Relatório Pêndulo Simples

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Experimento 1
Peˆndulo Simples
Aline Werner
8 de abril de 2018
Suma´rio
1 Introduc¸a˜o 1
2 Objetivos 1
3 Fundamentac¸a˜o Teo´rica 1
4 Material Utilizado 3
5 Procedimento Experimental 3
6 Conclusa˜o 5
1 Introduc¸a˜o
Este relato´rio tem como objetivo descrever as atividades realizadas na aula experimental da disciplina
de F´ısica Geral e Experimental II, ocorrida no dia 16/03/2018 e ministrada pela professora De´bora Regina
Roberti para o curso de Engenharia Aeroespacial da Universidade Federal de Santa Maria.
2 Objetivos
O principal objetivo deste experimento e´ aplicar as treˆs Leis de Newton ao peˆndulo simples e, a partir
disso, verificar a independeˆncia entre seu per´ıodo e sua amplitude (para pequenas oscilac¸o˜es) e massa,
e a dependeˆncia entre seu per´ıodo e seu comprimento. Ale´m disso, o experimento objetiva o ca´lculo da
acelerac¸a˜o da gravidade com base nos dados medidos.
3 Fundamentac¸a˜o Teo´rica
Um peˆndulo simples e´ um objeto composto por uma part´ıcula de massa m, chamada de peso, suspensa
por uma das extremidades de um fio inextens´ıvel, de massa desprez´ıvel e comprimento L, cuja outra
extremidade esta´ fixa, como mostra a Figura 1. O peso pode oscilar para a esquerda e para a direita em
relac¸a˜o a uma reta vertical que passa pela parte fixa do fio.
As forc¸as que atuam sobre o peso sa˜o a forc¸a de trac¸a˜o ~T do fio, e a forc¸a peso ~P , que sa˜o mostradas na
Figura 2. Quando o fio faz um aˆngulo θ com a vertical, podemos decompor o pesol em duas componentes:
uma radial Pcosθ, e uma tangente Psenθ. A componente tangencial produz um torque restaurador, que
tende a levar o peso a sua posic¸a˜o de equil´ıbrio, ou seja, a posic¸a˜o na qual θ = 0.
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Figura 1: Peˆndulo simples
Figura 2: Forc¸as atuantes em um peˆndulo simples
Subsituindo essas forc¸as na equac¸a˜o τ = r⊥F , temos:
τ = −LP senθ
Como τ = Iα, na qual I e´ o momento de ine´rcia e α e´ a acelerac¸a˜o angular, a equac¸a˜o acima pode
ser reescrita como:
Iα = −LP senθ
Sendo θ(t) um aˆngulo dependente do tempo, temos que α =
d2θ(t)
dt
, e a equac¸a˜o anterior pode ainda
ser reescrita como:
I
d2θ
dt
= −LP senθ ⇒ d
2θ
dt
=
−L
I
P senθ
Se θ ≈ 0, temos que sen θ = θ. E, substituindo P por mg, ficamos com
d2θ(t)
dt
=
−mgL
I
θ
No Movimento Harmoˆnico Simples, a acelerac¸a˜o e´ dada pela equac¸a˜o a = ω2x(t), onde ω e´ a frequeˆncia
angular. Comparando com a equac¸a˜o acima, podemos perceber que a corresponde a d
2θ
dt e x(t) corresponde
a θ(t). Dessa forma,
ω2 =
mgL
I
⇒ ω =
√
mgL
I
2
Por outro lado, temos que I = mr2, onde r e´ o brac¸o. Neste caso, r = L, ou seja, o comprimento do
fio ao qual esta´ preso o peso do peˆndulo. Tambe´m sabemos que ω =
2pi
T
⇒ T = 2pi
ω
, onde T corresponde
ao per´ıodo de oscilac¸a˜o. Sendo assim, chegamos a` equac¸a˜o do per´ıodo:
T = 2pi
√
I
mgL
⇒ T = 2pi
√
mL2
mgL
⇒ T = 2pi
√
L
g
4 Material Utilizado
Para realizar este experimento, foram utilizados os seguintes materiais:
• Peˆndulo com fio de comprimento altera´vel;
• Cilindro meta´lico preso na extremidade livre do fio;
• Cronoˆmetro;
• Trena.
5 Procedimento Experimental
Antes da aula experimental em si, houve uma parte teo´rica, na qual os conceitos essenciais relacionados
ao experimento foram explicados e as fo´rmulas foram deduzidas. Tambe´m foi feito o desenho de um
peˆndulo, em sua posic¸a˜o de equil´ıbrio e com um aˆngulo de afastamento, e as forc¸as atuantes em cada
uma dessas situac¸o˜es foram representadas. O desenho em questa˜o pode ser visto na Figura 3.
Figura 3: Peˆndulo em equil´ıbrio e fora de equil´ıbrio
Com o peˆndulo devidamente posicionado em cima de uma mesa, foi realizada uma medic¸a˜o do fio
com a trena, deixando seu comprimento igual a 20cm. Depois disso, o cilindro meta´lico preso a` ponta do
fio foi deslocado a um aˆngulo de aproximadamente 10◦ em relac¸a˜o a` vertical e solto em seguida. Neste
momento, o cronoˆmetro foi acionado. Ao final de 10 oscilac¸o˜es completas, o cronoˆmetro foi parado e o
tempo marcado por ele foi dividido por 10, para que o per´ıodo de uma u´nica oscilac¸a˜o fosse encontrado.
O valor resultante foi enta˜o anotado em uma tabela. Em seguida, este mesmo processo foi repetido por
9 vezes, totalizando 10 medic¸o˜es.
O procedimento anterior tambe´m foi repetido para os seguintes comprimentos de fio: 40cm, 60cm,
80cm e 100cm. Apo´s isso, o per´ıodo me´dio para cada comprimento de fio foi calculado e tambe´m anotado.
Os dados coletados sa˜o mostrados na tabela abaixo.
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Figura 4: Tabela de medidas coletadas
Com base nos dados anotados, foi constru´ıdo um gra´fico da varia´vel dependente T (s) em func¸a˜o da
varia´vel independente L(cm). Os pontos (L, T ) foram marcados em papel milimetrado e foi esboc¸ada
uma curva passando por eles. O resultado pode ser visto na Figura 5.
Figura 5: Gra´fico TxL
Notou-se que a curva obtida assemelhava-se ao gra´fico de uma equac¸a˜o do tipo y =
√
x, o que significa
que, elevando-se a varia´vel dependente T ao quadrado, obter´ıamos um gra´fico do tipo y = ax + b. Isso
de fato ocorreu quando esboc¸amos o gra´fico T 2xL, que pode ser conferido na Figura 6, e obtivemos uma
reta T 2 = aL+ b
Figura 6: Gra´fico T 2xL
Apo´s o esboc¸o do segundo gra´fico, foram escolhidos dois dos pontos (L, T 2) que melhor se adequaram
com a reta formada. Estes foram utilizados para encontrar o coeficiente angular a da reta, atrave´s da
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fo´rmula a =
∆T 2
∆L
. Os pontos escolhidos foram (0, 2; 0, 685) e (1; 3, 430), logo, a =
3, 430s− 0, 685s
1m− 0, 2m =
3.431s2/m.
O coeficiente linear b da reta, que corresponde ao valor no eixo das ordenadas pelo qual esta passa,
foi bastante pro´ximo a 0, e por esse motivo foi considerado como tal.
A equac¸a˜o resultante foi T 2 = aL. Organizando os termos, obtivemos
T =
√
aL ⇒ T = √a
√
L
Comparando a equac¸a˜o acima e a equac¸a˜o T = 2pi
√
L
g
, temos que
√
a
√
L = 2pi
√
L√
g
⇒ √a = 2pi√
g
⇒ g =
(
2pi√
a
)2
⇒ g = 4pi
a
Substituindo na fo´rmula acima o valor encontrado para a, obtemos g = 11, 5m/s2.
6 Conclusa˜o
O valor encontrado para a gravidade atrave´s do procedimento experimental foi um pouco diferente
dquele medido na superf´ıcie terrestre por meio de instrumentos mais precisos. Isso de deve principalmente
a erros de medic¸a˜o e ao reduzido nu´mero de algarismos significativos utilizados, resultando em um acu´mulo
de pequenos erros e consequentemente uma menor precisa˜o nos ca´culos. Outro fator que contribuiu para
essa diferenc¸a foi o esboc¸o do gra´fico da func¸a˜o, principalmente no que diz respeito a` escolha da reta, que
pode na˜o ter sido a ideal, afetando o valor do coeficiente angular utilizado no ca´lculo da gravidade.
Em geral, o experimento foi de extrema importaˆncia para o entendimento dos conceitos trabalhados
durante as aulas teo´ricas de F´ısica II sobre Movimento Harmoˆnico Simples, em especial peˆndulo simples.
5
	Introdução
	Objetivos
	Fundamentação Teórica
	Material Utilizado
	Procedimento Experimental
	Conclusão