1ª_prova_cálculo_I- funções

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Centro Federal de Educac¸a˜o Tecnolo´gica - Minas Gerais
1a Prova de Ca´lculo I 22/11/2013
Curso: Engenharia de Computac¸a˜o Per´ıodo: 1o
Professora: Luiza Vidigal Gonc¸alves
Aluno(a): Valor: 25 pontos
Instruc¸o˜es:
• A prova e´ individual e sem consulta;
• Expresse os ca´lculos de forma clara e organizada;
• Respostas sem justificativas sera˜o desconsideradas;
• Na˜o use a regra de L’Hoˆspital;
• E´ proibido o uso de calculadora, celulares, smartphones, tablets, ou
afins.
1. ( 4 pontos) Podemos afirmar que a func¸a˜o
f(x) = cos x− x
tem pelo menos um zero no intervalo
(
0,
pi
2
)
? Por queˆ?
2. ( 6 pontos) Calcule e expresse-os na forma mais simplificada poss´ıvel.
a) lim
x→∞
x+ 3√
4x2 + 1
b) lim
t→9
9− t
3−√t
c) f ′(x) sendo f(x) = sec3(pi + x)
3. ( 4 pontos) Seja g(x) =
√
3x− 1. Suponha que f e´ uma func¸a˜o
deriva´vel tal que existe a composta f ◦g. Calcule (f ◦g)′
(
5
3
)
, sabendo
que f ′(2) = 4
1
4. ( 5 pontos) Seja f(x) =
 x3sen(1/x); se x 6= 00; se x = 0 .
A partir da definic¸a˜o de derivada, podemos afirmar que f ′(0) existe?
Em caso afirmativo, quanto ela vale?
5. ( 6 pontos) Seja f(x) =
 x2; se x ≤ 2mx+ b; se x > 2 .
a) Para que valores das constantes b e m a func¸a˜o f e´ cont´ınua em
todos os pontos?
b) E´ poss´ıvel escolher b e m de modo que f seja deriva´vel em todos os
pontos?
Boa prova!
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