RELATÓRIO 3 - Movimento Uniformemente Variado

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA GRANDE DOURADOS 
FACULDADE DE ENGENHARIA 
ENGENHARIA DE ENERGIA 
 
 
 
 
 
 
 
MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO 
 
Matheus Henrique Cavalheiro Garros RGA 20170614116702 
Mayara Francisca Reis de Souza RGA 20170614117772 
Thiago Alves Garcia RGA 20170614134792 
 
Prof. Dr. Fábio Alencar dos Santos 
 
 
 
 
 
Dourados – MS 
Julho de 2017 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
1 OBJETIVO.............................................................................................................................3 
2 RESUMO................................................................................................................................3 
3 INTRODUÇÃO TEÓRICA...................................................................................................3 
4 PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL...............................................................................5 
5 RESULTADOS E DISCUSSÃO............................................................................................8 
5.1 AS MASSAS SUSPENSAS.................................................................................................8 
5.2 ANÁLISE DOS LANÇAMENTOS DO CARRINHO UTILIZANDO A MASSA 1....8 
5.3 ANÁLISE DOS LANÇAMENTOS DO CARRINHO UTILIZANDO A MASSA 2....9 
5.4 TABELAS 2 E 3................................................................................................................10 
5.5 ANÁLISE DA FORMA DOS GRÁFICOS.....................................................................11 
5.5.1 GRÁFICO 1....................................................................................................................12 
5.5.2 GRÁFICO 2....................................................................................................................13 
5.5.3 GRÁFICO 3....................................................................................................................14 
5.5.4 GRÁFICO 4....................................................................................................................16 
5.5.5 GRÁFICO 5....................................................................................................................16 
5.5.6 GRÁFICOS ANEXADOS.............................................................................................18 
6 CONCLUSÃO......................................................................................................................23 
7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...............................................................................23
3 
 
 
 
1 OBJETIVO 
 
O objetivo do experimento que será descrito neste relatório foi estudar e provar as 
características e propriedades do movimento retilíneo uniformemente variado. Essas 
características e propriedades foram provadas através do movimento de um carrinho sobre um 
trilho de ar, que era acelerado por massas suspensas, e a utilização de um cronômetro 
automático que permitia obter os intervalos de tempo que o carrinho levava para andar 
determinada distância. 
 
2 RESUMO 
 
 Neste experimento, tentou-se estudar e comprovar as características do movimento 
retilíneo uniformemente variado através do movimento de um carrinho sobre um trilho ar. O 
carrinho era acelerado por uma massa suspensa enquanto se movimentava pelo trilho, e o tempo 
gasto para se locomover entre um determinado espaço estipulado foi marcado através de 
sensores e um cronômetro automático. Assim se pode obter dados suficientes afim de realizar 
cálculos que permitissem encontrar as grandezas indiretas velocidade e aceleração, e partir 
desses dados, elaborar gráficos e discutir o comportamento do MRUV, embora tenham sido 
encontradas dificuldades em realizar o experimento de forma satisfatória devido a erros 
experimentais. Foram utilizadas técnicas de para saber as incertezas das medidas e as 
propagações dos erros em medidas indiretas. Com isso, foi possível analisar e comprovar as 
propriedades do movimento retilíneo uniformemente variado. 
 
3 INTRODUÇÃO TEÓRICA 
 
O experimento descrito neste relatório tem como objetivo estudar o movimento retilíneo 
uniformemente variado. Para isso foram coletadas diversas medidas diretas de algumas 
grandezas para que fosse possível obter indiretamente as grandezas que fossem pertinentes. 
4 
 
 
 
Como foram realizadas diversas medidas de uma mesma grandeza durante esse 
experimento, também foram aplicados os respectivos desvios para que fosse possível chegar 
nos valores mais prováveis dessas grandezas, através do cálculo do desvio de cada medida que 
possibilita obter o desvio padrão do valor médio das medidas. Com o valor do desvio padrão é 
possível decidir qual desvio ou erro usar, o desvio padrão ou o próprio erro associado ao 
instrumento de medida 
Para obter indiretamente as grandezas que fossem necessárias ao experimento foram 
utilizadas as equações que descrevem o movimento retilíneo uniformemente variado, que são a 
função horária dos espaços, dada por 𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0𝑡 +
1
2
𝑎𝑡2, e a função horária da velocidade, 
dada por 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡. 
 A função horária da velocidade nada mais é que a manipulação da equação de aceleração 
média, que é a variação da velocidade por determinado tempo, ou seja 𝑎 =
𝛥𝑣
𝛥𝑡
. Isolando-se a 
variação de velocidade nessa equação se pode obter 𝛥𝑣 = 𝑎𝑡 (considerando que o tempo inicial 
seja zero), e sabendo que 𝛥𝑣 é o mesmo que 𝑣 − 𝑣0, se pode isolar apenas 𝑣, para obter 𝑣 =
𝑣0 + 𝑎𝑡. 
 A função horária dos espaços nos dá a localização de determinada partícula em função 
do tempo. Essa função pode ser obtida através de um gráfico da velocidade em função do tempo, 
ou seja 𝑣 𝑥 𝑡. É sabido que a área do gráfico 𝑣 𝑥 𝑡 nada mais é que o espaço percorrido por 
determinada corpo, assim é possível deduzir a função de um caso como o desenho a seguir: 
O gráfico mostra um corpo que 
tem uma aceleração positiva e constante. 
O gráfico é crescente pois a função 
horária da velocidade é do primeiro grau. 
A partir deste, é possível obter o 
deslocamento total de um corpo, a partir 
da área do gráfico. Para isso é 
conveniente dividi-lo em um retângulo e 
um triângulo retângulo. Para o caso do triângulo teremos que a sua área é dada pela 
multiplicação dos catetos e divisão por 2, ou seja 
(𝑣−𝑣0).𝑡
2
, ou 
𝑎𝑡.𝑡
2
. Para a área do retângulo se 
tem 𝑣0. 𝑡. 
5 
 
 
 
Assim o deslocamento total do corpo é dado pela soma da área de ambas as formas, 
então 𝛥𝑋 =
(𝑣−𝑣0).𝑡
2
+𝑣0𝑡, substituindo 𝑣 pelo seu valor dado pela função horária da velocidade 
se tem 𝛥𝑋 =
(𝑣0+𝑎𝑡−𝑣0).𝑡
2
+𝑣0𝑡, agora continuando a resolver a equação 𝛥𝑋 =
𝑎𝑡²
2
+ 𝑣0𝑡, e 
sabendo que a variação de 𝑋 é dada por 𝑥𝑓 − 𝑥0 e isolando 𝑥𝑓 chega-se em 𝑥𝑓 = 𝑥0 + 𝑣0𝑡 +
1
2
 𝑎𝑡², que é a função horária dos espaços. 
Como já foi citado, nesse experimento foram realizadas várias medidas para se obter o 
valor mais provável das grandezas de que se tinha interesse, então foi necessário aplicar as 
equações de propagação de erros nos cálculos realizadas. Para o caso da função horária dos 
espaços, é necessário aplicar-se a propagação de erros para cada uma das operações realizadas 
entre as grandezas com incertezas de medidas. 
Deste modo, para a função 𝑥𝑓 = 𝑥0 + 𝑣0𝑡 +
1
2
 𝑎𝑡², aplicando a propagação de erros, 
considerando a velocidade inicial como sendo zero e isolando a aceleração, se obtêm: 
𝑎 =
(𝑥𝑓−𝑥0)
[
1
2
(𝑡)2]
 ± 
1
[
1
2
(𝑡)2]²
{[
1
2
(𝑡)2]. (𝛿𝑥𝑓 + 𝛿𝑥0) + (𝑥𝑓−𝑥0). [
1
2
(2𝑡𝛿𝑡)]} 
Essa equação fornece a aceleração indiretamente e sua incerteza. Do mesmo modo é 
possível obter a velocidade após encontrar a aceleração, a partir da função horária da 
velocidade. Considerando a velocidade inicial como zero e com o erro de uma medida indireta 
a função para obter a velocidade indiretamente com sua incerteza é: 
𝑣 = (𝑎. 𝑡) ± ( 𝑎𝛿𝑡 + 𝑡𝛿𝑎)4 PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
 
A etapa experimental se deu por meio do contato com instrumentos como o cronômetro 
automático, a balança mecânica, dois sensores e um trilho de ar. Também foram utilizados 
alguns objetos simples, como algumas massas, elásticos e um barbante. 
 Um dos principais instrumentos utilizados nesse instrumento foi o trilho de ar (Figura 
1). Esse trilho tem várias aberturas na área por onde o carrinho percorre, e dessas aberturas 
saem um jato continuo de ar, que diminui o atrito do carrinho com o trilho. Acoplado ao trilho 
6 
 
 
 
também existe uma escala de medidas em centímetros que permite saber quanto o carrinho se 
deslocou sobre o mesmo. Essa escala possui um erro instrumental de ± 0,05 centímetros. 
 Junto ao trilho de ar, também se fez a utilização de um eletroímã, que estava antes do 
carrinho, de modo que ao ligado ele mantivesse o carrinho preso a ele, impedido que se 
movimentasse sobre o trilho. 
 
(Figura 1) 
 O trilho precisa ser nivelado antes de sua utilização, para minimizar os fatores externos 
que possam prejudicar a análise do movimento do carrinho. Nivelando o carrinho diminui-se 
as forças que estão atuando sobre o carrinho, principalmente a aceleração da gravidade, pois 
havendo um ângulo de 90º entre a direção do movimento e a direção da aceleração 
gravitacional, o carrinho não estará realizando movimento pela atuação da força da gravidade, 
mas sim por meio de outras forças que sejam aplicadas a ele. 
 Além do trilho de ar, foi utilizado um cronômetro automático (Figura 2) para medir o 
tempo que o carrinho levava para percorrer determinada distância entre os dois sensores, onde 
ao passar pelo primeiro o cronômetro iniciava a contagem, e ao chegar ao segundo sensor a 
contagem era terminada. O erro instrumental associado ao cronômetro é de ± 0,001 segundos. 
(Figura 2) 
7 
 
 
 
 Ao carrinho foram presas duas massas suspensas distintas (Figura 3) que o aceleravam 
ao logo do trilho, até que ele chegasse na extremidade e se chocasse contra o elástico. Essas 
massas foram medidas na balança mecânica (Figura 4), que possui erro instrumental de ± 0,2 
gramas. Para cada massa foram realizadas 5 medidas, a modo de saber o valor mais provável 
da massa dos objetos. 
 (Figura 3) (Figura 4) 
 Os sensores foram dispostos ao longo do trilho de modo que o primeiro sensor estivesse 
sempre fixo na posição inicial, que neste experimento foi na medida de 25 centímetros da escala 
do próprio trilho. Neste ponto, o sensor foi posicionado de modo que ele ficasse no limite 
possível em que se pudesse fazer a leitura da saída do carrinho, sem que a massa suspensa presa 
ao carrinho tocasse o chão. 
 O segundo sensor foi posicionado em diversos locais da escala do trilho, de modo que 
fosse possível a realização de diversas medidas. Neste experimento a primeira posição final do 
segundo sensor foi de 105 centímetros da escala do próprio trilho, e foram realizados 5 
lançamentos do carrinho, e após cada série de lançamentos o sensor foi aproximado 10 
centímetros do sensor inicial, até que tivessem sido obtidas as medidas de 8 posições diferentes. 
 Para realizar o experimento, após tudo montado, o eletroímã era desligado, e o carrinho 
percorria o trilho, de modo que se obtivesse o tempo do percurso entre um sensor e outro, com 
o carrinho sendo acelerado por uma das duas massas suspensas. Obtidos os dados do tempo e 
da distância percorrida, as informações foram anotadas em um caderno em forma de tabelas. 
 A partir dos dados que se teve acesso por meio do procedimento experimental, por se 
tratar de várias medidas da mesma grandeza, foi calculado o valor mais provável de cada 
grandeza. 
 
 
8 
 
 
 
5 RESULTADOS E DISCUSSÃO 
 
Após obter todos os dados necessários a partir do procedimento experimental, foram 
montadas algumas tabelas com os dados organizados, já com as medidas que foram obtidas 
indiretamente, bem como os valores com seus respectivos algarismos significativos. 
 
5.1 AS MASSAS SUSPENSAS 
 
Nesse experimento foram utilizadas duas massas suspensas que aceleravam o carrinho. 
Essas massas foram pesadas, e na tabela abaixo constam as informações pertinentes as mesmas: 
TABELA 1: Valores de massa e massa média para as massas 1 e 2. 
Medições da massa 1 Desvios de cada 
medida da massa 1 
Medições da massa 2 Desvios de cada 
medida da massa 2 
19,2 0 39,0 -0,04 
19,2 0 39,2 0,16 
19,2 0 39,0 -0,04 
19,2 0 39,0 -0,04 
19,2 0 39,0 -0,04 
Valor médio = 19,2 Desvio Padrão = 0 Valor médio = 39,04 Desvio Padrão = 0,1 
 
 Como os desvios observados das medidas obtidas com a balança foram menores do que 
o próprio erro instrumental da balança, o erro instrumental é que foi utilizado. 
 
5.2 ANÁLISE DOS LANÇAMENTOS DO CARRINHO UTILIZANDO A MASSA 1 
 
Para a primeira massa suspensa foram obtidos os resultados que estão organizados na 
TABELA 2 (página 10). 
9 
 
 
 
 Como pode-se observar na tabela, as grandezas estão expressas pelo seu valor mais 
provável. Esse valor foi obtido através do cálculo dos desvios das medidas. 
 Primeiramente calculou-se a média do tempo, após isso, o desvio de cada medida, que 
é obtido por meio da subtração da média de cada uma das medidas. Com os desvios de cada 
medida é possível calcular o desvio padrão, que é dado pela fórmula 𝜎 = ±√
∑ (𝛿𝑖)²
𝑛
1
𝑛−1
. Caso 
o desvio padrão das medidas de tempo seja maior do que o erro instrumental associado ao 
cronômetro automático, o desvio é quem deverá ser utilizado, o que foi o caso nesse 
experimento. 
 Com as medidas de tempo e as medidas de posição inicial e final do carrinho obtidas 
pela própria escala do trilho, foram calculadas as velocidades e acelerações do carrinho com a 
massa 1 para as diferentes posições finais. Essas grandezas foram obtidas utilizando as equações 
já discutidas anteriormente. 
 Como é possível notar, a velocidade é crescente da proximidade do sensor inicial até a 
posição mais distante do sensor final. O contrário ocorre com a aceleração, que na posição mais 
distante é menor do que nas posições mais próximas do sensor inicial. 
 
5.3 ANÁLISE DOS LANÇAMENTOS DO CARRINHO UTILIZANDO A MASSA 2 
 
Os dados referentes a massa 2 estão organizados na TABELA 3 (página 10). 
Com a massa 2, o procedimento foi exatamente o mesmo descrito anteriormente, e os 
resultados seguiram o mesmo padrão também, com uma velocidade crescente conforme fosse 
maior o espaço percorrido pelo carrinho e com a aceleração diminuindo conforme o espaço 
fosse maior. 
É notável uma maior velocidade de aceleração nos momentos iniciais (assim como no 
restante das posições) utilizando a massa 2, a aceleração chegou a ser de aproximadamente 250 
cm/s², mas teve uma queda muito mais brusca na posição mais distante entre os sensores, que 
foi de aproximadamente 150 cm/s², o que utilizando a massa 1 foi notavelmente menor.
11 
 
 
 
5.5 ANÁLISE DA FORMA DOS GRÁFICOS 
 
 Com base nos dados obtidos experimentalmente, e nos resultados em que se chegou, 
foram feitos alguns gráficos. É interessante ressaltar que os problemas já observados nos dados 
tabelados também refletiram aqui. 
 Para a construção dos gráficos foram utilizadas algumas técnicas, como adaptações de 
escala, e o cálculo dos coeficientes angulares e lineares. 
 Um dos tipos de folha utilizada para construir esses gráficos foi a folha de papel 
milimetrado. Para colocar as medidas das grandezas no papel milimetrado, é preciso adaptar os 
valores a escala utilizada na folha. Assim, divide-se o intervalo da grandeza pela medida do 
eixo do papel (x ou y) que se quer colocar os valores, dado por 𝜆 =
𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑜𝑛í𝑣𝑒𝑙 𝑛𝑜 𝑝𝑎𝑝𝑒𝑙
𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒𝑧𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎
. Após isso, multiplica-se os valores da grandeza pelo resultado 
obtido, para transforma-los em valores possíveis de se colocar no papel milimetrado. 
 Parao cálculo dos coeficientes nesse tipo de papel, é preciso escolher dois pontos de 
uma reta traçada do primeiro ao último ponto. Após isso, encontrar as coordenadas de ambas 
as retas, ou seja (x, y), e subtrair as coordenadas finais pelas inicias, para depois dividir a 
variação dos pontos y pela variação dos pontos x, então 𝐴 =
𝛥𝑦
𝛥𝑥
. Antes de realizar a divisão é 
necessário readaptar os dados para a sua escala original, ou seja, realizar o processo inverso do 
feito anteriormente, dividindo os valores pelo seu respectivo valor de 𝜆. Para o coeficiente 
linear, basta encontrar o ponto em que x será 0, prolongado a reta até que toque o eixo y, e 
identificando esse ponto. 
 Para o gráfico na folha de papel logarítmico basta colocar os pontos nos lugares corretor 
que a própria escala do gráfico adapta os dados. A escala também pode ser alterada para 
comportar diferentes intervalos de valores. 
 O cálculo dos coeficientes nesse tipo de papel não difere muito do aplicado ao papel 
milimetrado, o processo da escolha dos pontos é o mesmo, mas em vez da subtração das 
coordenadas, é realizada a subtração do logarítmico das coordenadas, e depois realizada a 
divisão. Para o linear basta encontrar o valor em que a reta corta um dos quadrantes do eixo x 
e realizar o logaritmo da coordenada y desse ponto. 
12 
 
 
 
 Por meio dos valores de coeficientes angulares e lineares, é possível escrever a equação 
que descreve essa reta, no caso 𝑦 = 𝐴𝑥 + 𝐵. 
Os gráficos se mostraram bastante inconstantes quando analisados, o que pode ser 
decorrente de um experimento realizado de forma não totalmente satisfatória. Todos 
apresentaram desenhos inesperados em regiões próximas, desconsiderando um possível erro 
em seu desenho, mas sim algum problema em alguma das etapas experimentais. 
Algumas causas podem ser um problema com o carrinho, que não estava andando bem 
sobre o trilho, pois diversas vezes o carrinho tinha mudanças bruscas no seu comportamento 
em relação a velocidade de um lançamento para o outro, o que ocasionou a sua quase queda do 
trilho, porque ele se chocava em velocidade maior contra o elástico preso no final. 
O cronômetro também apresentou alguns problemas durante o procedimento, 
disparando a contagem mesmo com todo o sistema em repouso. Foi relatado por um dos 
experimentadores também que após o eletroímã ser desligado o carrinho ainda mantinha uma 
resistência antes de entrar em movimento 
 Esses fatos, e outros que possam ter passado despercebido devido a algum erro grosseiro 
(como mal nivelamento do trilho), são possíveis motivos para o desenho peculiar de alguns dos 
gráficos. 
 
5.5.1 GRÁFICO 1 
 
 Para esse gráfico, primeiramente adaptou-se os valores de posição final e tempo médio, 
de ambas as massas, para a escala do gráfico. Após feito isso, os pontos foram colocados e 
ligados um ao outro. 
 Observa-se que a curva quase forma uma parábola, mesmo que levemente. Isso mostra 
que cada vez mais a posição variava mais e em menor tempo, que foi causado pelo aumento na 
velocidade do carrinho enquanto ele percorria o trilho de ar. É possível concluir a partir do 
gráfico que a velocidade quando utilizada a massa 2 foi maior, pois a variação de espaço pelo 
tempo foi maior. 
É possível notar que o coeficiente angular, caso calculado, é bastante próximo ao valor 
médio das velocidades de todas os lançamentos para ambas as massas. Pois a velocidade é dada 
13 
 
 
 
pela inclinação da curva em um ponto para o caso da velocidade instantânea, e, para o caso do 
intervalo da reta do primeiro ao último ponto, a inclinação da reta toda. 
Mas como nesse experimento ocorreram diversos erros, a medida do coeficiente angular 
não bateu com o que deveria. Pois a velocidade variou sem um padrão, porque não estava sendo 
acelerada por uma aceleração constante. 
 
5.5.2 GRÁFICO 2 
 
 Para esse gráfico os dados utilizados foram as posições finais em função dos tempos 
quadráticos, de ambas as massas. Nota-se um desenho semelhante ao primeiro gráfico, podendo 
também afirmar a maior velocidade quando utilizada a massa 2. 
 Ligando o primeiro ponto ao último nota-se que os dados fugiram muito da reta, estando 
todos fora da reta traçada para ambas as massas. Neste caso foi utilizado o Método dos Mínimos 
Quadrados, para que os dados fossem realocados em cima de uma nova reta a ser traçada. 
 Este método permite obter novos valores de coeficientes angulares e lineares afim de 
traçar a melhor reta possível. Assim, bastou calcular ambos coeficientes através das equações 
que são dadas pelo método e obter a nova equação da reta e os desvios: 
 
Posição (Massa 19,2 g) 𝑥𝑖 𝑥𝑖² 𝑦𝑖 (𝑥𝑖 . 𝑦𝑖) 
 1 2,000 4,000 105 210,0 
2 1,560 2,433 95 148,2 
3 1,360 1,850 85 115,6 
4 1,050 1,102 75 78,8 
5 0,814 0,663 65 52,9 
6 0,593 0,352 55 32,6 
7 0,379 0,144 45 17,1 
8 0,160 0,026 35 5,6 
Somatório 𝛴 = 7,9/ 𝛴² = 62,7 𝛴 = 10,6 𝛴 = 560 𝛴 = 660,7 
 
14 
 
 
 
Posição (Massa 39 g) 𝑥𝑖 𝑥𝑖² 𝑦𝑖 (𝑥𝑖 . 𝑦𝑖) 
 1 1,069 1,143 105 210,0 
2 0,884 0,781 95 148,2 
3 0,684 0,468 85 115,6 
4 0,550 0,303 75 78,8 
5 0,423 0,179 65 52,9 
6 0,311 0,097 55 32,6 
7 0,190 0,036 45 17,1 
8 0,080 0,006 35 5,6 
Somatório 𝛴 = 4,2 / 𝛴2 = 17,6 𝛴 = 3,013 𝛴 = 560 𝛴 = 378,6 
 
 
 
 
 
Jogando os valores de tempo quadrático na equação da reta que foi traçada se obteve 
novos valores para y, ou seja, para a posição final, para ambas as massas. Com isso a escala 
para y foi readaptada para os novos valores da posição final, pois muitos dos valores 
conseguidos após o MMQ não conseguiam ser comportados pela escala já utilizada no gráfico. 
 Após traçar as novas retas, se observou que todos os pontos ficaram em cima da mesma, 
como era esperado. Apesar disso a diferença entre os valores de y antigos e os ajustados foram 
bem consideráveis, principalmente para a massa 1, que teve o valor da posição final muito 
menor do que o conseguido experimentalmente. 
 
5.5.3 GRÁFICO 3 
 
O terceiro gráfico foi construído tendo como base os dados do deslocamento total do 
carrinho, pelo tempo, para ambas as massas. O gráfico foi construído em uma folha de papel 
log-log. 
Coeficientes Massa 1 (19,2 gramas) Massa 2 (39,04 gramas) 
Angular 38,9 104,2 
Linear 31,5 15,4 
Equação da Reta 𝑦 = 38,9𝑥 + 31,5 𝑦 = 104,2𝑥 + 15,4 
15 
 
 
 
 Pode observar na curva desse gráfico que ambas as massas apresentaram pontos fora da 
reta traçada entre o primeiro e o última ponto em áreas semelhantes. Para esse gráfico foram 
calculadas as equações da reta para ambas as massas. 
 Para encontrar os coeficientes das retas, é preciso calcular o logarítmico de cada ponto 
antes de jogar na equação do coeficiente angular, o mesmo para o coeficiente linear que deve 
ser calculado com base em onde a reta corta o os diferentes quadrantes do eixo x, e nesse ponto, 
deve-se analisar o a coordenada em y. 
 
 
 
 O log é aplicado também a equação da reta, devendo ser aplicado tanto para os valores 
de x que serão substituídos para descobrir o valor de y, tanto para o próprio y. O 
 Para a função horária do movimento, que nesse caso não terá posição inicial nem final, 
apenas o deslocamento total do carrinho, e considerando a velocidade inicial como zero, 
também é possível inserir o logaritmo, aplicando-o a ambos os lados da equação, assim se tem 
log (∆𝑥) = log (
1
2
 𝑎𝑡2), portanto log(∆𝑥) = log (
1
2
) + log(𝑎) + 2log (𝑡), com isso pode-se 
demonstrar que a posição final de uma dependência grande do tempo, pois aplicando o 
logarítmico o tempo irá dobrar em vez de ser quadrático. Tendo em mãos o valor da posição 
final é possível também determinar a aceleração do carrinho para cada uma das massas. Sendo 
assim: 
 Massa 1 Massa 2 
Aceleração estimada (cm/s²) 113, 15 154,74 
 
 
 
 
Coeficientes Massa 1 (19,2 gramas) Massa 2 (39,04 gramas) 
Angular 38,9 104,2 
Linear 31,5 15,4 
Equação da retalog (𝑦) = 1,64log (𝑥) + 1,7 log (𝑦) = 1,57log(𝑥) + 1,9 
16 
 
 
 
5.5.4 GRÁFICO 4 
 
 O quarto gráfico representa os dados das medidas de velocidade e tempo médio de 
ambas as massas. 
 A forma da curva desse gráfico é uma reta crescente, para ambas as massas, o que pode 
ser justificado pelo carrinho ter aceleração. Essa aceleração não foi constante, pois todos os 
pontos encontram-se fora da reta traçada, mostrando uma grande variação na aceleração. 
 Como foi traçada uma reta que liga o primeiro ao último ponto, é possível encontrar os 
coeficientes dessa reta. 
Coeficientes Massa 1 (19,2 gramas) Massa 2 (39,04 gramas) 
Angular 62,7 118,2 
Linear 28 32,7 
Equação da reta 𝑦 = 62,7𝑥 + 28 𝑦 = 118,2𝑥 + 32,7 
 
 Nesse gráfico, a inclinação da reta deveria ser equivalente à média das acelerações de 
todos os lançamentos para ambas as massas. Mas devido à alta taxa de variação da aceleração 
encontrada, isso não foi possível, pois o coeficiente angular não se aproxima do valor médio 
das acelerações. 
 
5.5.5 GRÁFICO 5 
 
 O quinto gráfico foi construído com base nos dados obtidos a respeito da aceleração e o 
tempo médio das posições, para ambas as massas. 
 Esse gráfico demonstra bem as variações que ocorreram durante esse experimento. A 
aceleração tem uma queda brusca para ambos os casos, sendo que deveria ser constante. Assim 
como ocorreu com os outros casos, ao traçar uma reta do primeiro ao último ponto, os pontos 
restantes ficam fora dessa reta. 
 Com a reta traçada foi possível encontrar apenas o coeficiente angular das retas. Embora 
com a reta da massa 1 fosse possível o cálculo do coeficiente linear, com a reta da massa 2 isso 
17 
 
 
 
não era possível, devido que ao prolongar a reta, o ponto em que o eixo y será tocado não está 
nos limites da escala da folha de papel milimetrado usada. 
Coeficientes Massa 1 (19,2 gramas) Massa 2 (39,04 gramas) 
Angular -45 -13,3 
 
 Os coeficientes angulares foram negativos pois a aceleração está diminuindo com o 
passar do tempo. 
 Com esse gráfico é possível encontrar o valor da velocidade em qualquer intervalo da 
reta, basta calcular a área abaixo da curva. Como o eixo Y representa a aceleração, que é, no 
caso, cm/ s/ s, e o eixo X representa o tempo em s, ao calcular a área (considerando que o 
MRUV tem como característica a aceleração constante, mas nesse experimento não foi 
possível) abaixo da reta da aceleração, que seria 
𝑐𝑚
𝑠
𝑠
⋅ 𝑠, que é o mesmo que 
𝑐𝑚
𝑠
, correspondente 
a velocidade
23 
 
 
 
6 CONCLUSÃO 
 
 Teoricamente as funções que descrevem o MRUV se aplicariam muito bem a este 
experimento, assim como as análises dos gráficos seriam mais precisas e coesas, mas devido à 
os problemas que não foram evitados durante o procedimento experimental, os resultados 
ficaram comprometidos. 
 Mas apesar das dificuldades, foi possível comprovar as características das equações e 
da teoria do MRUV. Também foi possível ter como exemplo esse experimento para momentos 
futuros onde os erros que ocorram nesse não se repitam. 
 Esse experimento também serviu como demonstração de como a propagação de erros 
pode ser aplicada nas mais diferentes situações, como por exemplo as funções horárias 
utilizadas nesse relatório. 
 Após todos esses acontecimentos, é possível concluir que para experimentos mais 
elaborados como esse, é necessário muito mais atenção para erros que pareçam insignificantes, 
pois podem atrapalhar as análises dos resultados posteriormente. 
 
7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
FUNÇÃO HORÁRIA MUV. Disponível em: <http://brasilescola.uol.com.br/fisica/funcao-
horaria-muv.htm>. Data de acesso: 10/07/2017. 
GRÁFICOS DO MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO. Disponível em: 
<http://fisicaevestibular.com.br/novo/mecanica/cinematica/graficos-do-movimento-
uniformemente-variado-muv/>. Data de acesso: 13/07/2017. 
AULA 7: MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS. Disponível: 
<https://docs.wixstatic.com/ugd/52cd07_7e6c685c1330434ba8a797d0c15663fc.pdf>. Data de 
acesso: 09/07/2017.