MOMENTO PENDULAR DETERMINAÇÃO DA ACELERAÇÃO GRAVITACIONAL

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ 
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS 
ENGENHARIA QUÍMICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
MOMENTO PENDULAR: DETERMINAÇÃO DA ACELERAÇÃO GRAVITACIONAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ILHÉUS – BA 
2016 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MOMENTO PENDULAR: DETERMINAÇÃO DA ACELERAÇÃO GRAVITACIONAL 
 
 
 
 
 
 
Relatório apresentado como parte dos critérios 
de avaliação da disciplina CET833 – Física 
Experimental II P (15), 15 de setembro 2016. 
 
Professora – Maria Jaqueline Vasconcelos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ILHÉUS – BA 
2016 
SUMÁRIO 
 
1. INTRODUÇÃO ...................................................................................................... 4 
2. OBJETIVO ............................................................................................................ 6 
3. MATERIAIS E MÉTODO ...................................................................................... 6 
3.1. Materiais ............................................................................................................ 6 
3.2. Método .............................................................................................................. 6 
4. RESULTADOS E DISCUSSÃO ............................................................................ 6 
5. CONCLUSÃO ..................................................................................................... 10 
6. REFERÊNCIAS .................................................................................................. 11 
7. APÊNDICE A........................................................................................................12 
 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
Cotidianamente estamos cercados por movimentos que tem movimentos 
repetitivos e com determinados intervalos e tempo, como por exemplo o pêndulo de 
um relógio Fig. (01), e na Física esses movimentos que tem repetições e intervalos 
de tempos delimitados são chamados de oscilações. 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 01 – Relógio de pêndulo 
 
O pêndulo simples é um experimento físico que é tido como corpo ideal, 
uma vez que é constituído de uma partícula suspensa por um fio, onde sua 
flexibilidade é nula, e de massa desprezível, conforme a Fig. (02). 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 02 – Relógio de pêndulo 
 
Quando o pêndulo é movimentado, tirando de seu estado de equilíbrio, e 
é liberado com um ângulo θ, o mesmo realiza um movimento oscilatório 
verticalmente sob ação da gravidade. No sistema do pêndulo simples as forças 
atuantes são as de tração, onde o fio exerce essa força sobre o corpo maciço, e a 
força gravitacional mg, que é decomposta de acordo com suas coordenadas. A força 
centrípeta resultante é a componente radial do sistema, sendo essa responsável 
pela trajetória do corpo. Já a força tangencial é restauradora, e esta tende a 
estabelecer o equilíbrio do pêndulo. Assim, temos que a força restauradora é: 
eq. (01) 
𝐹 = −𝑚𝑔 𝑠𝑒𝑛𝜃 
 
 
A força não é proporcional ao deslocamento de ângulo θ, e sim ao senθ. 
Deste modo, se o ângulo for pequeno, o senθ será aproximadamente igual a θ em 
rad. Assim: 
 
Senθ ~ θ 
 
Tem-se que, 
eq. (02) 
𝐹 = −𝑚𝑔𝜃 = −𝑚𝑔
𝑥
𝐿
= (
𝑚𝑔
𝐿
)𝑥 
 
 
Utilizando de pequenas amplitudes, o período do pêndulo pode ser obtido 
fazendo k = mg/L. Assim, temos que: 
 
𝑇 = 2𝜋√
𝑚
𝑘
= 2𝜋√
𝑚
𝑚𝑔/𝐿
 
 
Ou, 
eq.(03) 
𝑇 = 2𝜋√
𝐿
𝑔
 
Outro modo de calcular o período do pêndulo é a partir da razão entre o 
tempo e o número de oscilações, de acordo com a eq. (04) 
eq. (04) 
𝑇 =
𝑡
𝑛
 
 
2. OBJETIVO 
 
O objetivo do experimento foi estudar o movimento harmônico do pêndulo 
simples, utilizando o período do mesmo em comprimentos diferentes para calcular a 
gravidade local, aplicando a equação do período e utilizando o método de Bessel. 
 
3. MATERIAIS E MÉTODO 
 
3.1. Materiais 
 
 Fita métrica; 
 Transferidor de ângulo; 
 Sensores; 
 Esfera metálica; 
 Fio inextensível; 
 Cronômetro; 
 Suporte universal. 
 
3.2. Método 
 
 Ajustou-se o comprimento do fio com a fita métrica até o centro do objeto; 
 Ajustou-se o fio no suporte universal; 
 Ajustou-se o cronômetro; 
 Utilizou-se o transferidor para medir o ângulo de aproximadamente 10º; 
 Mediu-se o tempo de 10 períodos ,10 vezes; 
 Repetiu-se o experimento encurtando o fio entre 50% e 30% do tamanho 
inicial. 
 
 
4. RESULTADOS E DISCUSSÃO 
 
Utilizando-se da fita métrica e do cronômetro para as medidas efetuadas, a 
estes foram associadas às incertezas instrumentais. Como a fita métrica utilizada era 
analógica, a sua incerteza instrumental 𝜎𝑋 fora dada pela metade do valor de sua 
medida: 
 
𝜎𝑥 =
0,001𝑚
2
= 0,0005𝑚 = 0,5 𝑥 10−3𝑚 
 
Incerteza do cronômetro dada foi de: 
 
𝜎𝑦 = 5,0 𝑥 10
−5𝑠 
 
No experimento 1, tomemos os tempos de 10 oscilações com a corda de 
0,775m a 10º da posição de equilíbrio, obtivemos os dados da Tabela 1 expressos a 
seguir: 
 
Tabela 1- Tempos das 10 oscilações 
MEDIDA T10(s) 
1 8,82725 
2 8,82970 
3 8,82940 
4 8,82870 
5 8,82595 
6 8,82940 
7 8,82220 
8 8,82125 
9 8,82740 
10 8,82445 
 
Repetimos o mesmo, para o experimento 2 com uma corda de 0,443 m, 
também a 10º graus. 
 
 
 
 
 
 
Tabela 2 – Tempos das 10 oscilações 
MEDIDA T10(s) 
1 6,6661 
2 6,6661 
3 6,6649 
4 6,65605 
5 6,65955 
6 6,6644 
7 6,64115 
8 6,6532 
9 6,64065 
10 6,65285 
 
Para cada experimento tomou-se a média e dividiu-se por 5 para obter o 
tempo de um período. Deste modo a incerteza de 𝑇1 e 𝑇2 (conforme as equações no 
apêndice A) foram obtidas através das incertezas das médias e desvio padrão são, 
respectivamente: 
 
𝑇1 = ( 1,76531 ± 0,00019 )𝑠 
𝑇2 = ( 1,33130 ± 0,00061)𝑠 
Para calcular a gravidade do experimento 1 e 2 utilizou-se a equação (3) 
isolando o g, como mostra a equação (5). 
𝑔 =
4𝜋2𝐿
𝑇2
 
Com L igual ao comprimento da corda e T o período, obteve-se os seguintes 
resultados para g com as devidas incertezas(conforme as equações no apêndice A): 
 
𝑔1 = (9,818 ± 0,063)𝑚/𝑠2 
𝑔2 = (9,868 ± 0,112)𝑚/𝑠2 
É perceptível que os valores obtidos se aproximam de maneira significativa em 
relação ao valor teórico da gravidade. 
Um dos objetivos do experimento é calcular a gravidade utilizando o método 
de Bessel. Para tal, deduzamos uma expressão que relacione os períodos e os 
diferentes comprimentos de corda. Tomemos a eq. (03), para dois dados 
comprimentos e diferentes períodos podemos reescrevê-la para os comprimentos 
medidos: 
 
𝑇1 = 2𝜋√
𝐿1
𝑔
 
 𝑇2 = 2𝜋√
𝐿2
�⃗�
 
Onde 𝑇1e 𝐿1 são o período e o comprimento 1 respectivamente, 𝑇2 e 𝐿2 o 
período e o comprimento 2. Podemos elevar ambos os membros ao quadrado para 
remover a raiz: 
𝑇1
2 = 4𝜋2
𝐿1
𝑔
 
 𝑇2
2 = 4𝜋2
𝐿2
𝑔
 
 
Subtraindo as duas equações, temos: 
 
𝑇1
2 − 𝑇2
2 = 4𝜋2
𝐿1
𝑔
− 4𝜋2
𝐿2
𝑔
 
 
Pondo 4𝜋2 em evidência temos: 
 
𝑇1
2 − 𝑇2
2 = 4𝜋2 (
𝐿1 − 𝐿2
𝑔
) 
 
Multiplicando g por 𝑇1
2 − 𝑇2
2: 
 
𝑔(𝑇1
2 − 𝑇2
2) = 4𝜋2(𝐿1 − 𝐿2) 
 
Isolando g temos: 
𝑔 = 4𝜋2
(𝐿1 − 𝐿2)
𝑇1
2 − 𝑇1
2 
 
Chamando a diferença 𝐿1 − 𝐿2 de d temos a eq. (06) 
eq. (06) 
𝑔 = 4𝜋2
𝑑
𝑇1
2 − 𝑇1
2 
 
Bessel foi o primeiroa deduzir tal relação ainda no século XVII. 
De acordo com a equação e com os devidos resultados obtidos 
anteriormente, encontrou-se o valor de g3 com a devida incerteza(conforme as 
equações no apêndice A) : 
𝑔3 = (9,752 ± 0,208)𝑚/𝑠2 
 
Neste caso nota-se que a incerteza foi pouco significativa quanto ao 
esperado por utilizar a equação de Bessel. 
 
 
5. CONCLUSÃO 
 
A realização do experimento permitiu comprovar a aceleração 
gravitacional local com sucesso e poder observar o movimento realizado pelo 
pêndulo simples. Tendo em vista que vários fatores contribuíram para que o valor da 
gravidade obtido fosse tão próximo ao valor teórico, desde o cuidado para que o 
ângulo fosse exatamente 10º utilizando o transferidor, até a utilização dos cálculos, 
que foi a parte mais importante do experimento. 
 De acordo com a tomada de dados e com a propagação de erros os 
valores mais próximos do teórico foram realizados utilizando a equação diferencial. 
O método de Bessel deveria ser o mais preciso para medir a aceleração 
gravitacional, no entanto “O método de Bessel tem o inconveniente de que, a cada 
vez, a diferença no comprimento e os respectivos períodos devem ser medidos; 
além disso; não permite medidas com o grau de precisão”. Apesar das medidas do 
comprimento e do período levarem em conta o desvio, não foi o necessário para ter 
o valor mais próximo utilizando o método de Bessel. 
 Portanto, vale ressaltar que os desvios referentes ao valor teórico, 
foram pequenos, apesar da dificuldade de obter valores com maior grau de precisão, 
como a amplitude e o comprimento. Pode-se concluir que todo o procedimento para 
determinar a aceleração gravitacional foi realizado com cautela. 
 
6. REFERÊNCIAS 
 
GUIA LABORATORIAL – MOVIMENTO PENDULAR: DETERMINAÇÃO DA 
ACELERAÇÃO GRAVITACIONAL; 
 
FREEDMAN, R. A.; YOUNG, H. D. Física II: Termodinâmica e Ondas. 12ª Edição. 
São Paulo: Prentice Hall, 2008. 
 
HALLIDAY, D; RESNICK, R; KRANE, K. S. Física 2. 4ª Edição. Rio de Janeiro: Jc, 
1996; 
 
MOISÉS, N. H. Curso de física básica 2 – Fluidos, oscilações e ondas, calor. 3ª 
Edição. São Paulo: Edgard Blucher, 1981. 
 
 
7. APÊNDICE A 
Estão listadas abaixo, todas as equações utilizadas nos cálculos que envolveram o 
experimento: 
 
 MÉDIA 
𝒙 =
𝟏
𝒏
∑ 𝒙𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
 
Utilizando o mesmo objeto, faz-se as medidas mais próximas e dividi pela 
quantidade de vezes que foi realizada. 
 DESVIO PADRÃO DA MEDIDA 
𝝈 = √
𝟏
𝒏 − 𝟏
∑(𝒙𝒊 − 𝒙)𝟐
𝟏𝟎
𝒊=𝟏
 
O desvio padrão quantifica o grau de dispersão das medidas realizadas em 
relação ao valor médio. 
 INCERTEZA DO TIPO A 
𝝈𝑨 =
𝝈
√𝒏
 
 
A incerteza do Tipo A associa ao valor médio. É estimado pelo desvio padrão da 
média. 
 INCERTEZA DO TIPO B 
A incerteza do tipo B, é a incerteza instrumental, tomando como base o aparelho 
utilizado no experimento, foi a menor medida dividida por dois. 
 
 INCERTEZA COMBINADA 
𝝈𝑪√(𝝈𝑨𝟐 + 𝝈𝑩𝟐) 
A incerteza Combinada representa o valor total das incertezas associadas às 
medidas, ou seja, relaciona tanto a incerteza do Tipo A quanto a do Tipo B. 
 
Segue todo o calculo para as incertezas associadas a cada experimento, utilizando a 
propagação de erro. 
Incerteza da gravidade para o experimento 1 e 2: 
 
𝑔 =
4𝜋2𝐿
𝑇2
 
De acordo com a equação foi necessário utilizar a derivada parcial, tendo em vista a 
incerteza do comprimento L e o período T. 
𝜎𝑔2 = (
𝜕𝑔
𝜕𝐿
)
2
𝜎𝐿2 + (
𝜕𝑔
𝜕𝑇
)
2
 𝜎𝑇2 
 
𝜕𝑔
𝜕𝐿
=
4𝜋2
𝑇2
 
 
𝜕𝑔
𝜕𝑇
=
−8𝜋2
𝑇2
 
Substituindo temos que 
𝜎𝑔 = 𝑔√(
1
𝐿
)
2
𝜎𝐿2 + (
2
𝑇
)
2
𝜎𝑇2 
A incerteza vale tanto para o cálculo de g1 quanto para g2. 
 Agora segue a demonstração para o g3 de acordo com a equação: 
 
𝑔 = 4𝜋2
(𝐿1 − 𝐿2)
𝑇1
2 − 𝑇1
2 
Logo será necessário 4 derivadas parciais em relação a T1,T2,L1 e L2, como: 
𝜎𝑔32 = (
𝜕𝑔
𝜕𝐿1
)
2
𝜎𝐿12 + (
𝜕𝑔
𝜕𝐿2
)
2
𝜎𝐿22 + (
𝜕𝑔
𝜕𝑇1
)
2
𝜎𝑇12 + (
𝜕𝑔
𝜕𝑇2
)
2
𝜎𝑇22 
𝜕𝑔
𝜕𝐿1
=
4𝜋2
𝑇12 − 𝑇22
 
𝜕𝑔
𝜕𝐿2
=
−4𝜋2
𝑇12 − 𝑇22
 
𝜕𝑔
𝜕𝑇1
=
−8𝜋2(𝐿1 − 𝐿2)𝑇1
(𝑇12 − 𝑇22)2
 
𝜕𝑔
𝜕𝑇2
=
8𝜋2(𝐿1 − 𝐿2)𝑇1
(𝑇12 − 𝑇22)2
 
Substituindo temos que 
𝜎𝑔3 = 𝑔3√(
1
𝐿1 − 𝐿2
)
2
𝜎𝐿12 + (
1
𝐿1 − 𝐿2
)
2
𝜎𝐿22 + (
2𝑇1
𝑇12 − 𝑇22
)
2
𝜎𝑇12 + (
2𝑇2
𝑇12 − 𝑇22
)
2
𝜎𝑇22 
 
Essas foram às equações utilizadas para todo o cálculo do experimento.