Balanço integral de energia

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BALANBALANÇÇO INTEGRALO INTEGRAL
DE ENERGIADE ENERGIA
As leis básicas que se aplicam no estudo envolvendo o escoamento de fluidos incluem 
os princípios de conservação de massa, de quantidade de movimento,de energia, etc. 
Balanço de Energia
Na análise do escoamento de fluido vamos aplicar a primeira lei da termodinâmica: 
“Se um sistema é transportado através de um ciclo, o calor total adicionado ao sistema 
a partir de suas vizinhanças é proporcional ao trabalho realizado pelo sistema nas 
referidas vizinhanças.”
Diferente do balanço de momento, a eq. de energia resultante estará na forma escalar:
onde δQ e δW são diferenciais de calor e trabalho. O operador δ é usado uma vez que 
tanto Q quanto W são funções do “caminho” escolhido (não são funções de estado) ⇒
diferenciais inexatas. (obs.: no caso de funções de estado (como T, P e V), estas 
dependem apenas dos estados inicial e final).
INTRODUÇÃO
∫∫ δ=δ WQ
y
2
1
a
b
Considerando um ciclo termodinâmico (a): 
(1)∫∫∫∫ δ+δ=δ+δ
1
b2
2
a1
1
b2
2
a1
WWQQ
Considerando um novo ciclo termodinâmico ida por a e volta por c:
(2)
Subtraindo (1) de (2): 
Que pode ser escrito como: 
Como cada lado da equação acima se refere ao valor da integral de uma função 
realizada por caminhos diferentes, o valor obtido não depende deste. Essa propriedade 
será designada como dE e representa a quantidade total de energia do sistema. 
→ Expressão alternativa para a primeira lei da termodinâmica: 
∫∫∫∫ δ+δ=δ+δ
1
c2
2
a1
1
c2
2
a1
WWQQ
∫∫∫∫ δ−δ=δ−δ
1
c2
1
b2
1
c2
1
b2
WWQQ
∫∫ δ−δ=δ−δ
1
c2
1
b2
)WQ()W Q(
WQdE δ−δ=
y
2
1
a
b
c
Obs: Para um sistema que está submetido a um processo 
que ocorre em um intervalo de tempo dt: 
→ δQ é positivo quando calor é adicionado ao sistema 
→ δW é positivo quando o trabalho é feito pelo sistema.
dt
W
dt
Q
dt
dE δ
−
δ
=
A variação de 
energia de um 
sistema é igual à
soma de calor e 
trabalho trocados 
com o meio.
função de 
estado
MÉTODO DE EULER
Neste estudo do escoamento dos fluidos será utilizado o método de Euler.
• considera um ponto fixo no espaço e exprime, a cada instante, as grandezas 
características da partícula que passa por esse ponto.
• Para a descrição dinâmica deste movimento, é necessário o conhecimento de 
certas características, como a pressão, a velocidade e massa específica.
MÉTODOS DE EULER E LAGRANGE
MÉTODO DE LAGRANGE
� Descreve o movimento de cada partícula acompanhando-a em sua trajetória real;
� Apresenta grande dificuldade em aplicações práticas;
� Para a engenharia normalmente não há interesse pelo comportamento individual 
da partícula e sim pelo comportamento do conjunto de partículas durante o 
escoamento.
→ Escrevendo a equação de balanço de energia:
e aplicando ao volume de controle:
Fluxo líquido (saída – entrada):
→ No balanço de massa:
→ No balanço de momento: 
→ No balanço de energia: 










+










=










−










+










VC no gia
-ener de mulo
-acú de taxa
 escoamento
pelo sai que
energia de taxa
 as vizinhançnas
 VC pelo feita
 trabalhode taxa
 VC o para
as vizinhançdas
calor de taxa
 escoamento
pelo entra que
energia de taxa
n
v
dA
θ
dAnvdAv
AA
n ∫∫∫∫ = ).(
rrρρ
∫∫
A
dAnvv ).( rrrρ
∫∫
A
dAnve ).( rrρ
(1)
Ou seja, 
Acúmulo:
Substituindo na equação de balanço (1) os termos obtidos:
∫∫=










−










A
dAnve ).(
 escoamento
pelo sai que
energia de taxa
 escoamento
pelo entra que
energia de taxa
rrρ
∫∫∫ ρ∂
∂
VC
dVe
t
∫∫∫∫∫ ∂
∂
+=−
VCA
dVe
t
dAnve
dt
W
dt
Q ρρδδ ).( rr
OBSERVAÇÃO:
→ Temos 3 tipos de trabalho:
• Trabalho de eixo (Ws): realizado pelo sistema sobre a vizinhança ocasionando a 
rotação de um eixo, se positivo. Se negativo, a vizinhança promove a rotação do eixo.
• Trabalho devido ao escoamento (Wσ): realizado nas vizinhanças para vencer as 
tensões normais na superfície do VC.
• Trabalho cisalhante (Wττττ): realizado para vencer as forças cisalhantes (tangenciais) 
na superfície do VC.
n
v
dA θ
S (comp. σii e τij)
→ S é o vetor resultante das tensões normais (σ)
e de cisalhamento (τ), envolvidas em um 
escoamento. Assim, a força atuando em um 
elemento de área dA é S.dA e a taxa de trabalho 
realizada é dASv
rr
.
∫∫∫∫∫∫∫ ∂
∂
+=+−
VCAA
s dVe
t
dAnvedASv
dt
W
dt
Q ρρδδ ).(. rr
rrAssim:
A força resultante tem uma forma mais usual de se apresentar. Ela engloba 
efeitos de pressão e efeitos viscosos, da mesma forma que o Wτ. Assim:
→ atribuindo toda a contribuição viscosa a um trabalho Wµ:
∫∫∫∫∫∫∫ ∂
∂
+=−−−
VCAA
s dVe
t
dAnve
dt
W
dAnvP
dt
W
dt
Q ρρδδδ µ ).().( rrrr
(2)
Reagrupando os termos:
dt
W
dVe
t
dAnvPe
dt
W
dt
Q
VCA
s µδρρ
ρ
δδ
+
∂
∂
++=− ∫∫∫∫∫ ).()(
rr
Obs.: a energia total específica, e, pode ser expressa para incluir as contribuições 
de energia cinética, energia potencial e energia interna, ou seja: 
u
vgye ++=
2
2
(3)
SIMPLIFICAÇÕES:
Considere um escoamento no volume de controle estabelecido abaixo, na 
situação de regime permanente e desprezando as perdas por atrito. 
Determine a equação que rege esse sistema.
Para essas condições, a equação de energia (eq. (2)) fica:
Com base na equação (3), o termo (e+P/ρ) pode ser escrito como:
ρρ
P
u
vgyPe +++=+
2
2
mas
(4)
Assim, a equação (4) fica:
Pelo balanço de massa: 222111 AvAvm ρ=ρ=&
Superfície de controle






+++−





+++=
−
1
1
11
2
1
2
2
22
2
2S Pugy
2
vP
ugy
2
v
m
Wq
ρρ&
&
m
WPgy
2
v
u
m
qPgy
2
v
u s
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2
1
1
&
&
&
++++=++++
ρρ
ρ
P
uhPVUH +=→+=
m
Whgy
2
v
m
qhgy
2
v s
22
2
2
11
2
1
&
&
&
+++=+++
Ou, na forma mais familiar:
Mas, por definição, entalpia é a soma da energia interna e da energia atrelada ao 
sistema por meio de relações entre este e sua vizinhança, ou seja: 
Com isso, outra forma de se expressar a equação (5) é:
(5)
→Na situação de regime transiente e desprezando as perdas por atrito:
Retomando a equação global de energia:
dt
W
dVe
t
dA)n.v()Pe(
dt
W
dt
Q
VCA
s µδρρ
ρ
δδ
+
∂
∂
++=− ∫∫∫∫∫
rr
t
)M.e(
w)Pe(w)Pe(wq
t
)M.e(Av)Pe(Av)Pe(wq
1
1
1
12
2
2
2s
111
1
1
1222
2
2
2s
∂
∂
++−+=−
∂
∂
++−+=−
ρρ
ρ
ρ
ρ
ρ
quantidade de energia associada ao conjunto sistema-vizinhança pelo fato 
do sistema ocupar um volume V quando submetido à pressão P (máximo 
trabalho realizado pela vizinhança sobre o sistema)
t
)M.e(
w)Pugy
2
v(w)Pugy
2
v(wq 1
1
1
11
2
1
2
2
2
22
2
2
s ∂
∂
+
ρ
+++−
ρ
+++=−
t
)M.e(
w)hgy
2
v(w)hgy
2
v(wq 111
2
1
222
2
2
s ∂
∂
+++−++=−ou
EQUAÇÃO DE BERNOULLI
Sob determinadas condições de escoamento a expressão da primeira lei da 
termodinâmica aplicada a um volume de controle se reduz a uma equação 
muito útil, conhecida como equação de Bernoulli.
Consideremos o escoamento de um fluido incompressível, 
isotérmico, invíscido (viscosidade nula: não há trabalho viscoso), ocorrendo em 
estado estacionário. Tomemos um volume de controle, conforme abaixo 
esquematizado:
0
dt
W
 e0
dt
Q s
==
δδ
0)Av(Pgy
2
v)Av(Pgy
2
v
111
1
1
1
2
1
222
2
2
2
2
2
=ρ





ρ
++−ρ





ρ
++
0dVe
t VC
=
∂
∂
∫∫∫ ρ
Nessas condições: 
- escoamento estacionário, incompressível e invíscido
- não há trabalho de eixo
- não há transferência de calor ou mudança na energia interna, então:
Com essas simplificações a equação da 1ª Lei fica:
0wPgy
2
v
w
Pgy
2
v
1
1
1
1
2
1
2
2
2
2
2
2
=





ρ
++−





ρ
++
222111 AvAv ρ=ρ
2
2
2
2
2
1
1
1
2
1 Pgy
2
vPgy
2
v
ρ
++=
ρ
++
g
P
g2
vy
g
P
g2
vy
2
2
2
2
2
1
1
2
1
1 ρ
++=
ρ
++
Como 
Dividindo pela aceleração da gravidade:
MEDIDORES DE VAZÃO
1.DEFINIÇÃO DE PRESSÃO
A pressão de estagnação e a pressão dinâmica podem ser associadas à equação de 
Bernoulli:
2
2
2
2
2
1
1
1
2
1 Pgy
2
vPgy
2
v
ρ
++=
ρ
++
•Pressão estática: P é a pressão 
termodinâmica no fluido que escoa. Para 
medi-la precisamos nos mover com a 
velocidade do fluido (ou seja, de modo 
estático em relação ao fluido). Um outro 
modo de se medir é usando um tubo 
piezométrico: P1 = γ(h4-3 + h3-1) = γh, onde 
γ=ρg, conforme Figura:
Pressão dinâmica: o termo ρv2/2 é denominado pressão dinâmica e surge quando a 
velocidade é nula e ele é transformado em energia de pressão.
Pressão de estagnação: aplicando a equação de Bernoulli nos pontos 1 e 2 do 
gráfico, é possível obter: P2 = P1 +ρv2/2, onde 2 é o ponto de estagnação onde a 
velocidade do fluido é zero, após o líquido preencher o tubo até a altura H. Assim, a 
pressão de estagnação é maior que a pressão estática P1 de ρv12/2, ou seja:
Pressão de estagnação = Pressão estática + Pressão dinâmica
Pressão hidrostática: o termo gy é denominado pressão hidrostática pois, apesar de 
não ser uma pressão, pode representar uma possível mudança na pressão devido a 
variação da energia potencial do fluido.
Observação: Se efeitos de elevação (variação de altura) na linha podem ser 
desprezados, a pressão de estagnação: P2 = P1 +ρv2/2 é a maior pressão que uma 
linha de corrente pode apresentar, ou seja, toda a energia cinética do fluido é
convertida num aumento de pressão.
Pressão total: a equação de Bernoulli estabelece que a pressão total permanece 
constante ao longo da linha de corrente (LC), ou seja, 
P +ρv2/2+γy = PT = constante ao longo da LC
Observação: lembre-se de verificar se as hipóteses usadas na dedução da equação 
de Bernoulli se aplicam no escoamento em análise.
TUBO DE PITOT
Consiste de um tubo com uma abertura perpendicular à direção do escoamento e 
um segundo tubo cuja abertura é paralela ao escoamento
A velocidade de escoamento é calculada a partir da diferença entre a pressão na 
abertura paralela ao escoamento, chamada de pressão estática, e a pressão no 
tubo de impacto, chamada de pressão de estagnação.
P2 (pressão de estagnação) = P1 (pressão estática) +ρv12/2
P2 – P1 = ρv12/2 ⇒ v1 = (2 ∆P/ρ)1/2 (*)
A pressão de trabalho para o tubo de Pitot é normalmente:
v1 = C (2 ∆P/ρ)1/2 = C [2 (ρm-ρ)g∆h/ρ]1/2
onde ρm é a massa específica do fluido manométrico, ρ é a massa específica do 
fluido que escoa e ∆h é o desnível no manômetro. A constante C foi inserida 
para corrigir desvios em relação à equação (*).
O tubo de Pitot mede a velocidade local, mas medindo a velocidade em várias 
posições radiais, para um mesmo comprimento de tubo, pode-se estimar a 
velocidade média do escoamento.
Obs.: esse sistema se aplica a fluidos incompressíveis e aos gases em velocidades 
moderadas, onde a variação de pressão é inferior a 15%.
Outras formas do tubo de Pitot:
MEDIDORES POR RESTRIÇÃO
Um modo eficiente de medir a vazão volumétrica em tubos é instalar algum 
tipo de restrição no tubo e medir a diferença entre as pressões na região de 
baixa velocidade e alta pressão (ponto 1) e de alta velocidade e baixa pressão 
(ponto 2).
Placa (ou medidor) 
de orifício
Medidor de Venturi
Medidor de bocal
Todos apresentam o mesmo princípio de funcionamento: um aumento na 
velocidade provoca uma diminuição na pressão. A diferença entre eles é uma 
questão de custo, precisão e como sua condição ideal de funcionamento (efeitos 
viscosos e de compressibilidade não são levados em conta) se aproxima da 
condição real.
Admitindo que o escoamento entre os pontos 1 e 2 é incompressível, invíscido e 
horizontal (y1 = y2) e que estamos trabalhando em regime permanente, então a 
equação de Bernoulli fica:
Pelo balanço de massa: 
onde A1 e A2 são as áreas das seções transversais 1 e 2.
Substituindo v1 e v2 por Q/ A1 e Q/A2, respectivamente, podemos isolar Q e 
determiná-lo em função da diferença de pressão.
P1 +ρv12/2 = P2 +ρv22/2
Q = A1v1 = A2v2