da propriedade 
a
b a bx x 
A título de exemplo, vamos calcular 3 216 . Lembre-se que os 
números primos são aqueles divisíveis apenas por 1 e por si mesmos, ou 
seja: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 etc. Assim, iremos começar dividindo 
216 pelo menor número primo (2) e, quando não mais for possível, 
passamos para o número primo seguinte (3), e assim sucessivamente. 
Teremos: 
 
Número Fator primo 
216 2 
108 2 
54 2 
27 3 (pois não é mais possível usar o 2) 
9 3 
3 3 
1 Logo, 216 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 23 x 33 
 
 Feito isso, podemos aplicar a propriedade da radiciação da seguinte 
forma: 
1 1 1
3 3
3 3 3 3 1 13 3 3 3 3216 (2 3 ) (2 3 ) 2 3 2 3 6
 
         
 Se você ficou em dúvida, talvez precise voltar na seção de 
Potenciação e revisar as propriedades que estudamos. 
 Vamos resolver mais um caso: 7056 . Decompondo 7056 em 
fatores primos, temos: 
Número Fator primo 
7056 2 
3528 2 
1764 2 
882 2 
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441 3 
147 3 
49 7 
7 7 
1 Logo, 4 2 27056 2 3 7   
 
Portanto: 
1 1 1
4 2 2
4 2 2 22 2 27056 2 3 7 2 3 7 2 3 7 84
  
          
 
 Várias vezes você irá se deparar com números que não possuem 
raiz exata. Apesar disso, é possível simplificar o resultado. Vamos 
calcular, por exemplo, a raiz quadrada de 32. 
Fazendo a decomposição em fatores primos, temos que: 
32 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 25 
Assim, 
532 2 
 Podemos simplificar esta expressão lembrando-se que 5 42 2 2  : 
5 4 432 2 2 2 2 2 4 2       ou, simplesmente, 4 2 
 
Finalizando, é bom lembrar que no conjunto dos números reais não 
existe raiz par de números negativos (ex.: não existe 2 16 ), mas existe 
raiz ímpar ( 33 27 3, pois ( 3) 27      ). 
 
1.10 EXPRESSÕES NÚMERICAS 
 Uma expressão numérica é uma sequência de números dispostos de 
acordo com sinais matemáticos, que indicam as operações a serem 
efetuadas. Veja um exemplo: 
 ( 25 2) (9 3) 7 4        
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 A resolução desse tipo de expressão é muito simples, desde que 
você se lembre das seguintes regras: 
1. Primeiro resolver o que está dentro dos parênteses, depois o que está 
entre colchetes, e a seguir o que está entre chaves. 
2. Primeiro resolver operações de radiciação ou potenciação, a seguir 
multiplicação ou divisão, e a seguir resolver operações de soma ou 
subtração. 
 Utilizando o nosso exemplo, veja que devemos inicialmente resolver 
as duas operações que encontram-se entre parênteses. Dentro desses 
parênteses, veja que há uma operação de radiciação ( 25 ), que é a 
primeira a ser resolvida: 
  (5 2) (9 3) 7 4      
 A seguir, resolvemos as demais operações dentrodos parênteses, 
obtendo: 
  7 6 7 4    
 Agora devemos resolver a multiplicação dentro dos colchetes: 
 42 7 4   
 Em seguida resolvemos a subtração dentro das chaves: 
35 4  
 Por fim, resolvemos a divisão que se encontrava fora das chaves, 
obtendo: 
35 4 8,75  
Vale a pena lembrar aqui que uma fração é uma operação de 
divisão como outra qualquer, e se houver uma fração em sua expressão 
numérica, basta resolvê-la no momento que você resolveria aquela 
operação de divisão. 
 
1.11 EXPRESSÕES ALGÉBRICAS 
 As expressões algébricas são expressões matemáticas que possuem 
variáveis, também chamadas de incógnitas, que normalmente são 
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representadas por letras. Estas variáveis representam, em realidade, 
números que não sabemos. Para descobri-los, precisamos saber 
manipular a expressão (que normalmente é composta por letras e 
números). Exemplos de expressões algébricas: 
2
5
2 3 0
10 0
1 5
a b
x
y y
p
 
 
  
 
 
 É fundamental saber “ler” estas expressões. Veja alguns exemplos: 
- “a soma de dois números é igual a 5” a + b = 5 
- “o dobro de um número, adicionado de 3 unidades, é igual a zero” 2x 
+ 3 = 0 
- “o quadrado de um número, subtraído deste mesmo número e 
adicionado de 10 unidades é igual a zero” y2 – y + 10 = 0 
 
A maioria das questões não fornecerá uma expressão algébrica 
como as que vimos acima. Normalmente, o enunciado apresenta 
informações que permitirão que você mesmo construa a(s) 
expressão(ões) algébrica(s) para resolver a questão. 
 As expressões algébricas são constituídas de um 1º termo (à 
esquerda), o sinal de igualdade e o 2º termo (à direita). Veja: 
2 3 5x x   
 É possível somar, subtrair, multiplicar ou dividir um dos termos da 
expressão por qualquer número, desde que façamos a mesma coisa com 
o outro termo. Caso contrário, não mais teremos uma igualdade. 
Exemplificando, podemos somar 1 unidade em cada membro da equação 
acima, obtendo o seguinte: 
2 3 (1) 5 (1)
2 4 6
x x
x x
    
  
 
 Note o que acontece se somamos -4 (isto é, subtraímos 4) nos dois 
membros dessa última expressão: 
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2 4 ( 4) 6 4
2 6 4
x x
x x
      
  
 
 Você percebe que somar (-4) nos dois membros é equivalente a 
“passar” o 4, que estava somando no primeiro termo (2x + 4) para o 
outro lado da igualdade, porém invertendo o sinal? Em resumo: sempre 
que você quiser passar um número ou variável que está somando ou 
subtraindo de um lado para o outro da igualdade, basta trocar o seu sinal. 
 Agora, veja a seguinte expressão: 
2( 2) 6x x   
 Note que no primeiro membro temos o número 2 multiplicando o 
termo (x+2). Se dividirmos ambos os lados da igualdade por 2, teremos: 
2( 2) 6
2 2
6
2
2
x x
x
x
 


 
 
 Veja que o 2 que estava multiplicando o primeiro membro agora 
está dividindo o segundo membro. Assim, sempre que um número ou 
variável estiver multiplicando ou dividindo um dos termos da igualdade, 
ele pode passar para o outro lado, bastando para isso inverter a 
operação. 
 Muito cuidado para não cometer o seguinte erro: 
3 1 6
6
1
3
x x
x
x
  

 
 
 Neste caso acima, o número 3 estava multiplicando x e foi 
transferido para o outro lado da igualdade, dividindo o segundo termo. 
Porém, o 3 não estava multiplicando todo o primeiro termo, por isso não 
podia passar para o outro lado dividindo o segundo termo. Neste caso, o 
correto seria passar, primeiramente, o número 1 (que estava somando) 
para o outro lado (subtraindo). Feito isso, teríamos: 
3 6 1x x   
 Agora sim o 3 está multiplicando todo o primeiro termo da 
igualdade, e pode passar para o outro lado dividindo: 
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6 1
3
x
x
 
 
 Quando estamos diante de uma expressão algébrica e queremos 
descobrir o valor de uma variável, basta passar todos os termos que 
contém a variável para um lado da igualdade, e todos os que não a 
contém para o outro lado da igualdade. Utilizando a equação3 3 7x x   , 
vamos descobrir o valor de x. Inicialmente, passamos para o lado 
esquerdo os termos que contém x, e para o lado direito os que não 
contém, fazendo as trocas de sinal ou inversão de operação necessárias: 
3 3 7
3 7 3
2 4
x x
x x
x
  
  

 
 A seguir, podemos isolar a variável x, passando para o outro lado 
da igualdade o 2 que a multiplica: 
2 4
4
2
2
x
x
x



 
 Assim como vimos nas expressões numéricas, devemos resolver 
primeiro o que está entre parênteses (), depois o que está entre colchetes 
[ ], e por fim o que está entre chaves { }. 
 Da mesma forma, devemos resolver primeiro as operações de 
potenciação ou radiciação, a seguir as de multiplicação ou divisão, e por 
fim as de soma ou subtração. Preste atenção nesses aspectos ao estudar 
a resolução dos exercícios. 
 
1.12 PRODUTOS NOTÁVEIS 
 Existem algumas expressões que costumam aparecer com 
frequência em nossos cálculos. Essas expressões são chamadas de 
“produtos notáveis”, e o conhecimento delas pode permitir que você 
agilize os seus cálculos e obtenha resultados mais rapidamente. Vejamos 
os principais casos: 
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Quadrado da soma de dois termos 
 Imagine que tenhamos duas variáveis em uma equação, “a” e “b”. 
O quadrado da soma desses dois termos é simplesmente (a + b)2. Repare 
que: 
(a + b)2 = (a + b) . (a + b) 
 
 Desenvolvendo essa expressão da direita da igualdade acima, 
utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, temos: 
(a + b)2 = a.a + a.b + b.a + b.b 
(a + b)2 = a2 + a.b + a.b + b2 
(a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2 
 
 A expressão acima é o nosso “produto notável”. Ela nos diz que o 
quadrado da soma de dois termos é IGUAL ao quadrado do primeiro 
termo (a2) somado a duas vezes a multiplicação entre os termos (2.a.b) e 
somado ao quadrado do segundo termo (b2). 
 Vejamos um exemplo prático. Suponha que você precise fazer o 
cálculo de 572. Isso é o mesmo que: 
(50 + 7)2 
 
 Temos o quadrado de uma soma, que pode ser resolvido através do 
produto notável que já conhecemos acima: 
(a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2 
(50 + 7)2 = 502 + 2.50.7 + 72 
(50 + 7)2 = 2500 + 100.7 + 49 
(50 + 7)2 = 2500 + 700 + 49 
(50 + 7)2 = 3249 
 
Quadrado da diferença entre dois termos 
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 Imagine que tenhamos duas variáveis em uma equação, “a” e “b”. 
O quadrado da diferença entre esses dois termos é simplesmente (a – 
b)2. Repare que: 
(a – b)2 = (a – b) . (a – b) 
(a – b)2 = a.a – a.b – b.a + b.b(a – b)2 = a2 – 2.a.b + b2 
 
 Temos na linha acima mais um produto notável. Ele poderia ter 
sido usado para fazer também o cálculo de 572, lembrando que isto é 
equivalente a (60 – 3)2. Veja: 
572 = 
(60 – 3)2 = 
602 – 2x60x3 + 32 = 
3600 – 360 + 9 = 
3249 
 Veja como utilizar um produto notável como este em uma questão 
de prova: 
1. FCC – TRT/4ª – 2011) Dos números que aparecem nas alternativas, 
o que mais se aproxima do valor da expressão 2 2(0,619 0,599 ) 0,75  é: 
a) 0,0018 
b) 0,015 
c) 0,018 
d) 0,15 
e) 0,18 
RESOLUÇÃO: 
 Veja que elevar 0,619 e 0,599 ao quadrado seria bem trabalhoso. 
Entretanto, lembrando que 2 2( ) ( )a b a b a b     , onde a = 0,619 e b = 
0,599, temos que: 
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2 2
2 2
2 2
2 2
( ) ( )
0,619 0,599 (0,619 0,599) (0,619 0,599)
0,619 0,599 (1,218) (0,02)
0,619 0,599 0,0243
a b a b a b    
    
  
 
 
 Assim, 
2 2(0,619 0,599 ) 0,75 0,0243 0,75 0,0182     
Resposta: C 
 
Diferença entre dois quadrados 
 Observe que: 
(a + b) x (a – b) = 
a.a + a.b – b.a – b.b = 
a2 + a.b – a.b – b2 = 
a2 – b2 
 
 
 Ou seja, 
(a + b) x (a – b) = a2 – b2 
 
 Este é o nosso produto notável. Ele nos diz que a diferença entre 
dois números elevados ao quadrado (a2 – b2) é igual à multiplicação entre 
a soma deles (a + b) e a diferença entre eles (a – b). Portanto, caso você 
precise fazer, por exemplo, (82 – 72), basta calcular assim: 
a2 – b2 = (a + b) x (a – b) 
82 – 72 = (8 + 7) x (8 – 7) 
82 – 72 = (15) x (1) 
82 – 72 = 15 
 
 Fácil, não? Vejamos mais produtos notáveis. 
 
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Cubo da soma de dois números e Cubo da diferença entre dois 
números 
 A lógica desses produtos notáveis é similar à lógica que já vimos 
nos demais casos. Assim, para não perdermos tempo, vou disponibilizar 
para você diretamente as fórmulas desses dois casos: 
 
3 3 2 2 3( ) 3 3        a b a a b a b b 
 
3 3 2 2 3( ) 3 3        a b a a b a b b 
 
 Exemplificando o uso desses produtos notáveis, vamos resolver a 
questão abaixo: 
 
2. CEPERJ – DEGASE/RJ – 2012) Uma quantidade X é dada pela 
expressão: 
 
Desse modo, X é igual a: 
A) 25,2527456 
B) 26,3939392 
C) 27,0000000 
D) 36,0000000 
E) 36,3020293 
RESOLUÇÃO: 
 Veja que temos termos elevados ao cubo nessa expressão do 
enunciado, o que nos faz lembrar do seguinte produto notável: 
3 3 2 2 3( ) 3 3        a b a a b a b b 
 Observe que se trocarmos 0,023 por “a” e 2,977 por “b”, a 
expressão do enunciado seria exatamente 3 2 2 33 3a a b a b b       . 
 Observando os produtos notáveis, vemos que: 
3 2 2 3 33 3 ( )a a b a b b a b         
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 Portanto, ao invés de efetuar toda a conta, basta calcularmos: 
X = (0,023 + 2,977)3 = 33 = 27. 
Resposta: C 
 
 Estes não são os únicos produtos notáveis existentes, mas são os 
mais importantes. Resumindo-os, temos: 
1. 2 2 2( ) 2a b a a b b      
2. 2 2 2( ) 2a b a a b b      
3. 2 2( ) ( )a b a b a b     
4. 3 3 2 2 3( ) 3 3        a b a a b a b b 
5. 3 3 2 2 3( ) 3 3        a b a a b a b b 
 
1.13 SISTEMAS DE NUMERAÇÃO 
O sistema de numeração decimal é o que usamos no nosso dia-a-
dia. Ele tem como base o número 10. Ao utilizá-lo contamos de 10 em 10, 
formando grupos a cada 10 unidades, os quais convencionou-se chamar 
de dezenas, centenas, milhares e assim por diante. Nesse sistema, 
utilizamos os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 para formar qualquer 
número. 
No sistema decimal, se temos um número como 5734, dizemos que 
o 4 é o algarismo das Unidades, o 3 é o algarismo das Dezenas, o 7 é o 
algarismo das centenas, e o 5 é o algarismo dos Milhares. Podemos 
reescrever este número em função das potências de 10. Para isso basta 
multiplicar o algarismo das unidades por 1, o das dezenas por 10, o das 
centenas por 100, o dos milhares por 1000, e assim por diante. 
Exemplificando: 
5734 = 5x1000 + 7x100 + 3x10 + 4x1 
ou 
5734 = 5000 + 700 + 30 + 4 
ou 
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5734 = 5x103 + 7x102 + 3x101 + 4x100 
 
De maneira geral, se temos um número do tipo ABCD, onde cada 
letra representa uma casa decimal, podemos dizer que: 
ABCD = Ax1000 + Bx100 + Cx10 + D 
 
Vamos observar como aplicar esses conceitos na prática, 
trabalhando o seguinte problema: 
“Imagine que João é pai de Alberto. João tem XY anos de idade e Alberto 
tem YX anos, onde X e Y são algarismos do sistema decimal. Sabendo 
que a diferença de idade entre eles é de 27 anos, apresente um possível 
valor para a idade de João.” 
 
 Sendo XY e YX as idades, podemos dizer que: 
Idade de João – Idade de Alberto = 27 
XY – YX = 27 
(10X + Y) – (10Y + X) = 27 
10X + Y – 10Y – X = 27 
9X – 9Y = 27 
9X = 27 + 9Y 
X = 27/9 + 9Y/9 
X = 3 + Y 
 
 A partir desta última expressão, que relaciona X e Y, podemos 
encontrar possíveis soluções para o problema. Por exemplo, se Y for igual 
a 1, então X = 3 + Y = 3 + 1 = 4. Deste modo, a idade de João é XY = 
41, e a de Alberto é YX = 14. Note que, de fato, a diferença de idades é 
41 – 14 = 27. Portanto, esta é uma possível solução, mas não a única. 
Poderíamos ter Y = 2 e X = 3+2 = 5, por exemplo, ficando João com 52 
anos e Alberto com 25. E assim por diante... 
 
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No entanto, nem todos os sistemas de numeração são decimais. Um 
sistema muito comum no meio digital é o sistema binário, que conta de 2 
em 2 (ou seja, base 2) e se utiliza apenas dos algarismos 0 e 1 para 
representar as quantidades. 
 
Suponha que queiramos transformar o número decimal 37 em 
binário. O primeiro passo é escrever esse número como a soma de 
potências de 2. Veja que 37 é igual a 32 + 4 + 1 que, por sua vez, são 
iguais a 2^5 + 2^2 + 2^0. Portanto, podemos dizer que: 
37 = 
32 + 4 + 1 = 
25 + 22 + 20 = 
1x25 + 0x24 + 0x23 + 1x22 + 0x21 + 1x20 
 
A partir dos números em negrito na última expressão, podemos 
escrever 37 em binário como 100101. 
 
Vamos agora transformar o número decimal 173 em binário. Para 
isso, vamos recorrer às potências de 2 que vimos anteriormente. 
Podemos dizer que 173 = 128 + 32 + 8 + 4 + 1. Assim, temos: 
173 = 
128 + 32 + 8 + 4 + 1 = 
27 + 25 + 23 + 22 + 20 = 
1x27 + 0x26 + 1x25 + 0x24+ 1x23 + 1x22 + 0x21 + 1x20 
A partir dos números em negrito na última expressão, podemos 
escrever 173 em binário como 10101101. 
 
Assim como o sistema de numeração binário, o sistema 
hexadecimal também é muito utilizado em computadores e 
processadores,