Escoamento Turbulento

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ESCOAMENTOESCOAMENTO
TURBULENTOTURBULENTO
ESCOAMENTO TURBULENTO
Aulas anteriores: situações envolvendo escoamento laminar
→ para alguns sistemas simples a velocidade varia apenas com uma direção, em
escoamento desenvolvido.
→ uso das equações do movimento (ou de Navier-Stokes)→ eq. bem estabelecidas.
→ situações mais complexas: desenvolvimento da dinâmica dos fluidos
computacional: soluções numéricas sendo gradualmente obtidas
Escoamento turbulento: caótico
→ componentes de velocidade que dependem de diversas outras variáveis ⇒
equações muito complexas que analisam detalhes da turbulência → grande esforço
computacional e resultados restritos.
COMPARAÇÕES ENTRE ESCOAMENTO LAMINAR E TURBULENTO
→ Importante resumir as diferenças entre os escoamentos: análise será restrita a
tubos de seção circular e placas planas.
Tubos de seção circular
Escoamento laminar: e
Quando r = 0 ⇒ v é máxima ⇒
)Rr(
L4
P
v
2
1
2
z −µ
∆
= 2
1z RL8
P
v
µ
∆
−=
2
1máx,z RL4
P
v
µ
∆
=
2
1máx,z
z )
R
r(1
v
v
−=Portanto, e Re < 21002
1
v
v
máx,z
z
=
4
1
2
1
z
R
LQ8P :mássica vazãode termosem ou, 
R
vL8P
piρ
µ
=∆µ=∆
→ Escoamento turbulento: velocidade flutua caoticamente → medida experimental
do perfil de velocidade (vel. média) de um escoamento turbulento usando tubo de
Pitot:
7/1
1,
)1(
R
r
v
v
máxz
z
−≈
5
4
v
v
máx,z
z
≈e 104 < Re < 105
Em termos de queda de pressão e vel. média: 
Re < 2100
→ Comparação qualitativa de perfis
de velocidades para escoamentos
laminar e turbulento em tubos:
Para essa mesma faixa de Reynolds pode-se obter que
104 < Re < 105
→ Nota-se uma dependência mais forte da queda de pressão com a vazão mássica 
para o escoamento turbulento uma vez que mais energia deve ser fornecida para 
manter o intenso movimento dos vórtices no tubo.






ρ
µ
pi
≈∆ 4/19
1
4/74/1
4/7
R
LQ)2(198,0P
2/1
0y
x
0
x
v
v332,0
y
v






µ
ρµ=
∂
∂µ=τ ∞
∞
=
Placa plana
→ Tensão de cisalhamento na placa:
Blasius
0y
32
0 vLW328,1FdAF ∞ρµ=⇒τ= ∫
5 9544 vWL 74,0F
∞
µρ=
→ Força de arraste:
Laminar: 0 < ReL < 5.105
5.105 < ReL < 107Turbulento:
→ Para escoamento laminar a força é proporcional a 3/2 enquanto que para
escoamento turbulento ela é proporcional a 9/5 → a diferença está associada a
energia extra para se manter o movimento dos vórtices.
MÉDIAS TEMPORAIS DAS EQUAÇÕES DE BALANÇO PARA FLUIDOS 
INCOMPRESSÍVEIS
→ Considerando escoamento turbulento em um tubo sob gradiente de pressão
constante: flutuação da velocidade em função do tempo:
Média temporal do valor de vz e
sua flutuação v’z para regime
turbulento e permanente (a
velocidade média não depende
do tempo)
'
zzz vvv += dtv
t
1
v
t
0 zz ∫=→ Componente z da velocidade: onde
→ Para outros componentes da velocidade e da pressão é possível escrever 
definições semelhantes:
onde vx, vy e vz são as velocidades instantâneas
v’x, v’y e v’z são componentes da flutuação da velocidade 
são as velocidades médias para cada direção
'
xxx vvv +=
'
yyy vvv +=
'PPP +=
zyx v e v,v
→A partir dessas definições conclui-se que
→ Obs.: o que se escreveu para a direção z se aplica para as direções x e y
considerando-se um escoamento tridimensional.
→ Retomando as equações de balanço de massa e de quantidade de movimento
considerando o escoamento de um fluido com massa específica e viscosidade
constantes, chegamos nas equações:
• Eq. da continuidade:
0v
___
'
z = z
___
z vv = 0vv
_______
'
zz =
x
v
x
v z
_____
z
∂
∂
=
∂
∂
t
v
t
v z
_____
z
∂
∂
=
∂
∂
0
z
v
y
v
x
v zyx
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
0)'()'()'( =+++++
z
vv
y
vv
x
vv zzyyxx
∂
∂
∂
∂
∂
∂ 0
z
v
y
v
x
v zyx
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
Calculando
a média:
ou seja, a equação da continuidade é obedecida quando se usa o artifício de se
expressar a velocidade como a média + flutuação.
x
zxyxxxzxyxxxx g
x
P
zyxz
)vv(
y
)vv(
x
)vv(
t
)v( ρ−
∂
∂
+
∂
τ∂
+
∂
τ∂
+
∂
τ∂
+
∂
ρ∂
+
∂
ρ∂
+
∂
ρ∂
=
∂
ρ∂
−
• Eq. do movimento:
substituindo esses valores de média temporal pela média + flutuação, para a direção 
x, ficamos com : O. Reynolds (1895): média temporal das equações de N.S. para representar o 
escoamento médio e suas flutuações
x
PPg
zyx
z
vvvv
y
vvvv
x
vvvv
t
vv
xzxzxyxyxxxxx
zzxxyyxxxxxxxx
∂
∂ρττττττ
∂
∂ρ
∂
∂ρ
∂
∂ρ
∂
∂ρ
)'()()()(
)')('()')('()')('()'(
'''
+
−++
∂
∂
++
∂
∂
++
∂
∂
+







 ++
+
++
+
++
−=
+
Tirando a média no tempo dessas equações:
z
vvvv
y
vvvv
x
vvvv
t
vv zzxxyyxxxxxxxx
∂
∂ρ
∂
∂ρ
∂
∂ρ
∂
∂ρ )')('()')('()')('()'(







 ++
+
++
+
++
−=
+
x
PPg
zyx
zyxt
xzxzxyxyxxxxx ∂
∂ρττττττ
∂∂∂∂
)'()()()( ''' +−++
∂
∂
++
∂
∂
++
∂
∂
+




0'v'v,'v'v,'v'v mas 0'v'v'v zxyxxxzyx ≠===
x
zxyxxxzx
yxxxzxyxxxx
g
x
P
zyxz
)'v'v(
y
)'v'v(
x
)'v'v(
z
)vv(
y
)vv(
x
)vv(
t
)v(
ρ−
∂
∂
+
∂
τ∂
+
∂
τ∂
+
∂
τ∂
+
∂
ρ∂
+
+
∂
ρ∂
+
∂
ρ∂
+
∂
ρ∂
+
∂
ρ∂
+
∂
ρ∂
=
∂
ρ∂
−
termos adicionais
→ Essa equação apresenta três termos adicionais que não poderiam ser obtidos por
mera substituição na equação de movimento, das variáveis pelos seus valores
médios.
→ Dessa forma, define-se tensões de Reynolds como:
zx
r
'
zx
yx
r
'
yx
xx
r
'
xx
'v'v
'v'v
'v'v
ρ=τ
ρ=τ
ρ=τ
→ Como obter o τturbulento? Não é possível obtê-lo através das equações acima 
desenvolvidas.
VISCOSIDADE TURBULENTA E COMPRIMENTO DE MISTURAVISCOSIDADE TURBULENTA E COMPRIMENTO DE MISTURA
→ Por analogia com a viscosidade molecular, pode-se definir viscosidade turbulenta 
(νe), conforme sugerido por Boussinesq (1877), de forma que:
→Assim, o fluxo de momento total fica: 
Mas, νe não é uma propriedade física como ν, e depende principalmente da posição. 
Sua determinação, até agora, não foi possível, o que vai ocorrer após a definição de 
comprimento de mistura de Prandtl. 
dy
vd x
e
r
yx ρν−=τ
dy
vd)( xe
t
yx ν+νρ−=τ
Comprimento de Mistura de Prandtl (1925): auxiliará na determinação das tensões de
Reynolds. Consideremos duas regiões adjacentes de fluido, A e B, que apresentem
velocidades médias diferentes. O gradiente de velocidade pode ser escrito como:
l
A,xB,xx vv
dy
vd −
=
dy
vd
'vvv xxA,xB,x l=−=− dy
vd
'v xx l=
onde l é o comprimento de mistura de Prandtl (semelhante ao livre caminho médio na
teoria dos gases).
Considerando que , e de forma geral:
'v 'v→ Prandtl também assumiu que era da mesma ordem de grandeza de
Então 
Mas, e
'vy
2
x2
yx dy
vd
'v'v l=
yx
r
yx 'v'vρ=τ dy
vd x
e
r
yx ρν−=τ
dy
vd
dy
vd
'v'v xe
2
x2
yx ρν−=ρ=ρ l E assim: dy
vd x2
e l=ν
'vx
Embora pareça que o resultado dessa substituição tenha sido em vão desde que se
trocou um parâmetro empírico por outro, o comprimento de mistura é um parâmetro
de mais fácil determinação. Por exemplo, no interior de um duto, llll não pode ser
maior do que as dimensões do mesmo e perto da parede ele se aproxima de zero.
A distribuição de velocidade utilizada com bons resultados para esse caso é:
ou usando K = 0,4 (constante universal): onde y = R-r
ESCOAMENTO TURBULENTOEM TUBO CIRCULAR LISO
→ Uso do comprimento de mistura de Prandtl para deduzir uma equação para
determinação da distribuição de velocidade, ou seja, o perfil de velocidade para
Ky=l
y4,0=l
determinação da distribuição de velocidade, ou seja, o perfil de velocidade para
escoamento turbulento, totalmente desenvolvido, em tubo de seção circular.
→ Como comentado, a viscosidade turbulenta não é uma propriedade física, mas
depende da posição e das condições de escoamento.
dr
)v(d)(
dr
)v(d
dr
)v(d
etotal
etotal
t
ρ
ν+ν−=τ
ρ
ν−
ρ
ν−=τ=τ
Para ρ constante:
→A viscosidade turbulenta varia de zero (na parede do tubo) até valores elevados 
(na região turbulenta)
→ Fazendo um balanço de forças num tubo com escoamento turbulento, no 
equilíbrio: forças de pressão = forças resistivas (cisalhamento) 
Para um tubo de raio R: S = piR2 e A = 2piRL
ou 
dr
dv)( etotal ρν+µ−=τ
A.S.P τ=∆−
RL2RP R
2 piτ=pi∆− L2/PRR ∆−=τ
aceleração é nula, logo 
existe um equilíbrio de 
forças, a tensão cisalhante 
na parede se equilibra com 
a força de pressão e 
gravitacional (quando 
rL2rP r
2 piτ=pi∆−
rL2
RL2
rP
RP
r
R
2
2
piτ
piτ
=
pi∆
pi∆
− R
r
Rr τ=τ
t
r τ=τ
Para um r qualquer:
Dividindo essas expressões:
⇒
Mas, engloba ambos os regimes de escoamento, portantorτ
dr
)v(d)(
R
r
eR
ρ
ν+ν−=τPortanto: (1)
Para ρ constante e 
conhecendo-se v=v(r) 
pode-se estimar eν
gravitacional (quando 
pertinente).
Iniciaremos dividindo o tubo em 3 regiões distintas: 
� uma região central na qual a tensão de cisalhamento é igual a tensão de Reynolds, 
� uma subcamada limite laminar, próxima da parede, onde a influência da 
turbulência é desprezível
� uma zona intermediária onde as tensões de Reynolds e molecular são importantes.
→ Serão agora obtidos perfis universais de velocidade para cada região
→ Subcamada laminar (onde há apenas efeitos viscosos) é muito fina e pode-se 
desprezar qualquer variação em τ, assim:
constante
dv
R =µ=τ
que integrada fornece: 
constante
drR
=µ=τ
ρντ= /r.v R
Considerando uma distância pequena na subcamada laminar, podemos substituir r 
por y (y = R1-r): 
ρντ== /y.uv R
(obs.: também foi substituída a notação da velocidade por u). 
Nota-se que, diferente do perfil parabólico de velocidade encontrado no tubo como 
um todo quando se tem escoamento laminar, a velocidade no interior da subcamada 
laminar é diretamente proporcional a y.
definindo velocidade de fricção: ρτ= /*u R
ν=ν=ρντ= /y*)u(/y*)u(/y.u 22R
ν
=
y*u
*u
u
ν
==
++ y*uy e 
*u
u
u
Substituindo essa equação na anterior:
ou
→ Definindo onde y = distância da parede = R1-r
(2)
ν*u
obtém-se que para a subcamada laminar: 
Núcleo turbulento (onde há apenas efeitos convectivos, desprezando-se os viscosos): 
Duas hipóteses para facilitar a resolução matemática:
� Drástica: Assume-se (em qualquer parte do tubo) τ = τR e 
� Hipótese razoável: llll diminui para zero nas proximidades da parede, onde não há 
turbulência.
2
2
dx
du





ρ=τ l
Ky=l
2
22
R dx
duyK 




ρ=τ dy
duKy/*u R =ρτ=Com isso:
++
= y u
cKuyln*uKdu
y
dy
*u +=⇒=
cyln*u R =
*uy
*yuln
K
1
y
yln
K
1
*u
u
RR
== )*uyln*yu(ln
K
1
/*uy
/*yuln
K
1
*u
u R
R ν
−
ν
=
ν
ν
=
cyln
K
1
u += ++
Integrando essa equação:
Obtendo c pela condição de u = 0 muito próximo à parede (y = yR):
Ou seja: (3) Vide figura
Ryln*uKuyln*u +=
÷ Ku*
*Ku
yln*u
*Ku
yln*u
*Ku
Ku R
−=
K
A Figura a seguir apresenta o perfil universal de velocidade para escoamento em tubo 
liso e a Tabela 
+++
+++
+++
<+=
<<−=
<<=
y30 5,5yln5,2u
30y5 05,3yln0,5u
5y0 y u
(4)
A análise precedente baseou-se no trabalho de Prandtl e Von Kármán. As
distribuições de velocidade experimentais são resultado do trabalho de Nikuradse.
Perfil universal de velocidade para escoamento em tubo lisoPerfil universal de velocidade para escoamento em tubo liso
voltarvoltar
Atenção: há um ponto de incoerência na equação abaixo 
+++ <+= y30 5,5yln5,2u
u+ é contínua para todos os valores positivos de y+ e sua derivada terá um
valor finito e diferente de zero nesse intervalo. Para r = 0 sabe-se que
dv/dr = 0. Portanto, não se deve escolher o centro do tubo como um
ponto de análise. Mas, pode-se escolher um valor bem próximo a zero.